高中数学 第二章 统计 221用样本的频率分布估计总体分布学案 新人教A版必修3Word格式文档下载.docx
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一般地，当总体中的个体数较多时，抽样时样本容量就不能太小．可以想象，随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线，如图所示．
3．茎叶图
茎叶图也是用来表示数据的一种图，其画法如下：
（1）将一个或两个样本的数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分．
（2）将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列．
（3）将各个数据的“叶”按大小次序写在其茎一侧或两侧．
1．判断下列各题．（对的打“√”，错的打“×
”）
（1）频率分布折线图与总体密度曲线无关；
（ ）
（2）频率分布折线图就是总体密度曲线；
（3）样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线；
（4）如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线；
（5）频率分布直方图不能保留原始数据，而茎叶图可以保留原始数据，而且可以随时记录．（ ）
解析：
总体密度曲线通常都是用样本频率分布估计出来的．如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线就是总体密度曲线．
答案：
（1）×
（2）×
（3）×
（4）√ （5）√
2．一个容量为32的样本，分成5组，已知第三组的频率为0.375，则另外四组的频数之和为________．
由题意，得第三组的频数为32×
0.375＝12.
∴另外四组的频数之和为32－12＝20.
20
3．在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示什么？
它们的总和是多少？
解：
各小长方形的面积表示样本中落在该组内的数据的频率；
总和等于1.
1．茎叶图的优缺点
优点：
用茎叶图表示数据有两个优点：
一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；
二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．
缺点：
茎叶图在样本数据较多时，显得不太方便，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两组以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两组记录那么直观、清晰．
2.茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以在抽样的过程中随时记录（这对于教练员发现运动员现场状态特别有用）；
而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作．
3.频率分布表和频率分布直方图之间的密切关系是显然的，它们只不过是相同的数据的两种不同的表达方式，茎叶图和频率分布表极为类似，事实上，茎相当于频率分布表中的分组；
茎上叶的数目相当于频率分布表中指定区间组的频数．
作频率分布表、绘制频率分布直方图
[学生用书P37]
调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：
cm）如下：
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 168 160 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
（1）作出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图．
[解]
（1）最低身高151cm，最高身高180cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；
确定组距为4，组数为8，列表如下：
分组
频数
频率
[149.5，153.5）
1
0.025
[153.5，157.5）
3
0.075
[157.5，161.5）
6
0.15
[161.5，165.5）
9
0.225
[165.5，169.5）
14
0.35
[169.5，173.5）
[173.5，177.5）
[177.5，181.5]
合计
40
（2）频率分布直方图如图所示．
[互动探究] 本例中，画出相应的频率分布折线图．
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图如下：
方法归纳
（1）在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
①若
为整数，则
＝组数；
②若
不为整数，则
的整数部分＋1＝组数．
（2）组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．
1．美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；
就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁．下面按时间顺序（从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任）给出了历届美国总统就任时的年龄：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
（1）将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图；
（2）用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况．
（1）以4为组距，列表如下：
频数累计
[41.5，45.5）
[45.5，49.5）
[49.5，53.5）
[53.5，57.5）
[57.5，61.5）
[61.5，65.5）
[65.5，69.5]
正
正正正
2
7
8
16
5
4
0.0455
0.1591
0.1818
0.3636
0.1136
0.0909
44
1.00
画频率分布直方图及频率分布折线图如下：
（2）从频率分布表中可以看出，将近60%的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间，45岁以下以及65岁以上就任的总统所占的比例相对较小．
茎叶图及其应用
某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记下抽查记录如下（单位：
千克）：
甲：
52 51 49 48 53 48 49
乙：
60 65 40 35 25 65 60
画出茎叶图，并说明哪个车间的产品质量比较稳定．
[解] 茎叶图如图所示（茎为十位上的数字）：
由图可以看出甲车间的产品质量较集中，而乙车间的产品质量较分散，所以甲车间的产品质量比较稳定．
画茎叶图时，用中间的数表示数据的十位和百位数，两边的数分别表示两组数据的个位数．要先确定中间的数取数据的哪几位，填写数据时边读边填．比较数据时从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几方面来比较．
绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，一般地说数据是两位数时，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；
如果是小数的，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶．
2．从两个班中各随机抽取10名学生，他们的数学成绩如下：
甲班：
76，74，82，96，66，76，78，72，52，68
乙班：
86，84，62，76，78，92，82，74，88，85
画出茎叶图并分析两个班学生的数学学习情况．
茎叶图如下：
由茎叶图可知，乙班的数学成绩较好，而且较稳定．
频率分布直方图的综合应用
为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组情况与频数如下：
[10.75，10.85），3；
[10.85，10.95），9；
[10.95，11.05），13；
[11.05，11.15），16；
[11.15，11.25），26；
[11.25，11.35），20；
[11.35，11.45），7；
[11.45，11.55），4；
[11.55，11.65]，2
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图以及频率分布折线图；
（3）据上述图表，估计数据落在[10.95，11.35）范围内的可能性是百分之几；
（4）数据小于11.20的可能性是百分之几．
[解]
（1）频率分布表如下：
[10.75，10.85）
0.03
[10.85，10.95）
0.09
[10.95，11.05）
13
0.13
[11.05，11.15）
0.16
[11.15，11.25）
26
0.26
[11.25，11.35）
0.20
[11.35，11.45）
0.07
[11.45，11.55）
0.04
[11.55，11.65]
0.02
100
（2）频率分布直方图及频率分布折线图，如图
（3）由上述图表可知数据落在[10.95，11.35）范围内的频率为1－（0.03＋0.09）－（0.07＋0.04＋0.02）＝0.75＝75%，即数据落在[10.95，11.35）范围内的可能性是75%.
（4）数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的频率，设为x，则（x－0.41）÷
（11.20－11.15）＝（0.67－0.41）÷
（11.25－11.15），
所以x－0.41＝0.13，即x＝0.54，
从而估计数据小于11.20的可能性是54%.
（1）用样本的频率分布估计总体的分布，是列频率分布表和画频率分布直方图的主要目的，频率分布表比较准确地反映样本的频率分布，而频率分布直方图则能直观地反映样本的频率分布．
（2）频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性．
3．
（1）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：
cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图．
①求频率分布直方图中x的值及身高在170cm以上的学生人数；
②将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人，求从这三个组分别抽取的学生人数．
①由频率分布直方图可知5x＝1－5×
（0.07＋0.04＋0.02＋0.01），
所以x＝
×
（1－5×
0.14）＝0.06.
即身高在170cm以上的学生人数为100×
（0.06×
5＋0.04×
5＋0.02×
5）＝60人．
②A，B，C三组的人数分别为30人，20人，10人．
因此应该从A，B，C三组中每组各抽取30×
＝3人，20×
＝2人，10×
＝1人．
（2）从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下（单位：
分）：
[40，50），2；
[50，60），3；
[60，70），10；
[70，80），15；
[80，90），12；
[90，100]，8.
①列出样本的频率分布表；
②画出频率分布直方图；
③估计成绩在[70，80）分的学生所占总体的百分比；
④估计成绩在[70，100]分的学生所占总体的百分比．
①频率分布表如下：
成绩分组
[40，50）
[50，60）
0.06
[60，70）
10
0.2
[70，80）
15
0.3
[80，90）
12
0.24
[90，100]
50
②由题意知组距为10，取小矩形的高为
，计算得到如下的数据表：
小矩形高
0.004
0.006
0.024
0.016
根据表格画出频率分布直方图如图：
③由频率分布表可知成绩在[70，80）分的学生所占总体的百分比约是0.3＝30%.
④估计成绩在[70，100]分的学生所占总体的百分比是0.3＋0.24＋0.16＝0.7＝70%.
数学思想
统计问题中的数形结合思想
某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：
千克）如下：
品种A：
357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454
品种B：
363，371，374，383，385，386，391，392，394，394，395，397，397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430
（1）完成数据的茎叶图；
（2）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？
（3）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．
[解]
（1）
（2）由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；
此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．
（3）通过观察茎叶图可以看出：
①品种A的亩产量比品种B高；
②品种A的亩产量比较分散，故品种A的亩产稳定性较差．
[感悟提高]
数形结合思想是中学数学很重要的方法之一，是高考的重要内容之一，是根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题．
1．没有信息的损失，所有的原始数据都可以从图中得到的统计图是（ ）
A．总体密度曲线B．茎叶图
C．频率分布折线图D．频率分布直方图
选B.所有的统计图中，仅有茎叶统计图完好无损地保存着所有的数据信息．
2．（2015·
湖南师大附中月考）某厂对一批元件的长度（单位：
mm）进行抽样检测，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在区间[90，96）内的元件为合格品，则估计这批元件中合格产品所占的百分比是（ ）
A．70%B．75%
C．80%D．85%
选C.易知在区间[90，96）内的直方图的面积S＝1－（0.0275＋0.0275＋0.0450）×
2＝0.8，故合格品所占的百分比是80%.
3．（2014·
高考江苏卷）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：
cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.
底部周长在[80，90）的频率为0.015×
10＝0.15，底部周长在[90，100）的频率为0.025×
10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100cm的株数为（0.15＋0.25）×
60＝24.
24
[A.基础达标]
1．在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b）是其中一组，抽查出的个体数在该组内的频率为m，该组直方图的高为h，则|a－b|的值等于（ ）
A．h·
mB.
C.
D．与m，h无关
选B.小长方形的高＝
，
∴|a－b|＝
＝
2.某雷达测速区规定：
凡车速大于或等于70km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对300辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可得出将被处罚的汽车数为（ ）
A．30辆B．40辆
C．60辆D．80辆
选C.车速大于或等于70km/h的汽车数为0.02×
10×
300＝60（辆）．故选C.
3.某超市连锁店统计了城市甲、乙的各16台自动售货机在12：
00至13：
00间的销售金额，并用茎叶图表示如图．则可估计有（ ）
A．甲城市销售额多，乙城市销售额不够稳定
B．甲城市销售额多，乙城市销售额稳定
C．乙城市销售额多，甲城市销售额稳定
D．乙城市销售额多，甲城市销售额不够稳定
选D.十位数字是3、4、5时乙城市的销售额明显多于甲，估计乙城市销售额多，甲的数字过于分散，不够稳定．故选D.
4．（2013·
高考辽宁卷）某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：
[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ）
A．45B．50
C．55D．60
选B.根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是（0.005＋0.01）×
20＝0.3，所以该班的学生人数是
＝50.
5．（2015·
宿迁质检）某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20，则a的估计值是（ ）
A．130B．140
C．133D．137
选C.由已知可以判断a∈（130，140），所以[（140－a）×
0.015＋0.01×
10]×
100＝20.
解得a≈133.
6．（2015·
辽宁名校联考）为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：
cm），根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图），那么这100株树木中，底部周长小于110cm的树有________株．
（0.01×
10＋0.02×
10＋0.04×
10）×
100＝70.
70
7.（2015·
丹东质检）茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若乙的总成绩是445，则污损的数字是________．
设污损的叶对应的成绩是x，由茎叶图可得445＝83＋83＋87＋x＋99，解得x＝93，故污损的数字是3.
8．（2015·
江西宜春质检）为了帮助班上的两名贫困生解决经济困难，班上的20名同学捐出了自己的零花钱，他们的捐款数（单位：
元）如下：
19，20，25，30，24，23，25，29，27，27，28，28，26，27，21，30，20，19，22，20.班主任老师准备将这组数据制成频率分布直方图，以表彰他们的爱心．制图时先计算最大值与最小值的差是________．若取组距为2，则应分成________组；
若第一组的起点定为18.5，则在[26.5，28.5）内的频数为________．
由题意知，极差为30－19＝11；
由于组距为2，则
＝5.5不是整数，所以取6组；
捐款数落在[26.5，28.5）内的有27，27，28，28，27共5个，因此频数为5.
11 6 5
9．某中学高二
（2）班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：
95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107；
83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．
从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的；
甲同学的得分情况也大致对称，相对乙来说有些分散．乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好．
10．某市高三数学抽测考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若[130，140）分数段的人数为900，求[90，100）分数段的人数．
由频率分布直方图可得[130，140）分数段的人数所占的百分比为0.005×
10＝0.05，
所以参加考试的总人数为
＝18000.
因此[90，100）分数段的人数为
18000×
（0.045×
10）＝8100.
[B.能力提升]
1.（2013·
高考四川卷）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（ ）
选A.法一：
由题意知样本容量为20，组距为5.
列表如下：
[0，5）
0.01
[5，
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