9数的奇偶性Word文件下载.docx
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2、奇、偶数有下列性质:
(1)奇数一般表为2n+1的形式,偶数可表为2n的形式(其中n为整数),特殊的0是一个偶数。
(2)一个数是奇数就不能是偶数,是偶数就不能再是奇数。
总之,奇数≠偶数。
(3)奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数,偶数+偶数=偶数
(4)两个数之和与这两个数之差有着相同的奇偶性。
(5)奇数个奇数之和是奇数。
(6)奇数×
奇数=奇数,
奇数×
偶数=偶数,
偶数×
(7)若干个奇数之积为奇数。
(8)奇数的平方被4除余l
比如:
12=4×
0+1,32=9=4×
2+1,52=25=4×
6+l……
一般地(2n+1)2=4n2+4n+1=4(n2+n)+1
(9)偶数的平方是4的倍数
比如:
22=4=4×
l,42=16=4×
4,62=36=4×
9……
一般地(2n)2=4n2=4×
n2
(10)相邻两个自然数之积必为偶数,其和必为奇数。
这是因为相邻两自然数必一奇一偶,所以其积为偶数,其和为奇数。
小结:
以上性质虽然浅显,若能巧妙运用,就可以巧妙地解决许多复杂有趣或者看上去很难着手解决的问题。
分析数的奇偶性所能解决的问题是以判定存在性为主要特征的,比如判定方程有无整数解?
整数运算等式能否成立?
存在不存在满足某种条件的事件?
等等。
通过分析,若出现奇数=偶数的矛盾,则表明所判定的对象不存在,通过下面例题,希望读者细心体会整数的奇偶性在解题中所扮演的角色。
这种利用奇、偶数的性质解题的方法,叫做奇偶数分析。
二、典型例题讲解
例1.两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数?
(首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)
例2.有两个质数,它们之和既是一个小于100的奇数,又是13的倍数,求这两个质数。
(西安市小学生数学竞赛试题)
例3.1+2+3+…+1998+1999的和是奇数还是偶数?
例4.100个自然数的和是10000,在这些数里奇数的个数比偶数多,那么偶数最多有多少个?
例5.把100000表示为两个整数的乘积,使其中没有一个是10的倍数。
(1973年加拿大数学竟赛)
例6.有四个互不相等的自然数。
最大数与最小数之差是4,且最大数与最小数之积是奇数。
这四个数的和是最小的两位奇数,那么这四个数的乘积是?
例7.1988名学生按编号1、2、……、1988从小到大顺次排成一列,令奇数号位(1号位、3号位……)上的同学离队,余下同学的顺序不变,依次重复上面的要求,那么最后留下的同学在一开始是排在
号位的?
例8.四个不同的真分数的分子都是1,它们的分母有两个是奇数,两个是偶数,而且两个分母是奇数的分数之和与两个分母是偶数的分数之和相等。
这样的奇数和偶数很多,小明希望这样的两个偶数之和尽量地小,那么这样的两个偶数之和最小可能是?
例9.元旦前同学们相互写信祝贺新年,如果每人只要接到对方来信就一定回信,那么写了奇数封信的学生人数是奇数个还是偶数个?
例10.在八个房间中,有七个房间开着灯,一个房间关着灯。
如果每次同时拨动四小房间的开关,能不能把全部房间的灯关上?
为什么?
例11.任意交换某个三位数的数字得一个新的三位数,某同学将原三位数与新的三位数相加,得和为999。
求证这个同学的计算一定有误。
例12.请问数a=11994+(11994+21994)+(11994+21994+31994)+…+(11994+21994+31994+…+19941994)是奇数还是偶数?
例13.证明任意3个整数中,至少有两个整数之和是偶数。
例14.在黑板上写出3个整数,然后擦去一个换成其它两数的和减1。
这样继续操作下去,最后得到17,1967,1983,问原来写的3个整数能否为2,2,2?
例15.某班共25位同学,坐成5行5列(在数学中习惯于把横排叫“行”,竖排叫“列”),每个座位的前、后、左、右的位子都叫它的“邻座”,要让这25位同学中的每一位都换到他的邻座上去,是不是能办得到?
例16.有一列数,最前面四个数为1、9、8、4,从第五个数起每个数都是它前面四个数的平方和的未位数。
试问1,9,9,4这四个数能否在这列数中依次出现?
思考题
现有11块铁,每块的重量都是整数。
任取其中10块,都可以分重量相等的两组,每组有5块铁,这说明:
这11块铁每块的重量都相等。