高中数学解三角形有问题详解Word文档格式.docx

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，a=1．则c=（　　）

﹣1

.

.2

7．（2013•模拟）在钝角△ABC中，已知AB=，AC=1，∠B=30°

，则△ABC的面积是（　　）

8．（2013•一模）在△ABC中，∠A=60°

，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（　　）

3

7

9．（2013•浦东新区三模）已知△ABC中，AC=2，BC=2，则角A的取值围是（　　）

10．（2012•）在△ABC中，若∠A=60°

，∠B=45°

，，则AC=（　　）

11．（2012•天河区三模）在△ABC中，若A=60°

，BC=4，AC=4，则角B的大小为（　　）

45°

135°

或135°

12．（2010•）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°

，则cosB=（　　）

﹣

13．△ABC的角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列，则的取值围是（　　）

（0，+∞）

（0，2+）

（1，+∞）

（1，2+）

14．（2014•）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（　　）

1

15．（2014•三模）在△ABC中，若，则∠B等于（　　）

90°

16．（2014•萧山区模拟）在锐角△ABC中，若C=2B，则的围（　　）

（0，2）

17．（2014•模拟）在△ABC中，如果，B=30°

，那么角A等于（　　）

18．（2014•广西模拟）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠A：

∠B=1：

2，且a：

b=1：

，则cos2B的值是（　　）

19．（2014•鄂尔多斯模拟）在△ABC中，∠A=60°

，b=1，△ABC的面积为，则边a的值为（　　）

20．（2014•文登市二模）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+csinC+asinC=bsinB，则∠B（　　）

二．解答题（共10小题）

21．（2014•）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

22．（2014•东城区一模）设△ABC的角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．

23．（2014•）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．

24．（2014•）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．

25．（2014•兴安盟一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0．

（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；

（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的取值围．

26．（2014•模拟）设△ABC中的角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．

（Ⅰ）当时，求角A的度数；

（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

27．（2014•模拟）三角形ABC中，角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．

（1）求角B的余弦值；

（2）若b=，求△ABC的面积．

28．（2014•）△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．

（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：

sinA+sinC=2sin（A+C）；

（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．

29．（2014•）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．

（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；

（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．

30．（2014•启东市模拟）在△ABC中，A，B，C为三个角a，b，c为三条边，，且．

（Ⅰ）判断△ABC的形状；

（Ⅱ）若，求的取值围．

参考答案与试题解析

考点：

余弦定理．菁优网所有

专题：

解三角形．

分析：

利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosB的值代入求出b的值，即可确定出三角形ABC周长．

解答：

解：

∵△ABC中，a=3，c=8，B=60°

，

∴b2=a2+c2﹣2accosB=9+64﹣24=49，即b=7，

则△ABC周长为3+8+7=18，

故选：

点评：

此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

利用余弦定理列出关系式，将a，b及cosB的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．

∵a=3，c=9，B=60°

，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即：

b2=9+64﹣24，即b=7，

则a+b+c=18

此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

利用余弦定理表示出cosB，把已知等式变形后代入计算求出cosB的值，即可确定出B的度数．

∵在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，

∴cosB==﹣，

则∠B=150°

正弦定理．菁优网所有

由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．

△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，

即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，

故选B．

本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．

计算题；

利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．

∵在△ABC中，2asinB=b，

∴由正弦定理==2R得：

2sinAsinB=sinB，

∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，

∴A=．

故选D．

本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．

由已知可先求C，然后结合正弦定理可求

∵A=30°

∴C=45°

∵a=1．

由正弦定理可得，

则c===

故选B

本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础试题

利用余弦定理列出关系式，把c，b，以及cosB的值代入求出a的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

∵在钝角△ABC中，已知AB=c=，AC=b=1，∠B=30°

∴由余弦定理得：

b2=a2+c2﹣2accosB，即1=a2+3﹣3a，

解得：

a=1或a=2，

当a=1时，a=b，即∠A=∠B=30°

，此时∠C=120°

，满足题意，△ABC的面积S=acsinB=；

当a=2时，满足a2=c2+b2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，

则△ABC面积是．

此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

由△ABC的面积S△ABC=，求出AC=1，由余弦定理可得BC，计算可得答案．

∵S△ABC==×

AB×

ACsin60°

=×

2×

AC×

∴AC=1，

△ABC中，由余弦定理可得BC==，

故选A．

本题考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出AC，是解题的关键．

知道两边求角的围，余弦定理得到角和第三边的关系，而第三边根据三角形的构成条件是有围的，这样转化到角的围．

利用余弦定理得：

4=c2+8﹣4ccosA，即c2﹣4cosAc+4=0，

∴△=32cos2A﹣16≥0，

∵A为锐角

∴A∈（0，]，

此题属于解三角形题型，解题思路为：

利用余弦定理解答三角形有解问题，知道两边求角的围，余弦定理得到角和第三边的关系，而第三边根据三角形的构成条件是有围的，这样转化到角的围，有一定难度．

计算题．

结合已知，根据正弦定理，可求AC

根据正弦定理，，

则

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题

正弦定理的应用．菁优网所有

先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinB的值，进而求出B，再由角B的围确定最终答案．

由正弦定理得，

∴B=45°

∵AC＜BC，

本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握．

根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．

根据正弦定理可得，

解得，

又∵b＜a，

∴B＜A，故B为锐角，

∴，

正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的围．

正弦定理；

等比数列的通项公式．菁优网所有

设==q，则由任意两边之和大于第三边求得q的围，可得的取值围

设==q，则==q+q2，则由，求得＜q＜，

∴＜q2＜，∴1＜q+q2＜2+，

本题考查数列与三角函数的综合应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角形三边关系的灵活运用

余弦定理；

根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．

∵3a=2b，∴b=，

根据正弦定理可得===，

本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．

根据所给的等式和正弦定理，得到要求角的正弦和余弦相等，由根据这是一个三角形的角得到角的度数只能是45°

．

∵，

又由正弦定理知，

∴sinB=cosB，

∵B是三角形的一个角，

本题考查正弦定理，是一个基础题，解题时注意当两个角的正弦值和余弦值相等时，一定要说清楚这个角的围，这样好确定角度．

函数的值域．菁优网所有

由正弦定理得，再根据△ABC是锐角三角形，求出B，cosB的取值围即可．

由正弦定理得，∵△ABC是锐角三角形，∴三个角均为锐角，

即有，0＜π﹣C﹣B=π﹣3B＜

解得，又余弦函数在此围是减函数．故＜cosB＜．

∴＜＜

故选A

本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质．易错点是B角的围确定不准确．

本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理，由在△ABC中，如果，我们根据正弦定理边角互化可以得到a=c，又由B=30°

，结合余弦定理，我们易求出b与c的关系，进而得到B与C的关系，然后根据三角形角和为180°

，即可求出A角的大小．

∵在△ABC中，如果

∴a=c

又∵B=30°

由余弦定理，可得：

cosB=cos30°

===

b=c

则B=C=30°

A=120°

余弦定理：

a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．余弦定理可以变形为：

cosA=（b2+c2﹣a2）÷

2bc，cosB=（a2+c2﹣b2）÷

2ac，cosC=（a2+b2﹣c2）÷

2ab

二倍角的余弦．菁优网所有

根据正弦定理得到sinA：

sinB，因为∠A：

2，利用二倍角的三角函数公式得到A和B的角度，代入求出cos2B即可．

依题意，因为a：

所以sinA：

sinB=1：

又∠A：

2，则cosA=，

所以A=30°

，B=60°

，cos2B=﹣

考查学生灵活运用正弦定理解决数学问题的能力，以及灵活运用二倍角的三角函数公式化简求值的能力．

根据正弦定理的面积公式，结合题中数据算出边c=4，再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子算出a2=13，即可算出边a的长度．

∵△ABC中，∠A=60°

，b=1，

∴可得△ABC的面积为S=bcsinA=×

1×

c×

sin60°

=

解之得c=4

根据余弦定理，得

a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×

4×

cos60°

=13，所以a=（舍负）

故选C

本题给出三角形一边、一角和面积，求边a的长度．着重考查了正弦定理的面积公式和利用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．

由已知结合正弦定理可得，，然后利用余弦定理可得，cosB==﹣，可求B

∵asinA+csinC+asinC=bsinB，

∴由正弦定理可得，

由余弦定理可得，cosB==﹣

∵0＜B＜π

∴B=．

本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．