立体几何求体积.doc

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立体几何求体积

一、求体积的方法常见有如下三种：

1、公式法：

利用公式求出简单几何体体积。

2、等体积转化法：

从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积。

（一般指三棱锥，找高优先）

3、割补法：

对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常需要通过“割”或“补”化复杂图形为已熟知的简单几何体，并作体积的加、减法，从而较快地找到解决问题的突破口。

（注：

“一找二证三求”的顺序和原则。

）

例1、

例2、

例3、若ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E,F分别是棱A1A与CC1的中点，求四棱锥的体积。

例4、（10安徽）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，

EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，

（1）求证：

FH∥平面EDB;

（2）求证：

AC⊥平面EDB;（3）求四面体B—DEF的体积；

例5、（11安徽）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,△，△，△都是正三角形。

（1）证明直线∥；

（2）求棱锥F-OBED的体积。

例6、（13·安徽）如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝.

（1）证明：

PC⊥BD；

（2）若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．

例7、（辽宁卷）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形．

若PA＝2，求△OAB的面积．

例8、（13·广东）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.

（1）证明：

DE∥平面BCF；

（2）证明：

CF⊥平面ABF；（3）当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积VF­DEG.

练习：

1、求侧棱长为2，底面边长为的正三棱锥的体积。

2、在边长为的正方体中，分别是棱上的点，且满足，，（如图1），试求三棱锥的体积．

3、已知三棱锥，其中,,

求：

三棱锥的体积。

4、如图，在三棱柱中，分别为的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比

5、如图，是一个平面截长方体的剩余部分，已知，

求几何体的体积。

6、四面体的三组对棱分别相等，且依次为，求四面体的体积。

7、如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，，AA1＝4，点D是AB的中点.

求多面体的体积.

8、已知中，，，⊥平面，，、分别是、上的动点，且．

（1）求证：

不论为何值，总有EF⊥平面；

（2）若，求三棱锥的体积．

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