计数原理综合习题(有答案).doc

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选修2-3第一章计数原理单元质量检测

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．小王打算用70元购买面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法一共有（　　）

A．7种B．8种C．6种 D．9种

2．设某班有男生30人，女生24人，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法种数是（　　）

A．360B．480C．720 D．240

3.设P＝1＋5（x＋1）＋10（x＋1）2＋10（x＋1）3＋5（x＋1）4＋（x＋1）5，则P等于（　　）

A．x5B．（x＋2）5C．（x－1）5 D．（x＋1）5

4.5的展开式中x2y3的系数是（　　）

A．－20B．－5C．5 D．20

5．20个不同的小球平均分装在10个格子中，现从中拿出5个球，要求没有两个球取自同一个格子中，则不同的拿法一共有（　　）

A．C种B．C种C．CC种 D．C·25种

6．在（1－x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn中，若2a2＋an－5＝0，则n的值是（　　）

A．7B．8C．9D．10

7．7人站成一排照相，甲站在正中间，乙、丙与甲相邻且站在甲的两边的排法共有（　　）

A．120种B．240种C．48种D．24种

8．（＋）100的展开式中，无理项的个数是（　　）

A．83B．84C．85 D．86

9．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（　　）

A．72B．120C．144 D．168

10．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（　　）

A．144B．120C．72D．24

11．在（1＋x）6（1＋y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3,0）＋f（2,1）＋f（1,2）＋f（0,3）＝（　　）

A．45B．60C．120D．210

12．设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝（　　）

A．5B．6C．7 D．8

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种（用数字作答）．

14．（＋a）6的展开式中含x2项的系数为60，则实数a＝________.

15．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种（用数字作答）．

16.设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai（i，ai）（i＝0,1,2）的位置如图所示，则a＝________.

三、解答题（写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分）

17．（10分）4位学生与2位教师坐在一起合影留念，根据下列条件，求各有多少种不同的坐法：

（1）教师必须坐在中间；

（2）教师不能坐在两端，但要坐在一起；

（3）教师不能坐在两端，且不能相邻．

18．（12分）从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它的和大于100，则不同的取法有多少种？

19.（12分）已知n，i是虚数单位，x>0，n∈N＋.

（1）如果展开式的倒数第三项的系数是－180，求n的值；

（2）对

（1）中的n，求展开式中的系数为正实数的项．

20.（12分）若n的展开式中含x的项为第6项，设（1－3x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，求a1＋a2＋…＋an的值．

21.（12分）已知（a2＋1）n的展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而（a2＋1）n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．

22.（12分）用0,1,2,3,4,5这六个数字：

（1）可组成多少个无重复数字的自然数？

（2）可组成多少个无重复数字的四位偶数？

（3）组成无重复数字的四位数中比4023大的数有多少？

答案

1．C　要完成“至少买一张IC电话卡”这件事，可分三类：

第一类是买1张IC卡；第二类是买2张IC卡；第三类是买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有1种方法．不同的买法共有2＋3＋1＝6（种）．

2．C　由分步乘法计数原理，得N＝30×24＝720（种）．

3．B　P＝[1＋（x＋1）]5＝（x＋2）5，故选B.

4．A　由已知，得Tr＋1＝C5－r（－2y）r＝C5－r·（－2）rx5－ryr（0≤r≤5，r∈Z），令r＝3，得T4＝C2（－2）3x2y3＝－20x2y3.故选A.

5．D　分两步：

第一步先从10个格子中选中5个格子，有C种方法；第二步从每个格子中选一个球，不同的拿法有2×2×2×2×2＝25（种）．由分步乘法计数原理共有C·25种不同的拿法．

6．B　Tr＋1＝C（－1）rxr，则a2＝C，an－5＝（－1）n－5C，因为2a2＋an－5＝0，a2>0，所以an－5＝－C，所以2C＝C且n为偶数，将各选项代入验证知n＝8，故选B.

7．C　由题意知，甲的位置确定，而乙、丙的位置有2种排法，再排其他4人，有A种不同的排法，故不同的排法总数为A·2＝48（种）．

8．B　先求展开式中的有理项．

∵Tr＋1＝C（）100－r·（）r＝C·2·3，

∴要使展开式中的项为有理项，r必为6的倍数．

又∵0≤r≤100，且r∈N，

∴r的取值为0,6,12，…，96，它构成了以0为首项，6为公差，96为末项的等差数列，设它有n项，则96＝6（n－1）．

∴n＝17.

∵展开式中共有101项，其中有17项是有理项，

∴无理项有84项．

9．B　解决该问题分为两类：

第一类分两步，先排歌舞类A，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有A·2A＝72.第二类也分两步，先排歌舞类A，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有CAA，故不同的排法有AAAC＝48，故共有120种不同排法，故选B.

10．D　插空法．在已排好的三把椅子产生的4个空当中选出3个插入3人即可．故排法种数为A＝24.故选D.

11．C　因为（1＋x）6展开式的通项公式为Tr＋1＝Cxr，（1＋y）4展开式的通项公式为Th＋1＝Cyh，所以（1＋x）6（1＋y）4展开式的通项可以为CCxryh.所以f（m，n）＝CC.所以f（3,0）＋f（2,1）＋f（1,2）＋f（0,3）＝C＋CC＋CC＋C＝20＋60＋36＋4＝120.故选C.

12．B　由题意可知，a＝C，b＝C，

又因为13a＝7b，所以13·＝7·，

即＝.解得m＝6.故选B.

13．30

解析：

方法1：

可分以下两种情况：

（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；

（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法．所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30（种）．

方法2：

C－C－C＝30（种）．

14．±2

解析：

通项Tr＋1＝C（）6－rar＝arCx3－，

令3－＝2，得r＝2.

故a2C＝60，解得a＝±2.

15．60

解析：

不同的获奖情况分为两种，一是一人获两张奖券一人获一张奖券，共有CA＝36（种）；二是有三人各获得一张奖券，共有A＝24（种）．因此不同的获奖情况有36＋24＝60（种）．

16.3

解析：

由题意得a1＝·C＝＝3，所以n＝3a；

a2＝C＝＝4，所以n2－n＝8a2.

将n＝3a代入n2－n＝8a2得9a2－3a＝8a2，

即a2－3a＝0，解得a＝3或a＝0（舍去）．

所以a＝3.

17．解：

（1）分步完成：

教师先坐中间，有A种方法，学生再坐其余位置，有A种方法．

根据分步乘法计数原理，不同的坐法共有A·A＝48（种）．

（2）将2名教师看作一个元素，问题变为5个元素排列的问题．

先将教师排好，有A·A种方法，再排学生，有A种方法，故不同的坐法共有A·A·A＝144（种）．

（3）插空法：

先排学生，有A种方法，教师从4名学生之间的3个空位选2个进行排列，有A种方法，故不同的坐法共有A·A＝144（种）．

18．解：

若从1,2,3，…，97,98,99,100中取出1，有1＋100>100，有1种取法；

若取出2，有2＋100>100,2＋99>100，有2种取法；

取出3，有3种取法；…；

若取出50，有50＋51>100,50＋52>100，…，50＋100>100，有50种取法；

所以取出数字1至50，共有不同的取法N1＝1＋2＋3＋…＋50＝1275（种）．

若取出51，有51＋52>100,51＋53>100，…，51＋100>100，有49种取法；

若取出52，则有48种取法；…；若取出99，只有1种取法．

所以取出数字51至100（N1中取过的不再取），有不同取法N2＝49＋48＋…＋2＋1＝1225（种）．

故总的取法共有N＝N1＋N2＝2500（种）．

19.解：

（1）由已知，得C（2i）2＝－180，即4C＝180，

化简得n2－n－90＝0，又n∈N＋，解得n＝10.

（2）10展开式的通项为

Tr＋1＝C（2i）10－rx－2r＝C（2i）10－rx，

∵展开式中的系数为正实数，且r∈{0,1,2，…，10}，

∴r的取值为10,6,2，

故所求的项为

T11＝x－20，T7＝3360x－10，T3＝11520.

20．解：

T6＝C（x2）n－55＝－Cx2n－15，

令2n－15＝1，则n＝8，

令x＝1，则a0＋a1＋…＋an＝（－2）8＝256，

令x＝0，则a0＝1，

所以a1＋a2＋…＋an＝255.

21.解：

5的展开式的通项是

Tr＋1＝C5－rr＝5－r·C·x，

令20－5r＝0，解得r＝4，

故常数项T5＝C×＝16，

又（a2＋1）n的展开式的各项系数之和等于2n，

由题意得2n＝16，解得n＝4，

由二项式系数的性质可知，（a2＋1）4的展开式中系数最大的项是中间项，即第三项，

由Ca4＝54，解得a＝±.

22．解：

（1）组成无重复数字的自然数共有CA＋CA＋CA＋CA＋CA＋C＝1631（个）．

（2）无重复数字的四位偶数中个位数是0的有A＝60（个），个位数是2或4的有2CA＝96（个），所以无重复数字的四位偶数共有60＋96＝156（个）．

（3）无重复数字的四位数中千位数字是5的共有A＝60（个），千位数字是4的有A＝60（个），其中不大于4023的有5个，故比4023大的数共有60＋60－5＝115（个）．