9数的奇偶性Word文件下载.docx

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2、奇、偶数有下列性质：

（1）奇数一般表为2n+1的形式，偶数可表为2n的形式（其中n为整数），特殊的0是一个偶数。

（2）一个数是奇数就不能是偶数，是偶数就不能再是奇数。

总之，奇数≠偶数。

　（3）奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数，偶数+偶数＝偶数

　（4）两个数之和与这两个数之差有着相同的奇偶性。

　（5）奇数个奇数之和是奇数。

　（6）奇数×

奇数＝奇数，

奇数×

偶数＝偶数，

偶数×

　（7）若干个奇数之积为奇数。

　（8）奇数的平方被4除余l

比如：

12＝4×

0+1，32＝9＝4×

2+1，52＝25＝4×

6+l……

一般地（2n+1）2=4n2+4n+1=4（n2+n）+1

　（9）偶数的平方是4的倍数

　比如：

22＝4＝4×

l，42＝16＝4×

4，62＝36＝4×

9……

　　一般地（2n）2＝4n2＝4×

n2

　（10）相邻两个自然数之积必为偶数，其和必为奇数。

这是因为相邻两自然数必一奇一偶，所以其积为偶数，其和为奇数。

小结：

以上性质虽然浅显，若能巧妙运用，就可以巧妙地解决许多复杂有趣或者看上去很难着手解决的问题。

　　分析数的奇偶性所能解决的问题是以判定存在性为主要特征的，比如判定方程有无整数解?

整数运算等式能否成立?

存在不存在满足某种条件的事件?

等等。

通过分析，若出现奇数＝偶数的矛盾，则表明所判定的对象不存在，通过下面例题，希望读者细心体会整数的奇偶性在解题中所扮演的角色。

　这种利用奇、偶数的性质解题的方法，叫做奇偶数分析。

二、典型例题讲解

例1．两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数?

（首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）

例2．有两个质数，它们之和既是一个小于100的奇数，又是13的倍数，求这两个质数。

（西安市小学生数学竞赛试题）

例3．1+2+3+…+1998+1999的和是奇数还是偶数?

例4．100个自然数的和是10000，在这些数里奇数的个数比偶数多，那么偶数最多有多少个？

例5．把100000表示为两个整数的乘积，使其中没有一个是10的倍数。

（1973年加拿大数学竟赛）

例6．有四个互不相等的自然数。

最大数与最小数之差是4，且最大数与最小数之积是奇数。

这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是？

例7．1988名学生按编号1、2、……、1988从小到大顺次排成一列，令奇数号位（1号位、3号位……）上的同学离队，余下同学的顺序不变，依次重复上面的要求，那么最后留下的同学在一开始是排在 

号位的？

例8．四个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有两个是奇数，两个是偶数，而且两个分母是奇数的分数之和与两个分母是偶数的分数之和相等。

这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的两个偶数之和尽量地小，那么这样的两个偶数之和最小可能是？

例9．元旦前同学们相互写信祝贺新年，如果每人只要接到对方来信就一定回信，那么写了奇数封信的学生人数是奇数个还是偶数个？

例10．在八个房间中，有七个房间开着灯，一个房间关着灯。

如果每次同时拨动四小房间的开关，能不能把全部房间的灯关上?

为什么？

例11．任意交换某个三位数的数字得一个新的三位数，某同学将原三位数与新的三位数相加，得和为999。

求证这个同学的计算一定有误。

例12．请问数a=11994+（11994+21994）+（11994+21994+31994）+…+（11994+21994+31994+…+19941994）是奇数还是偶数？

例13．证明任意3个整数中，至少有两个整数之和是偶数。

例14．在黑板上写出3个整数，然后擦去一个换成其它两数的和减1。

这样继续操作下去，最后得到17，1967，1983，问原来写的3个整数能否为2，2，2?

例15．某班共25位同学，坐成5行5列（在数学中习惯于把横排叫“行”，竖排叫“列”），每个座位的前、后、左、右的位子都叫它的“邻座”，要让这25位同学中的每一位都换到他的邻座上去，是不是能办得到?

例16．有一列数，最前面四个数为1、9、8、4，从第五个数起每个数都是它前面四个数的平方和的未位数。

试问1，9，9，4这四个数能否在这列数中依次出现?

思考题

　　现有11块铁，每块的重量都是整数。

任取其中10块，都可以分重量相等的两组，每组有5块铁，这说明：

这11块铁每块的重量都相等。