函数的周期和对称性Word文件下载.docx
《函数的周期和对称性Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的周期和对称性Word文件下载.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
a）f（x）
f（xa）（或f（x）
f（xa）f（x2a）），则
f（x）的周期T=6a（联
系数列）
f（x）f（xa）f（x的周期T=5a；
2a）f（x3a）f（x
4a）f（x）f（xa）f（x2a）f（x
3a）f（x4a）,则f（x）
yf（x）满足f（x
a）g（f（x）），（a
0），其中g1（x）g（x），则
yf（x）是以2a为周
期的周期函数。
3、函数的对称性与周期性之间的联系：
双对称性函数的周期性
具有多重对称性的函数必具有周期性。
即，如果一个函数有两条对称轴（或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心），则该函数必为周期函数。
相关结论如下：
结论1：
两线对称型：
如果定义在R上的函数f（x）有两条对称轴xa、xb，即f（ax）f（ax），且f（bx）f（bx），那么f（x）是周期函数，其中一个周期T2ab
证明：
∵f（ax）f（ax）得f（x）f（2ax）
f（bx）f（bx）得f（x）f（2bx）
∴f（2ax）f（2bx）
∴f（x）f（2b2ax）
∴函数yf（x）是周期函数，且2b2a是一个周期。
【注意：
上述2ab不一定是最小正周期。
若题目所给两条对称轴xa、xb之间没有其他对称轴，则2ab是最小正周期。
具体可借助三角函数来进行分析。
下同。
】结论2：
两点对称型：
如果函数同时关于两点a,c、b,c（ab）成中心对称，即
f（ax）f（ax）2c和f（bx）f（bx）2c（ab），那么f（x）是周期函数，其中一
个周期T2ab
证明：
由f（ax）f（ax）2cf（x）f（2ax）2cf（bx）f（bx）2cf（x）f（2bx）2c得f（2ax）f（2bx）得f（x）f（2b2ax）
∴函数yf（x）是以2b2a为周期的函数。
结论3：
一线一点对称型：
如果函数f（x）的图像关于点a,c（a0）成中心对称，且关
于直线xb（ab）成轴对称，那么
f（x）是周期函数，其中一个周期
f（a
x）f（ax）2cf（x）f（2ax）
2c
f（b
x）f
bx）f（x）
f（2bx）
f（4（b
a）x）f（2b（4a
2bx））
f（4a
2bx）f（2a（2b
2ax））
f（2b2a
x）
f（2b
（2ax））2c
f（2a
（2c
f（x））2c2c
f（x）
推论1
：
如果偶函数
f（x）的图像关于直线x
a（a
0）对称，
那么f
其中一个周期
T2
a
（x）是周期函数，
推论2：
如果偶函数f（x）的图像关于直线a,c（a0）对称，那么f（x）是周期函数，其中一个周期T4a
推论3：
如果奇函数f（x）的图像关于直线xa（a0）对称，那么f（x）是周期函数，其中一个周期T4a
推论4：
如果奇函数f（x）关于点a,c（a0）成中心对称，那么f（x）是周期函数，其中一个周期T2a
【函数的奇偶性、对称性、周期性的代数特征有相仿之处，这三性都是有函数方程决定的，
方程的不同特征决定了函数不同的性质，要注意其共性与个性。
】
【函数的奇偶性是函数对称性中的特殊情况，奇函数对称中心为（0,0），偶函数对称轴为
y=0，带入结论1-3，可得推论1-4，所以学生在记忆时只需记住结论1-3即可，减少工作量】
【同理，教师可示范性给出一个结论的证明过程，其余可让学生进行证明】
典例精讲
利用周期性求值：
2、
★★）
已知定义在
R上的奇函数
f（x）满足f（x2）
f（x），则f（6）的值为（
解：
Q
）
A、
3
2）
－1
、（
f（x）,且x
B、0★★）（0,1）时,f（x）
C、1
已知奇函
2x,则f（log118）的值为
2
D、2f（x）满
f（log118）
f（
log218）
xf（x2）f（x4），
9f（4log218）f（log289）
9log28）
例4、（★★★）f（x）的定义域是R，且求f（2008）的值。
f（x2）[1f（x）]1f（x）,若f（0）2008
f（x4）11
f（x4）11周期为8，f（2008）f（0）2008
f（x）f（x2）1f（x2）1
1f（x8）f（x4）
利用周期性求解析式：
例5、（★★★）已知f（x）是以2为周期的偶函数，且当x（0,1）时，f（x）x1.求f（x）在（1,2）上的解析式。
解法1：
从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上
∵x（1,2）,则x（2,1）∴2x（0,1）,∵T2，∴f（x）f（x）f（2x）
x（1,2）解法2：
（从图象入手也可解决，且较直观）如图：
x∴x（1,0）时f（x）f（x）又周期为2，x∴f（x）f（x
是偶函数
2x13x
f（x）f（x2）
（0,1）,f（x）x1.∵是偶函数
x1
（1,2）时x2（1,0）
2）（x2）13x
例6、（★★★）yf（x）（数，且在x
（1）
（2）
（3）解：
求y求y
已知函数yf（x）是定义在R上的周期函数，周期T5，函数1）是奇函数.又知yf（x）在[0,1]上是
5.
1x
2时函数取得最小值f
（1）f（4）0；
f（x）,x[1,4]的解析式；
f（x）在[4,9]上的解析式.
次函数，在[1,4]上是二次函
∵f
x）是以5为周期的周
期函数，且
在[
1,1]
上
是奇
f
（1）
f
（1）f（51）
f（4）
，∴f
（1）f（4）
0.
②当x
[1,4]时，由题意可设
a（x2）25（a
0），
由f
（1）
f（4）0得a（12）2
5a
（42）250，
∴a
2，
∴f（x）
2（x2）25（1x
4）.
③∵y
f（x）（1x1）是奇
函数，∴
f（0）0，
又知y
f（x）在[0,1]上是一次函数，∴
可设f（x）kx
（0
x1）
而f
（1）
2（12）253，
∴k
3，∴当0x1时，
3x，
从而1
x0时，f（x）
f（x）
3x，故1x
1时
，f（
3x
∴当4
x6时，有1x
51，
∴f（x）f（x5
3（x
5）
当6x
9时，1x54，
函数，
∴f（x）f（x
2（x
【由以上两例可以看出，只要当成是函数图象的平移来做即可。
22
2]252（x7）25
6
5）2[（x
15,4
7）25,
已知周期函数某个周期内的解析式，求另一个周期内的解析式，
x9
】
偶函数
【由于函数的性质：
奇偶性、对称性联系紧密，教师可引导学生在此回顾奇函数、如何求解对称区间的解析式这类问题】
函数的奇偶性、对称性、
周期性的综合运用
★★）
已知
f（x）是定义在
R上的函数，f（10
x）f（10x）且
f（20x）
f（20
x），
则f（x）是
A.
C.
周期为
20的奇函数
40的奇函数
B.
D.
周期为20的偶函数
周期为40的偶函数
例2、（★★）
定义域为R的函数
满足f
4xfx8，且
yfx8为偶
函数，则f（x）（C）
3）
f（x3）=f（3
x），且f（x4）f（4x），则f（x）的一个周期为2。
f（x3）与y
f（3x）的图象关于直线x3对称。
2）、（3）。
其中正确命题的序号为
【本题中学生容易错选（4），究其原因，是没有分清是一个函数自身的对称，还是两个函数之间的对称，审题不清】
数．给出以下3个命题：
1函数f（x）的周期是6；
2函数f（x）的图象关于点3，0对称；
3函数f（x）的图象关于y轴对称，其中，真命题的个数是（A）．
A．3B．2C．1D．0
例5、（★★★）设函数f（x）在（,）上满足f（2x）f（2x），f（7x）f（7x），且在闭区间［0，7］上，只有f
（1）f（3）0．
（Ⅰ）试判断函数yf（x）的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程f（x）=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．解：
由f（2x）f（2x），f（7x）f（7x）得函数yf（x）的对称轴为x2和x7,
从而知函数yf（x）不是奇函数,
f（x）f（x10）
IIIQ函数周期为10，［3,0］关于x2对称的区间为［4,7］，
Qf（x）在［0,7］只有两根1和3，［4,7］无根，［3,0］无根，f（x）在一个周期［3,7］内只有两根；
2005,2005共有401个周期，f（x）在2005,2005共有802个根。
【本题的关键是要说明在一个周期内函数只有两个根，也就是函数在［7，10］内是无根的】
例6、（★★★）若函数f（x）在R上是奇函数，且在1，0上是增函数，且f（x2）f（x）.
①求f（x）的周期；
②证明f（x）的图象关于点（2k,0）中心对称;
关于直线x2k1轴对称,（kZ）;
③讨论f（x）在（1,2）上的单调性；
解:
①由已知f（x）f（x2）f（x22）f（x4），故周期T4.
②设P（x,y）是图象上任意一点,则yf（x）,且P关于点（2k,0）对称的点为P1（4kx,y）.P关于直线x2k1对称的点为P2（4k2x,y）
∵f（4kx）f（x）f（x）y,∴点P1在图象上,图象关于点（2k,0）对称.又f（x）是奇函数,f（x2）f（x）f（x）
∴f（4k2x）f（2x）f（x）y
∴点P2在图象上,图象关于直线x2k1对称.
③设1x1x22，则2x2x11，02x22x11
∵f（x）在（1,0）上递增,∴f（2x1）f（2x2）⋯⋯（*）
又f（x2）f（x）f（x）∴f（2x1）f（x1）,f（2x2）f（x2）所以：
f（x2）f（x1），f（x）在（1,2）上是减函数.
xyxy
f（x）f（y）2f（）f（）,f（0）0，且存在非零常数c,使f（c）0.22
1）求f（0）的值；
2）判断f（x）的奇偶性并证明；
3）求证f（x）是周期函数，并求出f（x）的一个周期
课堂检测
f（x）2x，则
f（113.5）
（
D）
1
7
5
3、（★★）设
函数f（x）是定义在
R上的奇函数，对于任意的xR，都有
f（x1）
1f（x），
当0x≤1时，
f（x）2x，则f（11.5）（A）
1B.1
C.1D.
4、（★★）已知函数f（x）为R上的奇函数，且满足f（x2）f（x），当0x1时，
f（x）x，则f（7.5）等于（B）A.0.5B.0.5C.1.5D.1.5
5、（★★）设f（x）是定义在R上的奇函数，f（x4）－f（x）且f（3）5，则f（－21），f（2005）
答：
5，－5
6、（★★）设f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x2），当0≤x≤，1f（x）2x，
则f（7.5）
7、（★★）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x2）f（x2），f
（1）2，则f
（2）f（7）
－2
8、（★★★）设fx是定义域为R的函数，且fx21fx1fx，又
f222，则f2006=
（答：
）
1＋x
9、（★★★）设f（x）＝，又记f1（x）＝f（x），fk＋1（x）＝f[fk（x）]，k＝1,2，⋯，则f2009（x）＝（D）
1－x
本题属于迭代周期型，也是常出现的题】
10、（★★★）已知定义在R上的奇函数
f（x），满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0,2]上是增函数，若方程f（x）＝m（m>
0）在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4
-811、（★★★）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x＋2）＝－f（x）．
（1）求证：
f（x）是周期函数；
11
（2）若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）＝2x，求使f（x）＝－2在[0,2009]上的所有x的个
数．
解析：
（1）证明∵f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝－［－f（x）］＝f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数．
（2）当0≤x≤1时，f（x）＝2x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，11
∴f（－x）＝2（－x）＝－2x.
∵f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）．
111
∴－f（x）＝－2x，即f（x）＝2x（－1≤x≤0．）故f（x）＝2x（－1≤x≤1．）
又设1<
x<
3，则－1<
x－2<
1，∴f（x－2）＝12（x－2），又∵f（x－2）＝－f（2－x）＝－f（（－x）＋2）＝－［－f（－x）］＝－f（x），
11∴－f（x）＝2（x－2），∴f（x）＝－2（x－2）（1<
x<
3）．
2x，－1≤x≤11
∴f（x）＝.由f（x）＝－1，解得x＝－1.
12
－2x－2，1<
3∵f（x）是以4为周期的周期函数．
故f（x）＝－2的所有x＝4n－1（n∈Z）．
令0≤4n－1≤2009，则41≤n≤10205.
又∵n∈Z，∴1≤n≤502n（∈Z），
1∴在［0,2009］上共有502个x使f（x）＝－2
课后习题
．1x，则函
1若函数f（x）2x3的图像与g（x）的图像关于直线yx对称，则g（5）＝2设fx是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x（0,1），fxlog112
数fx在（1,2）上的解析式是
答案】ylog1x1
若方程f（x）恰有5个实数解，则m的取值范围为（
答案】B
答案】C
新定义型
的函数叫做似周期函数．
是偶函数；
数yf（x），xn,n1,nZ的解析式；
因为xR关于原点对称，
又函数yf（x）的图像关于直线x1对称，所以
f（1x）f（1x）①又T1，f（x1）af（x）,
用x代替x得f（x1）af（x）,
由①②③可知af（x）af（x）,a1且a0，
f（x）f（x）．即函数f（x）是偶函数；
（2）当nxn1（nZ）时，0xn1（nZ）
f（x）2f（x1）22f（x2）2nf（xn）2n（xn）（n1x）；
6、已知函数yf（x）,xD，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（xT）mf（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周
期函数，周期为T．若恒有f（xT）mf（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周
期函数，周期为T．
（1）试判断函数
f（x）
log1（x1）是否为3,上的周期为1的2级类增周期函数？
并
说明理由；
（2）已知函数
xax是3,
上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的
取值范围；
解
（1）∵（x
11）
（x1）2（x2
3x1）0，即（x
11）（x1）2
∴log1（x
log1（x1）2，
即log1（x11）
2log1（x1）
即f（x
1）2
f（x）对一切x
3,恒成立，
故f（x）
log1
（x1）是3,
上的周期为1的2级类增周期函数．
（2）由题意可知：
f（x1）2f（x），
即（x1）2a（x1）2（x2ax）对一切3,恒成立，
x1ax22x1，
令x1t，则t2,
所以g（t）ming
（2）1，
所以a1.
利用周期，奇偶性，对称性求解析式
7定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x0,2时，f（x）
2x
4x1
1）判断并证明f（x）在0,2上的单调性，并求
f（x）在2,2
上的解析式；
（1）
f（x）在
证明如下：
设0
f（x1）
f（x2）
f（x1）
f（x2）,
当2x
0时，
又f（x）为
奇函数，
2）当
升级会员 