讨论函数的单调性.docx
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导数微专题探究——讨论函数的单调性
例1:
已知函数,.讨论函数的单调区间;
练习1:
设函数,其中为常数.讨论函数的单调性.
例2:
已知函数.讨论的单调性;
练习2:
已知函数.当时,讨论的单调性;
例3:
(2012文)设函数.讨论函数的单调性.
例4:
已知函数.讨论的单调性
例5:
已知函数.讨论的单调性
例6:
已知.讨论的单调性;
导数微专题探究——讨论函数的单调性答案
例1:
求导:
当时,,,在上递增;
当,由求得两根为
即在递增,递减,递增;
练习1:
函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=+=.
当a≥0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),
①当a=-时,Δ=0,f′(x)=≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②当a<-时,Δ<0,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
③当-<a<0时,Δ>0.设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,
则x1=,x2=.
因为x1==>0,
所以,x∈(0,x1)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.
综上可得,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a≤-时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当-<a<0时,f(x)在,上单调递减,
在上单调递增.
例2:
当时,则在单调递增,在单调递减.
练习2:
因为,所以,
令
(1)当时,,.
所以当时,,此时,函数单调递减.
(2)当时,由,即,解得:
.
①当时,,时,,此时,函数单调递减,
时,,此时,函数单调递增;
②当时,,恒成立,此时,函数在上单调递减;
③当时,,时,,此时,函数单调递减,
时,,此时,函数单调递增,
时,,此时,函数单调递减;
综上所述:
当时,函数在上单调递减;函数在上单调递增
当时,函数在上单调递减
当时,函数在上单调递减;函数在上单调递增.函数在上单调递减。
例3:
例4:
函数的定义域为,,
①若,则,在单调递增.
②若,则由得.
当时,;当时,,所以在单调递减,在单调递增.
③若,则由得.
当时,;当时,,故在单调递减,在单调递增.
例5:
因为,
所以,,
令,则,所以在上单调递增,
因为,所以,当时,;当时,.
(1)当时,,
当时,,,单调递增;
当时,,,单调递减;
当时,,,单调递增.
(2)当时,,当时,,单调递增;
(3)当时,
当时,,,单调递增;
当时,,,单调递减;
当时,,,单调递增;
综上所述:
当时,函数在和上单调递增,在上单调递减;
当时,函数在上单调递增;
当时,函数在和上单调递增,在上单调递减.
例6:
当,时,,单调递增;,单调递减.
当时,.
综上所述,当时,函数在内单调递增,在内单调递减;
当时,在内单调递增,在内单调递减,在 内单调递增;
当时,在内单调递增;
当,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增.