师说学年高中数学必修2 检测Word文档格式.docx

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将直线方程化为y－2－m（x＋1）＝0，则当x＝－1时，y＝2，即直线过定点（－1,2）．

A

3.已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面四个命题中不正确的是（　　）

A．n⊥α，α∥β，m⊂β⇒n⊥m

B．α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β

C．m⊥α，m⊥n，n⊥β⇒α⊥β

D．m∥n，m∥α⇒n∥α

D中n也可能在α内，故D错．

D

4．直线l1：

ax－y＋b＝0，l2：

bx－y＋a＝0（a≠0，b≠0，a≠b）在同一坐标系中的图形大致是图中的（　　）

A

B

C

直线l1：

ax－y＋b＝0，斜率为a，在y轴上的截距为b，

设k1＝a，m1＝b，直线l2：

bx－y＋a＝0，斜率为b，在y轴上的截距为a，设k2＝b，m2＝a.

由A知：

因为l1∥l2，k1＝k2＞0，m1＞m2＞0，即a＝b＞0，b＞a＞0，矛盾．

由B知：

k1＜0＜k2，m1＞m2＞0，即a＜0＜b，b＞a＞0，矛盾．

由C知：

k1＞k2＞0，m2＞m1＞0，即a＞b＞0，可以成立．

由D知：

k1＞k2＞0，m2＞0＞m1，即a＞b＞0，a＞0＞b，矛盾．

5．在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

过A作AE⊥BC于点E，则易知AE⊥面BB1C1C，则∠ADE即为所求，又tan∠ADE＝＝，故∠ADE＝60°

.选C.

6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．2π＋2B．4π＋2

C．2π＋D．4π＋

该几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，则其体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×

（）2×

＝，所以该几何体的体积为2π＋.选C.

7．若直线＋＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则（　　）

A．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1

C.＋≤1D.＋≥1

直线＋＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，因此圆心（0,0）到直线bx＋ay－ab＝0的距离应小于等于1，∴≤1，∴＋≥1.选D.

8.正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为（　　）

A．3B.

C．1D.

∵B1C1∥BD，∴BD∥面AB1C1，点B和D到面AB1C1的距离相等，

∴VD－AB1C1＝VB－AB1C1＝VC1－ABB1＝·

·

＝1.故选C.

9．过点（，0）引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（　　）

A.B．－

C．±

D．－

曲线y＝表示以（0,0）为圆心，以1为半径的上半圆．设直线l的方程为y＝k（x－），即kx－y－k＝0，若直线与半圆相交，则k＜0，圆心到直线的距离为d＝（d＜1），弦长为|AB|＝2，△AOB的面积为s＝·

|AB|·

d＝d＝，易知当d2＝时s最大，解2＝，得k2＝，故k＝－.

10．已知直线l过点（－2,0），当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（　　）

A．（－2，2）B．（－，）

C.D.

设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝k（x＋2），即kx－y＋2k＝0，由于l与圆x2＋y2＝2x有两个交点，则需满足圆心到直线的距离d＝<

1，解得－<

k<

.

11．若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为（　　）

A.B．1

∵d＝＝，∴设弦长为l，则2＋d2＝r2，即l＝2＝.选D.

12．如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°

，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（　　）

A．直线AB上B．直线BC上

C．直线AC上D．△ABC内部

由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.

又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．选A.

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．如图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC的面积为__________．

由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC，如图所示，则有BO＝OC＝1，AO＝2，故S△ABC＝BC·

AO＝×

2×

2＝2.

2

14．若垂直于直线2x＋y＝0，且与圆x2＋y2＝5相切的切线方程为ax＋2y＋c＝0，则ac的值为__________．

已知直线2x＋y＝0的斜率k1＝－2，直线ax＋2y＋c＝0的斜率为－，∵两直线垂直，∴（－2）·

（－）＝－1，得a＝－1.圆心到切线的距离为，即＝，∴c＝±

5，故ac＝±

5.

±

5

15．已知直线l经过点P（－4，－3），且被圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是__________．

∵（－4＋1）2＋（－3＋2）2＝10＜25，

∴点P在圆内．

当l的斜率不存在时，l的方程为x＝－4，将x＝－4代入圆的方程，

得y＝2或y＝－6，

此时弦长为8.

当l的斜率存在时，设l的方程为

y＋3＝k（x＋4），即kx－y＋4k－3＝0，

当弦长为8时，圆心到直线的距离为

＝3，则＝3，

解得k＝－.

则直线l的方程为y＋3＝－（x＋4），

即4x＋3y＋25＝0

4x＋3y＋25＝0或x＝－4

16．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，以正方体的三条棱DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，若点P在正方体的侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则下列点P的坐标①（1,1,1），②（0,1,0），③（1,1,0），④（0,1,1），⑤中正确的是________．

∵点P在正方体的侧面BCC1B1及其边界上运动，BD1是定线段，AP⊥BD1，∴直线AP在与直线BD1垂直的平面内运动，连接AB1，AC得平面ACB1，与平面BCC1B1的交线为CB1，点P的轨迹是线段CB1，故正确的结论有①②⑤.

①②⑤

三、解答题：

本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）如图是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和三视图．（单位：

cm）

（1）求该多面体的体积；

（2）在所给直观图中连结BC′，证明：

BC′∥面EFG.

解：

（1）所求多面体体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×

4×

6－×

×

2＝（cm3）．（4分）

（2）在长方体ABCDA′B′C′D′中，连结AD′，则AD′∥BC′.（7分）

因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′.

又BC′⊄平面EFG，所以BC′∥面EFG.

（10分）

18．（本小题满分12分）如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E，F分别是BC，AC1，BB1的中点．求证：

（1）平面AC1D⊥平面BCC1B1；

（2）EF∥平面A1B1C1.

证明：

（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∵D是BC的中点，△ABC为正三角形，

∴AD⊥BC.

又C1C⊥AD，BC∩CC1＝C，

∴AD⊥平面BCC1B1.

又AD⊂平面AC1D，

∴平面AC1D⊥平面BCC1B1.（5分）

（2）证法一：

取A1C1的中点G，连接EG、B1G，

∵E、F分别为AC1、BB1的中点，

∴EG綊AA1綊B1F，

∴四边形EFB1G为平行四边形，

∴EF∥B1G.

又B1G⊂平面A1B1C1，EF⊄平面A1B1C1，

∴EF∥平面A1B1C1.

证法二：

取AA1的中点G，连接EG、FG.

∵E、F为AC1、BB1的中点，

∴EG∥A1C1，

∴EG∥平面A1B1C1.

同理，FG∥平面A1B1C1.

又EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面A1B1C1.

∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面A1B1C1.（12分）

19．（本小题满分12分）已知圆C：

x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.

（1）若点P运动到（1,3）处，求此时切线l的方程．

（2）求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．

把圆C的方程化为标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝4，如图所示，

所以圆心为C（－1,2），半径r＝2.

（1）当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，点C到l的距离d＝2＝r，满足条件．

当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y－3＝k（x－1），即kx－y＋3－k＝0，

则＝2，解得k＝－.

所以l的方程为y－3＝－（x－1），即3x＋4y－15＝0.

综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.（7分）

（2）设P（x，y），则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝（x＋1）2＋（y－2）2－4，|PO|2＝x2＋y2，

因为|PM|＝|PO|.

所以（x＋1）2＋（y－2）2－4＝x2＋y2，整理，得2x－4y＋1＝0，

所以点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.（12分）

20．（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.

（1）证明：

平面A1BD∥平面CD1B1；

（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．

设线段B1D1的中点为O1.

由题意知BD∥B1D1，A1O1∥OC且A1O1＝OC⇒四边形A1OCO1为平行四边形⇒A1O∥O1C.且A1O∩BD＝O，O1C∩B1D1＝O1⇒平面A1BD∥平面CD1B1.（6分）

（2）因为A1O⊥底面ABCD，所以A1O是三棱柱A1B1D1－ABD的高．

在正方形ABCD中，AO＝1.

在Rt△A1OA中，A1O＝1.

三棱柱A1B1D1－ABD的体积VA1B1D1－ABD＝S△ABD·

A1O＝·

（）2·

1＝1.

所以，三棱柱A1B1D1－ABD的体积为1.（12分）

21．（本小题满分12分）已知⊙M：

x2＋（y－2）2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．

（1）若|AB|＝，求|MQ|及直线MQ的方程；

（2）求证：

直线AB恒过定点．

（1）设直线MQ交AB于点P，则|AP|＝，

又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，

得|MP|＝＝.（2分）

又∵|MQ|＝，∴|MQ|＝3.（4分）

设Q（x,0），而点M（0,2），由＝3，得x＝±

，

则Q点的坐标为（，0）或（－，0）．（6分）

从而直线MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.（8分）

（2）设点Q（q,0），由几何性质，可知A，B两点在以MQ为直径的圆上，此圆的方程为x（x－q）＋y（y－2）＝0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx－2y＋3＝0，所以直线AB恒过定点.（12分）

22．（本小题满分12分）已知以点C（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．

（1）求证：

△AOB的面积为定值；

（2）设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．

由题设知，圆C的方程为（x－t）2＋2＝t2＋，化简得x2－2tx＋y2－y＝0.

当y＝0时，x＝0或2t，则A（2t,0）；

当x＝0时，y＝0或，则B，（4分）

所以S△AOB＝|OA|·

|OB|＝|2t|·

＝4为定值．（6分）

（2）∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，

∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.

∴圆心为C（2,1）或C（－2，－1），

∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5或（x＋2）2＋（y＋1）2＝5.（10分）

由于当圆方程为（x＋2）2＋（y＋1）2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.（12分）