辽宁省大连市高考数学一模试卷文科解析版.doc
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2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z=1+2i,则=( )
A.1﹣2i B.5+4i C.1 D.2
2.已知集合A={x|(x﹣3)(x+1)<0},B={x|x>1},则A∩B=( )
A.{x|x>3} B.{x|x>1} C.{x|﹣1<x<3} D.{x|1<x<3}
3.设a,b均为实数,则“a>b”是“a3>b3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.直线4x﹣3y=0与圆(x﹣1)2+(y﹣3)2=10相交所得弦长为( )
A.6 B.3 C. D.
5.下列命题中错误的是( )
A.如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线
B.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么直线l⊥平面γ
C.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
D.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交
6.已知数列{an}满足an+1﹣an=2,a1=﹣5,则|a1|+|a2|+…+|a6|=( )
A.9 B.15 C.18 D.30
7.在平面内的动点(x,y)满足不等式,则z=2x+y的最大值是( )
A.6 B.4 C.2 D.0
8.函数f(x)=的图象大致为( )
A. B. C. D.
9.某几何体的三视图如图所示,则其体积为( )
A.4 B. C. D.
10.运行如图所示的程序框图,则输出结果为( )
A. B. C. D.
11.若关于x的方程2sin(2x+)=m在[0,]上有两个不等实根,则m的取值范围是( )
A.(1,) B.[0,2] C.[1,2) D.[1,]
12.已知定义在R上的函数f(x)为增函数,当x1+x2=1时,不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f
(1)恒成立,则实数x1的取值范围是( )
A.(﹣∞,0) B. C.(,1) D.(1,+∞)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.某班级有50名同学,一次数学测试平均成绩是92,如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90,则学号为31号到50号同学的平均成绩为 .
14.若函数f(x)=ex•sinx,则f'(0)= .
15.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点,则双曲线的离心率为 .
16.我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?
”如果此物数量在100至200之间,那么这个数 .
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知点P(,1),Q(cosx,sinx),O为坐标原点,函数f(x)=•.
(1)求函数f(x)的最小值及此时x的值;
(2)若A为△ABC的内角,f(A)=4,BC=3,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
18.某手机厂商推出一次智能手机,现对500名该手机使用者进行调查,对手机进行打分,打分的频数分布表如下:
女性用户
分值区间
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
频数
20
40
80
50
10
男性用户
分值区间
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
频数
45
75
90
60
30
(1)完成下列频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的方差大小(不计算具体值,给出结论即可);
(2)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意取2名用户,求2名用户评分小于90分的概率.
19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP=2,AB=2,E为棱PD中点.
(1)求证:
PD⊥平面ABE;
(2)求四棱锥P﹣ABCD外接球的体积.
20.已知函数f(x)=ax﹣lnx.
(1)过原点O作函数f(x)图象的切线,求切点的横坐标;
(2)对∀x∈[1,+∞),不等式f(x)≥a(2x﹣x2)恒成立,求实数a的取值范围.
21.已知椭圆Q:
+y2=1(a>1),F1,F2分别是其左、右焦点,以线段F1F2为直径的圆与椭圆Q有且仅有两个交点.
(1)求椭圆Q的方程;
(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点P,点P横坐标的取值范围是[﹣,0),求|AB|的最小值.
四、请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
22.已知在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程;
(2)若曲线C2的参数方程为(α为参数),曲线C1上点P的极角为,Q为曲线C2上的动点,求PQ的中点M到直线l距离的最大值.
[选修4-5:
不等式选讲]
23.已知a>0,b>0,函数f(x)=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1.
(1)求证:
2a+b=2;
(2)若a+2b≥tab恒成立,求实数t的最大值.
2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z=1+2i,则=( )
A.1﹣2i B.5+4i C.1 D.2
【考点】复数的基本概念.
【分析】由已知直接利用共轭复数的概念得答案.
【解答】解:
∵z=1+2i,∴=1﹣2i.
故选:
A.
2.已知集合A={x|(x﹣3)(x+1)<0},B={x|x>1},则A∩B=( )
A.{x|x>3} B.{x|x>1} C.{x|﹣1<x<3} D.{x|1<x<3}
【考点】交集及其运算.
【分析】求出两个集合,然后求解交集即可.
【解答】解:
A={x|(x﹣3)(x+1)<0}={x|﹣1<x<3}),B={x|x>1},则A∩B={x|1<x<3},
故选:
D
3.设a,b均为实数,则“a>b”是“a3>b3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】判断命题的真假:
若a>b则a3>b3.是真命题,即a>b⇒a3>b3.若a3>b3则a>b.是真命题,即a3>b3⇒a>b.
【解答】解:
若a>b则a3>b3.是真命题,即a>b⇒a3>b3.
若a3>b3则a>b.是真命题,即a3>b3⇒a>b.
所以a>b是a3>b3的充要条件.
故选:
C.
4.直线4x﹣3y=0与圆(x﹣1)2+(y﹣3)2=10相交所得弦长为( )
A.6 B.3 C. D.
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】利用弦长公式|AB|=2,即可得出.
【解答】解:
假设直线4x﹣3y=0与圆(x﹣1)2+(y﹣3)2=10相交所得弦为AB.
圆心到直线的距离d==1,
∴弦长|AB|=2=2=6.
故选:
A.
5.下列命题中错误的是( )
A.如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线
B.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么直线l⊥平面γ
C.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
D.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案.
【解答】解:
如果平面α外的直线a不平行于平面α,则a与α相交,则α内不存在与a平行的直线,故A正确;
如图:
α⊥γ,α∩γ=a,β⊥γ,β∩γ=b,α∩β=l,
在γ内取一点P,过P作PA⊥a于A,作PB⊥b于B,由面面垂直的性质可得PA⊥l,PB⊥l,
则l⊥γ,故B正确;
如果平面α⊥平面β,那么平面α内的直线与平面β有三种位置关系:
平行、相交、异面,故C错误;
一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交,故D正确.
故选:
C.
6.已知数列{an}满足an+1﹣an=2,a1=﹣5,则|a1|+|a2|+…+|a6|=( )
A.9 B.15 C.18 D.30
【考点】数列的求和.
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可得an,Sn,对n分类讨论即可得出.
【解答】解:
∵an+1﹣an=2,a1=﹣5,∴数列{an}是公差为2的等差数列.
∴an=﹣5+2(n﹣1)=2n﹣7.
数列{an}的前n项和Sn==n2﹣6n.
令an=2n﹣7≥0,解得.
∴n≤3时,|an|=﹣an.
n≥4时,|an|=an.
则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2(32﹣6×3)=18.
故选:
C.
7.在平面内的动点(x,y)满足不等式,则z=2x+y的最大值是( )
A.6 B.4 C.2 D.0
【考点】简单线性规划.
【分析】根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线z=x+y的最优解,然后求解z最大值即可.
【解答】解:
根据不等式,画出可行域,
由,可得x=3,y=0
平移直线2x+y=0,∴当直线z=2x+y过点A(3,0)时,z最大值为6.
故选:
A.
8.函数f(x)=的图象大致为( )
A. B. C. D.
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的图象.
【分析】利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域,判断函数的图象即可.
【解答】解:
函数f(x)=的定义域为:
x≠0,x∈R,当x>0时,函数f′(x)=,可得函数的极值点为:
x=1,当x∈(0,1)时,函数是减函数,x>1时,函数是增函数,并且f(x)>0,选项B、D满足题意.
当x<0时,函数f(x)=<0,选项D不正确,选项B正确.
故选:
B.
9.某几何体的三视图如图所示,则其体积为( )
A.4 B. C. D.
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥,结合三视图的数据,求出几何体的体积.
【解答】解:
由题意三视图可知,几何体是正四棱锥,
底面边长为2的正方形,一条侧棱垂直正方形的一个顶点,长度为2,
所以四棱锥的体积.
故选D.
10.运行如图所示的程序框图,则输出结果为( )
A. B. C. D.
【考点】程序框图.
【分析】由程序框图知,程序运行的功能是
用二分法求函数f(x)=x2﹣2在区间[1,2]上的零点,且精确到0.3;
模拟运行过程,即可得出结果.
【解答】解:
由程序框图知,程序运行的功能是
用二分法求函数f(x)=x2﹣2在区间[1,2]上的零点,且精确到0.3;
模拟如下;
m==时,f
(1)•f()=(﹣1)×<0,
b=,|a﹣b|=≥d;
m==时,f
(1)•f()=(﹣1)×(﹣