高三数学二轮复习数列专题及其答案.doc

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2018届高三第二轮复习——数列

第1讲等差、等比考点

【高考感悟】

从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：

考什么

怎么考

题型与难度

1.等差（比）数列的基本运算

主要考查等差、等比数列的基本量的求解

题型：

三种题型均可出现

难度：

基础题

2.等差（比）数列的判定与证明

主要考查等差、等比数列的定义证明

题型：

三种题型均可出现

难度：

基础题或中档题

3.等差（比）数列的性质

主要考查等差、等比数列的性质

题型：

选择题或填空题

难度：

基础题或中档题

1．必记公式

（1）等差数列通项公式：

an＝a1＋（n－1）d.

（2）等差数列前n项和公式：

Sn＝＝na1＋.

（3）等比数列通项公式：

ana1qn－1.

（4）等比数列前n项和公式：

Sn＝.

（5）等差中项公式：

2an＝an－1＋an＋1（n≥2）．

（6）等比中项公式：

a＝an－1·an＋1（n≥2）．

（7）数列{an}的前n项和与通项an之间的关系：

an＝.

2．重要性质

（1）通项公式的推广：

等差数列中，an＝am＋（n－m）d；等比数列中，an＝amqn－m.

（2）增减性：

①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列．

②等比数列中，若a1＞0且q＞1或a1＜0且0＜q＜1，则数列为递增数列；若a1＞0且0＜q＜1或a1＜0且q＞1，则数列为递减数列．

3．易错提醒

（1）忽视等比数列的条件：

判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件．

（2）漏掉等比中项：

正数a，b的等比中项是±，容易漏掉－.

【真题体验】

1．（2015·新课标Ⅰ高考）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝（　　）

A.　　　　B.　　　　C．10　　　　D．12

2．（2015·新课标Ⅱ高考）已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4（a4－1），则a2＝（　　）

A．2B．1C.D.

3．（2015·浙江高考）已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝__________，d＝________．

4．（2016·全国卷1）已知是公差为3的等差数列，数列满足，.

（I）求的通项公式；（II）求的前n项和.

【考点突破】

考点一、等差（比）的基本运算

1．（2015·湖南高考）设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．

2．（2015·重庆高考）已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.

考点二、等差（比）的证明与判断

【典例1】（2017·全国1）记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6.

（1）求的通项公式；

（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。

.

【规律感悟】　判断和证明数列是等差（比）数列的三种方法

（1）定义法：

对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an为同一常数．

（2）通项公式法：

①若an＝a1＋（n－1）d＝am＋（n－m）d或an＝kn＋b（n∈N*），则{an}为等差数列；

②若an＝a1qn－1＝amqn－m或an＝pqkn＋b（n∈N*），则{an}为等比数列．

（3）中项公式法：

①若2an＝an－1＋an＋1（n∈N*，n≥2），则{an}为等差数列；

②若a＝an－1·an＋1（n∈N*，n≥2），且an≠0，则{an}为等比数列．

变式：

（2014·全国大纲高考）数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.

（1）设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；

（2）求{an}的通项公式．

考点三、等差（比）数列的性质

命题角度一　与等差（比）数列的项有关的性质

【典例2】　

（1）（2015·新课标Ⅱ高考）已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝（　　）

A．21　　　　B．42　　　　C．63　　　　D．84

（2）（2015·铜陵模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，则a5＋a6＝（　　）

A.B．12C．6D.

命题角度二　与等差（比）数列的和有关的性质

【典例3】　

（1）（2014·全国大纲高考）设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝（　　）A．31B．32C．63D．64

（2）（2015·衡水中学二调）等差数列{an}中，3（a3＋a5）＋2（a7＋a10＋a13）＝24，则该数列前13项的和是（　　）A．13B．26C．52D．156

[针对训练]

1．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________．

2．在等比数列{an}中，a4·a8＝16，则a4·a5·a7·a8的值为________．

3．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝______．

【巩固训练】

一、选择题

1．（2015·新课标Ⅱ高考）设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝（　　）

A．5　　　　B．7　　　　C．9　　　　D．11

2．（2014·福建高考）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于（　　）

A．8B．10C．12D．14

3．（2014·重庆高考）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（　　）

A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列

C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列

4．（2014·天津高考）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝（　　）

A．2B．－2C.D．－

5．（2015·辽宁大连模拟）数列{an}满足an－an＋1＝an·an＋1（n∈N*），数列{bn}满足bn＝，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6（　　）

A．最大值为99B．为定值99C．最大值为100D．最大值为200

二、填空题

6．（2015·陕西高考）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．

7．（2015·安徽高考）已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．

8．（2014·江西高考）在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．

三、解答题

9．（文）（2015·兰州模拟）在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的前n项和Sn.

10、（2014·湖北高考）已知等差数列{an}满足：

a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？

若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

11．（2015·江苏高考）设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．

（1）证明：

2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；

（2）是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？

并说明理由

第2讲　数列求和（通项）及其综合应用

【高考感悟】

从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：

考什么

怎么考

题型与难度

1.数列的通项公式

①考查等差、等比数列的基本量的求解；

②考查an与Sn的关系，递推关系等

题型：

三种题型均可出现

难度：

基础题或中档题

2.数列的前n项和

①考查等差、等比数列前n项和公式；

②考查用裂项相消法、错位相减法、分解组合法求和.

题型：

三种题型均可出现，更多为解答题

难度：

中档题

3.数列的综合应用

①证明数列为等差或者等比；

②考查数列与不等式的综合.

题型：

解答题

难度：

中档题

【真题体验】

1．（2015·北京高考）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）

A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0

B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0

C．若0＜a1＜a2，则a2＞

D．若a1＜0，则（a2－a1）（a2－a3）＞0

2．（2015·武汉模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为（　　）A.　　　B.C.D.

3．（2015·福建高考）等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．

【考点突破】

考点一、数列的通项公式

【规律感悟】　求通项的常用方法

（1）归纳猜想法：

已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．

（2）已知Sn与an的关系，利用an＝求an.

（3）累加法：

数列递推关系形如an＋1＝an＋f（n），其中数列{f（n）}前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法（叠加法）．

（4）累乘法：

数列递推关系如an＋1＝g（n）an，其中数列{g（n）}前n项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法（叠乘法）．

（5）构造法：

①递推关系形如an＋1＝pan＋q（p，q为常数）可化为an＋1＋＝p（p≠1）的形式，利用是以p为公比的等比数列求解．

②递推关系形如an＋1＝（p为非零常数）可化为＝－的形式．

1．（2015·新课标Ⅱ高考）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________．

2．（2015·铜陵模拟）数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝3n＋1，n∈N*，则an＝________．

3．若数列{an}满足a1＝3，an＋1＝，则a2015的值为________．

考点二、数列的前n项和

【规律感悟】　

1.分组求和的常见方法

（1）根据等差、等比数列分组．

（2）根据正号、负号分组．

（3）根据数列的周期性分组．

2．裂项后相消的规律常用的拆项公式（其中n∈N*）

①＝－.②＝.③＝（－）．

3．错位相减法的关注点

（1）适用题型：

等差数列{an}乘以等比数列{bn}对应项（{an·bn}）型数列求和．

（2）步骤：

①求和时先乘以数列{bn}的公比．②把两个和的形式错位相减．③整理结果形式．

4．倒序求和。

命题角度一　基本数列求和、分组求和

【典例1】　（2015·湖北八校联考）等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝