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而所谓区分，则是把比较得
到的相同点和不同点在思维中固定下来，利用它们把对象分为不同的类。
然后再进行舍弃与收括，舍弃是指在思维中不考虑对象的某些性质，收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来，并用词表达出来。
这就形成了抽象的概念，同时也就形成了表示这个概念的词，于是完成了一个抽象过程。
4、括的含义及其过程。
概括是指在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念的思维过程。
概括通常可分为经验概括和理论概括两种。
经验概括是从事实出发，以对个别事物所做的观察陈述为基础，上升为普遍的认识——由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。
理论概括则是指在经验概括的基础上，由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识，从而达到对客观世界的规律的认识。
在数学中经常使用的是理论概括。
一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节
5、简述公理方法历史发展的各个阶段
公理方法经历了具体的公理体系、抽象的公理体系和形式化的公理体系三个阶段。
第一个具体的公理体系就是欧几里得的《几何原本》。
非欧几何是抽象的公理体系的典型代表。
希尔伯特的《几何基础》开创了形式化的公理体系的先河，现代数学的几乎所有理论都是用形式公理体系表述出来的，现代科学也尽量采用形式公理法作为研究和表述手段。
6、简述化归方法并举例说明。
所谓“化归”，从字面上看，应可理解为转化和归结的意思。
数学方法论中所论及的“化归方法”是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。
例如：
要求解四次方程
可以令
，将原方程化为关于
的二次方程
这个方程我们会求其解：
和
，从而得到两个二次方程：
这也是我们会求解的方程，解它们便得到原方程的解：
，
.这里所用的就是化归方法。
7、简述计算和算法的含义。
计算是指根据已知数量通过数学方法求得未知数的过程，是一种最基本的数学思想方法。
随着电子计算机的广泛应用，计算的重要意义更加凸现，主要表现在以下几个方面：
（1）推动了数学的应用；
（2）加快了科学的数学化进程；
（3）促进了数学自身的发展。
算法是由一组有限的规则所组成的一个过程。
所谓一个算法它实质上是解决一类问题的一个处方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地进行操作，就能引导到问题的解决。
在一个算法中，每一个步骤必须规定得精确和明白，不会产生歧义，并且一个算法在按有限的步骤解决问题后必须结束。
数学中的许多问题都可以归结为寻找算法或判断有无算法的问题，因此，算法对数学中的许多问题的解决有着决定性作用。
另外，算法在日常生活、社会生产和科学技术中也有着重要意义。
算法在科学技术中的意义主要体现在如下几个方面：
（1）用于表述科学结论的一种形式；
（2）作为表述一个复杂过程的方法；
（3）减轻脑力劳动的一种手段；
（4）作为研究和解决新问题的手段；
（5）作为一种基本的数学工具。
8简述数学教学中引起“分类讨论”的原因。
数学教学中引起“分类讨论”的原因有：
数学中的许多概念的定义是分类给出的，因此涉及到这些概念时要分类讨论；
数学中有些运算性质、运算法则是分类给出的，进行这类运算时要分类讨论；
有些几何问题，根据题设不能只用一个图形表达，必须全面考虑各种不同的位置关系，需要分类讨论；
许多数学问题中含有字母参数，随着参数取值不同，会使问题出现不同的结果。
因此需要对字母参数的取值情况进行分类讨论。
9简述《国家数学课程标准》的几个主要特点。
把“现实数学”作为数学课程的一项内容；
把“数学化”作为数学课程的一个目标；
把“再创造”作为数学教育的一条原则。
把“已完成的数学”当成是“未完成的数学”来教，给学生提供“再创造”的机会；
把“问题解决”作为数学教学的一种模式；
把“数学思想方法”作为课程体系的一条主线。
要求学生掌握基本的数学思想方法；
把“数学活动”作为数学课程的一个方面。
强调学生的数学活动，注重“向学生提供充分从事数学活动的机会”，帮助他们“获得广泛的数学活动的经验”；
把“合作交流”看成学生学习数学的一种方式。
要让学生在解决问题的过程中“学会与他人合作”，并能“与他人交流思维的过程和结果”；
把“现代信息技术”作为学生学习数学的一种工具。
10简述数学思想方法教学的
主要阶段。
数学思想方法教学主要有三个阶段：
多次孕育、初步理解和简单应用三个阶段。
二、论述题
1、论述社会科学数学化的主
要原因。
从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必
然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：
第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学
数学化的最根本的因素。
第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系
的发展也需要精确化。
第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会
历史现象的新的数学分支。
第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过
量化后可以进行数值处理。
2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。
第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致
了公理几何与逻辑的产生。
第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析
基础理论的完善和集合论的产生。
第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理
逻辑和一批现代数学的产生。
由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新
的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发
展的历史动力这一基本原理。
整个数学的发展史就是矛盾斗争的
历史，斗争的结果就是数学领域
的发展。
3、叙述不完全归纳法的推理
形式，并举一个应用不完全归纳法的例子。
不完全归纳法的一般推理形式是：
设S=
；
由于具有属性p，具有属性p，……具有属性p，因此推断S类事物中的每一个对象都可能具有属性p。
4、叙述类比推理的形式。
如
何提高类比的可靠性？
类比推理通常可用下列形式来表示：
A具有性质
B具有性质
因此，B也可能具有性质。
其中，分别相同或相似。
欲提高类比的可靠性，应尽量满足条件：
（1）A与B共同（或相似）的属性尽可能地多些；
（2）这些共同（或相似）的属性应是类比对象A与B的主要属性；
（3）这些共同（或相似）的属性应包括类比对象的各个不同方面，并且尽可能是多方面的；
（4）可迁移的属性d应该是和属于同一类型。
符合上述条件的类比，其结论的可靠性虽然可以得到提高，但仍不能保证结论一定正确。
5、试比较归纳猜想与类比猜
想的异同。
归纳猜想与类比猜想的共同点是：
他们都是一种猜想，即一种推测性的判断，都是一种合情推理，其结论具有或然性，或者经过逻辑推理证明其为真，或者举出反例予以反驳。
归纳猜想与类比猜想的不同点是：
归纳猜想是运用归纳法
得到的猜想，是一种由特殊到一般的推理形式，其思维步骤为“特例—归纳—猜测”。
类比猜想是运
用类比法得到的猜想，是一种由
特殊到特殊的推理形式，其思维步骤为“联想—类比—猜测”。
6、什么是数学模型方法？
并用框图表示MM方法解题的基本步骤。
所谓数学模型方法是利用数学模型解决问题的一般数学方法，简称MM方法。
MM方法解题的基本步骤框图表示如下：
7、特殊化方法在数学教学中有哪些应用？
特殊化方法在数学教学中的应用大致有如下几个方面：
利用特殊值（图形）解选择题；
利用特殊化探求问题结论；
利用特例检验一般结果；
利用特殊化探索解题思路。
8试述小学数学加强数学思想方法教学的重要性。
数学思想方法是联系知识与能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。
具体表现在：
（1）掌握数学思想方法能更好地理解数学知识。
（2）数学思想方法对数学问题的解决有着重要的作用。
（3）加强数学思想方法的教学是以学生发展为本的必然要求。
9、简述数学思想方法教学应注意哪些事项？
数学思想方法教学应注意以下事项：
（1）把数学思想方法的教学纳入教学目标；
（2）重视数学知识发生、发展的过程，认真设计数学思想方法教学的目标；
（3）做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作；
（4）不同数学思想方法应有不同的教学要求；
（5）注意不同数学思想方法的综合应用。
1
三、分析题
四、几何原本》思想方法的特点，为什么？
（1）封闭的演绎体系
因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，
每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过
的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上
对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。
因此《几何原
本》是一个封闭的演绎体系。
另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生
活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是
封闭的。
所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
（2）抽象化的内容
：
《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探
讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题
与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。
因此《几何原本》的内容是抽象的。
（3）公理化的方法：
《几何原本》的第一篇中开头5个公设和5个公理，是全书其
它命题证明的基本前提，接着给出23个定义，然后再逐步引入
和证明定理。
定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。
以后各篇
除了不再给出公设和公理外也都照此办理。
这种处理知识体系与
表述方法就是公理化方法。
2、分析《九章算术》思想方法的特点，为什么？
（1）开放的归纳体系：
从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成
的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放
体系。
在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一
类问题的一般解法；
再把各类算法综合起来，得到解决该领域中
各种问题的方法；
最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综
合起来，就得到整个《九章算术》。
另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些
方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入《九章算
术》。
因此，《九章算术》是一个开放的归纳体系。
（2）算法化的内容
《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每
个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解
法。
因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之
一。
（3）模型化的方法
《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典
型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转
化为数学模型。
当然有的章采取的是由数学模型到原型的过
程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。
3用下列材料，请你设计一个“数形结合”教学片断。
材料：
如图13-3-18所示，
相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。
（1）分别连接
各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列规律？
（2）求出各图形外面一周的点子数、中间的点子数以及各图形的面积，找出一周的点子数、中间的点子数、各图形的面积三者之间的关系。
教学片断设计如下：
一、找图的排列规律
师：
同学们看图，找出图的排列规律来。
（学生可以讨论）
生：
老师我们发现，第一行的图中间没有点，第二行的图中间有一个点，第三行的图中间有两个点。
非常好！
二、数一数每个图周边的点数
现在我们来数一数每个图周边的点数。
并将结果填入下列表中。
（师生一起数）
三、计算面积
数完边点数，我们再来计算每个图的面积。
结果也填入表中。
（师生一起计算面积，过程略）
图形
边上点数
内部点数
面
积
⑴
4
0
（2）
6
2
3）
8
3
（4）
14
（5）
（6）
（7）
（8）
7
（9）
（10）
（11）
5
（12）
四、寻找每一列三个数之间
的规律
我们根据这个表，找一找每列三个数之间的关系。
告诉同学们，希望找到相同的规律。
第一列，边点数等于面
积乘以4。
这个规律能否用到第二列呢？
不能，因为6不等于2乘以4。
生2：
第一列，边点数除以2，减去面积等于1。
好！
看看这个规律能否用到第二列？
能。
还能用到第三、第四列。
老师，这个规律不能用到第五列。
很好！
我们看看这个规律到第五列可以怎样改一改。
我发现了，边点数除以2，加上内点数，再减去面积等于1。
大家一起算一算，是不是每一列都具有这个规律。
五、总结
我们把发现的规律总结成公式：
边点数/2＋内点数－面积＝1
也可以写为：
边点数/2＋内点数－1＝面积
4、假定学生已有了除法商的不变性知识和经验，在学习分数的性质时，请你设计一个孕育“类比法”教学片断。
提示：
所设计的教学片断要求
（1）以小组合作探究的形式，让学生举例说明除法的被除数和除数与分数的分子和分母之间存在什么样的关系（相似关系）？
商与分数又有什么关系（相似关系）？
那么与被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数其商不变相似的结论又是什么呢？
。
一、回忆除法和分数的有关概念
同学们还记得除法的哪些概念和记号？
被除数÷
除数＝商
对。
我们再回忆分数的概念和记号。
好。
大家一起来比较这两个概念的相似性。
商好比分数，被除数好比分子。
除数好比分母。
二、回忆除法的性质
很好。
现在我们回忆除法有哪些性质。
被除数与除数同时扩大，商不变。
被除数与除数同时缩小，商也不变。
三、类比出分数的性质
刚才我们知道商好比分数，因此我们可以问：
除法的这些性质是否可以类比到分数上来呀？
可以。
应该怎样类比呢？
分子与分母同时扩大，分数不变。
分子与分母同时缩小，分数不变。
四、总结成公式
这些性质怎样用公式表示呢？
可以列表如下：
除
法
分
数
除法的表示：
A÷
B
分数的表示：
性质
（一）：
若M≠0，则
（A×
M）÷
（B×
M）=
分数的性质
（一）：
若M≠0，则
性质
（二）：
（A÷
（B÷
分数的性质
（二）：
性质（三）：
B÷
C=A÷
C）
分数的性质（三）：
性质（四）：
B）÷
（C÷
D）=
D）÷
分数的性质（四）：
小
学数学数形结合思想
一、数形结合的思想方法
数与形是数学教学研究对象的两个侧面,把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题,就是数形结合思想。
“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图,促进学生形象思维和抽象思维的协调发展,沟通数学知识之间的联系,从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。
它是小学数学教材编排的重要原则,也是小学数学教材的一个重要特点,更是解决问题时常用的方法。
例如,我们常用画线段图的方法来解答应用题,这是用图形来代替数量关系的一种方法。
我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等,这些都体现了数形结合的思想。
二、集合的思想方法
把一组对象放在一起,作为
讨论的范围,这是人类早期就有的思想方法,继而把一定程度抽
象了的思维对象,如数学上的点、
数、式放在一起作为研究对象,这种思想就是集合思想。
集合思想
作为一种思想,在小学数学中就
有所体现。
在小学数学中,集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。
如用圆圈图（韦恩图）向学生直观的渗透集合概念。
让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性,可以看作一个整体,这个整体就是一个集合。
利用图形间的关
系则可向学生渗透集合之间的关系,如长方形集合包含正方形集合,平行四边形集合包含长方形集合,四边形集合又包含平行四边行集合等。
三、对应的思想方法
对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握,是现代数学的一个最基本的概念。
小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来,渗透对应思想。
如人教版一年级上册教材中,分别将小兔和砖头、小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后,进行多少的比较学习,向学生渗透了事物间的对应关系,为学生解决问题提供了思想方法。
四、函数的思想方法
恩格斯说:
“数学中的转折点是笛卡儿的变数。
有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了。
”我们知道,运动、变化是客观事物的本质属性。
函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。
学生对函数概念的理解有一个过程。
在小学数学教学中,教师在处理一些问题时
就要做到心中有函数思想,注意渗透函数思想。
函数思想在人教版一年级上册教材中就有渗透。
如让学生观察《20以内进位加法表》,发现加数的变化引起的和的变化的规律等,都较好的渗透了函数的思想,其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。
五、极限的思想方法
极限的思想方法是人们从有限中认识无限,从近似中认识精确,从量变中认识质变的一种数学思想方法,它是事物转化的重要环节,了解它有重要意义。
现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。
在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时,教师可让学生体会自然数是数不完的,奇数、偶数的个数有无限多个,让学生初步体会“无限”思想;
在循环小数这一部分内容中,1÷
3=0.333„„是一循环小数,它的小数点后面的数字是写不完的,是无限的;
在直线、射线、平行线的教学时,可让学生体会线的两端是可以无限延长的。
六、化归的思想方法
化归是解决数学问题常用的思想方法。
化归,是指将有待解决或未解决的问题,通过转化过程,归结为一类已经解决或较易解决的问题中去,以求得解决。
客观事物是不断发展变化的,事物之间的相互联系和转化,是现实世界的普遍规律。
数学中充满了矛盾,如已知和未知、复杂和简单、熟
悉和陌生、困难和容易等,实现这些矛盾的转化,化未知为已知,化复杂为简单,化陌生为熟悉,化困难为容易,都是化归的思想实质。
任何数学问题的解决过程,都是一个未知向已知转化的过程,是一个等价转化的过程。
化归是基本而典型的数学思想。
在教学平面图形求积公式中,就以化归思想、转化思想等为理论武器,实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应,从而构建和完善了学生的认知结构。
七、归纳的思想方法
在研究一般性性问题之前,先研究几个简单的、个别的、特殊的情况,从而归纳出一般的规律和性质,这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。
数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。
在解决数学问题时运用归纳思想,既可认由此发现给定问题的解题规律,又能在实践的基础上发现新的客观规律,提出新的原理或命题。
因此,归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法,也是思维过程中的一次飞跃。
八、符号化的思想方法
数学发展到今天,已成为一个符号化的世界。
符号就是数学存在的具体化身。
英国著名数学家罗素说过:
“什么是数学?
数学就是符号加逻辑。
”数学离不开符号,数学处处要用到符号。
怀特海曾说:
“只要细细分析,即可发
现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便,甚至是必不可少的。
”数学符号除了用来表述外,它也有助于思维的发展。
如果说数学是思维的体操,那么,数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。
现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。
人教版教材从一年级就开始用“□”或“（）”代替变量x,让学生在其中填数。
例
如:
1+2=□,6+（）=8,7=□+□+□+□+□+□+□;
再如:
学校有7个球,又买来4个。
现在有多少个?
要学生填出□○□=□（个）。
符号化思想在小学数学内容中随处可见,教师要有意识地进行渗透。
数学符号是抽象的结晶与基础,如果不了解其含义与功能,它如同“天书”一样令人望而生畏。
因此,教师在教学中要注意学生的可接受性。
小学数学除渗透运用了上述各数学思想方法外,还渗透运用了转化的思想方法、假设的思想方法、比较的思想方法、分类的思想方法、类比的思想方法等。
总之,在教学中,教师要既重视数学知识、技能的教学,又注重数学思想、方法的渗透和运用,这样无疑有助于学生数学素养的全面提升,无疑有助于学生的终身学习和发展。
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