立体几何证明垂直专项含练习题及答案.doc
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立体几何证明------垂直
一.复习引入
1.空间两条直线的位置关系有:
_________,_________,_________三种。
2.(公理4)平行于同一条直线的两条直线互相_________.
3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。
4.直线与平面平行判定定理:
如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行,
那么这条直线和这个平面平行
5.直线与平面平行性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这
个平面相交,那么_________________________.
6.两个平面的位置关系:
_________,_________.
7.判定定理1:
如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面,那么这两
个平面平行.
8.线面垂直性质定理:
垂直于同一条直线的两个平面________.
9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的________平行.
10.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面.
二.知识点梳理
知识点一、直线和平面垂直的定义与判定
定义
判定
语言描述
如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面互相垂直,记作l⊥α
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面垂直.
图形
条件
b为平面α内的任一直线,而l对这一直线总有l⊥α
⊥,⊥,∩=B,Ì,Ì
结论
⊥
⊥
要点诠释:
定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”,这与“无数条直线”不同(线线垂直线面垂直)
知识点二、直线和平面垂直的性质
性质
语言描述
一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线
垂直于同一个平面的两条直线平行.
图形
条件
结论
知识点三、二面角
Ⅰ.二面角:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角(dihedralangle).这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角.(简记)
二面角的平面角的三个特征:
ⅰ.点在棱上ⅱ.线在面内ⅲ.与棱垂直
Ⅱ.二面角的平面角:
在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面内分别作垂直于棱的射线和,则射线和构成的叫做二面角的平面角.
作用:
衡量二面角的大小;范围:
.
知识点四、平面和平面垂直的定义和判定
定义
判定
文字描述
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直.
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
图形
结果
α∩β=lα-l-β=90oα⊥β
(垂直问题中要注意题目中的文字表述,特别是“任何”“随意”“无数”等字眼)
三.常用证明垂直的方法
立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直,而证明线线垂直一般有以下的一些方法:
(1)通过“平移”。
(2)利用等腰三角形底边上的中线的性质。
(3)利用勾股定理。
(4)利用直径所对的圆周角是直角
(1)通过“平移”,根据若
P
E
D
C
B
A
1.在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB∥CD,AB=DC,.
求证:
AE⊥平面PDC.
2.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,
∠PDA=45°,点E为棱AB的中点.求证:
平面PCE⊥平面PCD;
(第2题图)
(2)利用等腰三角形底边上的中线的性质
3、在三棱锥中,,,,.
(Ⅰ)求证:
;
A
C
B
P
(3)利用勾股定理
4.如图,四棱锥的底面是边长为1的正方形,
求证:
平面;
_
D
_
C
_
B
_
A
_
P
(4)利用直径所对的圆周角是直角
5、如图,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,PA⊥平面ABC.
(1)求证:
平面PAC⊥平面PBC;
课堂及课后练习题:
1.判断下列命题是否正确,对的打“√”,错误的打“×”。
(1)垂直于同一直线的两个平面互相平行()
(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行()
(3)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线垂直()
2.已知直线a,b和平面,且则b与的位置关系是________________________________________________.
3.如图所示,在四棱锥中,,,,是的中点,是上的点,且,为中边上的高。
(1)证明:
;
4.如图所示,四棱锥PABCD底面是直角梯形底面ABCD,
E为PC的中点,PA=AD。
证明:
;
5.如图,在三棱锥中,⊿是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90º
证明:
AB⊥PC
6.如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,
(1)求证:
平面BCD;
(2)求异面直线AB与CD所成角的大小;
7.如图,四棱锥中,,,侧面为等边三角形,.
(Ⅰ)证明:
;
8.如图,在圆锥中,已知=,⊙O的直径,C是狐AB的中点,为的中点.证明:
平面平面;
课堂及课后练习题答案:
1
(1)√
(2)√(3)√
2.
3.
证明:
因为为中边上的高,所以,又因为,所以,,所以
4.分析:
取PD的中点F,易证AF//BE,易证AF⊥平面PDC,从而
.5.证明:
因为是等边三角形,,
所以,可得。
如图,取中点,连结,,
则,,
所以平面,
所以。
6.
(1)证明:
连结OC
在中,由已知可得
而
即
平面
7.
(I)取AB中点E,连结DE,则四边形BCDE为
矩形,DE=CB=2,连结SE,则
又SD=1,故,
所以为直角。
由,
得平面SDE,所以。
SD与两条相交直线AB、SE都垂直。
所以平面SAB。
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