高中数学必修2-1抛物线教学讲义(精品).doc

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03-抛物线

【知识点】

一、抛物线的标准方程、类型及其几何性质（）：

标准方程

图形

焦点

准线

范围

对称轴

轴

轴

顶点

（0，0）

离心率

二、抛物线的焦半径、焦点弦

1.焦点弦：

过抛物线焦点的弦，若，则

（1）x0+，

（2），－p2

（3）弦长,，即当x1=x2时,通径最短为2p

（4）若AB的倾斜角为θ，则=

（5）+=

2.通径：

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。

过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.

3.的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.

4、弦长公式：

三、抛物线问题的基本方法

1.直线与抛物线的位置关系

直线，抛物线，

，消y得：

（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

（2）当k≠0时，

Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；

Δ=0，直线与抛物线相切，一个切点；

Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?

（不一定）

2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线：

抛物线，

①　联立方程法：

设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a.相交弦AB的弦长

或

b.中点,，

②　点差法：

设交点坐标为，，代入抛物线方程，得

将两式相减，可得

a.在涉及斜率问题时，

b.在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，

即，

同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有

（注意能用这个公式的条件：

1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

【典型例题】

考点1抛物线的定义

题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换

[例1]已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为

[解析]过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离,因准线方程为x=-1,故最小值为3

1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，则有（）

A． B．

C． D.

［解析］C由抛物线定义，即：

．

2.已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,

M点坐标是（）

A.B.C.D.

[解析]设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C

考点2抛物线的标准方程

题型:

求抛物线的标准方程

[例2]求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

（1）过点（-3,2）

（2）焦点在直线上

[解析]

（1）设所求的抛物线的方程为或,

∵过点（-3,2）∴

∴

∴抛物线方程为或,

前者的准线方程是后者的准线方程为

（2）令得，令得，

∴抛物线的焦点为（4,0）或（0,-2）,当焦点为（4,0）时,

∴，此时抛物线方程;焦点为（0,-2）时

∴，此时抛物线方程.

∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.

3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值

[解析]

4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；

②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；

④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.

能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）

[解析]用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.

5.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程

[解析]设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或

考点3抛物线的几何性质

题型：

有关焦半径和焦点弦的计算与论证

[例3]设A、B为抛物线上的点,且（O为原点）,则直线AB必过的定点坐标为__________.

［解析］设直线OA方程为,由解出A点坐标为

解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点

补充：

抛物线的几个常见结论及其应用

结论一：

若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，

则：

，。

证明：

因为焦点坐标为F（,0）,当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：

，

由得:

∴，。

当AB⊥x轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上也有：

。

例：

已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：

为定值。

证明：

设，，由抛物线的定义知：

，，又+=，所以+=-p，且由结论一知：

。

则：

=

结论二：

（1）若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。

（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

证明：

（1）设，，设直线AB:

由得:

∴，，

∴。

易验证，结论对斜率不存在时也成立。

（2）由

（1）：

AB为通径时，，的值最大，最小。

例：

已知过抛物线的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为。

解：

由结论二，12=（其中α为直线AB的倾斜角），

则，所以直线AB倾斜角为或。

结论三：

两个相切：

（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

已知AB是抛物线的过焦点F的弦，求证：

（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

（2）分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：

以MN为直径的圆与直线AB相切。

证明：

（1）设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线，

垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。

由抛物线定义：

，，

∴，

∴以AB为直径为圆与准线l相切

（2）作图如

（1），取MN中点P，连结PF、MF、NF，

∵，AM∥OF，∴∠AMF=∠AFM，∠AMF=∠MFO，

∴∠AFM=∠MFO。

同理，∠BFN=∠NFO，

∴∠MFN=（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO）=90°，

∴，

∴∠PFM=∠FMP

∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP⊥AB

∴以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。

结论四：

若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。

反之也成立。

证明：

设直线AB方程为:

，由得，△>0，，

∵AO⊥BO，∴⊥∴

将，代入得，。

∴直线AB恒过定点（0，1）。

∴当且仅当k=0时，取最小值1。

结论五：

对于抛物线，其参数方程为设抛物线上动点坐标为，为抛物线的顶点，显然，即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率．

例直线与抛物线相交于原点和点，为抛物线上一点，和垂直，且线段长为，求的值．

解析：

设点分别为，则，．

的坐标分别为．．．

【课堂练习】

A抛物线

1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是（）

A．（2,0）B．（－2,0）C．（4,0）D．（－4,0）

2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为（）

A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x

3．已知直线l1：

4x－3y＋6＝0和直线l2：

x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）

A．2B．3C.5（11）D.16（37）

4．点A，B在抛物线x2＝2py（p>0）上，若A，B的中点是（x0，y0），当直线AB的斜率存在时，其斜率为（）

A.y0（2p）B.y0（p）C.x0（p）D.p（x0）

5．[2010·福建卷]以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）

A．x2＋y2＋2x＝0B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0D．x2＋y2－2x＝0

6．[2010·山东卷]已知抛物线y2＝2px（p>0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）

A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2

7．[2010·陕西卷]已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为（）

A.2

（1）B．1C．2D．4

8．[2010·辽宁卷]设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝（）

A．4B．8C．8D．16

9．[2011·东北三校模拟]已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为________．

10．[2010·浙江卷]设抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，点A（0,2）．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．

11．给定抛物线C：

y2＝4x，过点A（－1,0），斜率为k的直线与C相交于M，N两点，若线段MN的中点在直线x＝3上，则k＝________.

12．（13分）[2011·西城一模]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M（4,0）．

（1）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；

（2）设A，B为抛物线上两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰好过点M，求证：

线段AB中点的横坐标为定值．

13．（12分）[2011·西城一模]已知抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限．

（1）求证：

以线段FA为直径的圆与y轴相切；

（2）若→（FA）＝λ1→（AP），→（BF）＝λ2→（FA），λ2（λ1）∈2

（1），求λ2的取值范围．

B抛物线

1．若点P（x，y）到点F（0,2）的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P（x，y）的轨迹方程为（）

A．y2＝8xB．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y

2．抛物线x2＝（2a－1）y的准线方程是y＝1，则实数a＝（）

A.2（5）B.2（3）C．－2

（1）D．－2（3）

3．已知抛物线y2＝4x，若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，则△OAB的面积是（）

A．1B．2C．4D．6

4．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P（a,0）都满足|PQ|≥|a|，则