第一讲消去问题Word文档格式.docx
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追问：
700—460=240（元）表示什么意思？
想一想：
（1）在求出了一个排球的价钱后，还可以怎样求出1个足球的价钱？
（2）这道题还可以怎样检验答案是否正确？
练一练：
1、食堂第一次运来6袋大米和4袋面粉，一共重400千克；
第二次又运来9袋大米和4袋面粉，一共重550千克。
每袋大米和每袋面粉各重多少千克？
2、买10千克茶叶和5千克糖，一共用去420元，买同样的10千克茶叶和3千克糖，一共用去384元。
每千克茶叶比每千克糖贵多少元？
小结：
这类有两个未知数量的应用题，我们在解题时，先通过比较条件，分析对应的未知数量的变化情况，想办法消去其中的一个未知量，从而把数量关系比较复杂的两个未知数量转化成一个未知数量，我们把这种解题方法叫做消去法。
2、师：
通过例1，我们已经掌握了把两个未知数量转化成一个未知数量的方法，就是分析对应的未知数量的变化情况，想办法消去其中的一个未知量。
现在我们就要用刚学的技巧来解决新的问题。
1、如果买1本练习本和2枝铅笔一共用去12元，那么买同样的3本练习本和6枝铅笔一共要准备（（出示））元。
2、如果买3块橡皮和9枝钢笔一共用去69元，那么买同样的1块橡皮和3枝钢笔要准备（元。
）例2：
王老师第一次买8个排球和3个足球共940元，第二次买同样的2个排球和6个足球共760元。
可能出现2种情况：
（一）940×
2=1880（元）1880—760=1120（元）排球的价钱
（二）760×
4=3040（元）个足球的价钱评价。
940×
2=1880（元）表示什么意思？
为什么要这样算？
括号里为什么要用8×
2-2来表示？
追问：
在运用“消去法”解题的时候，这两种解法有什么共同点？
有两个或两个以上未知量的应用题，我们都用消去法来解决。
我们可以根据题目的条件，通过运算进行转化，设法使其中的一个数量相同，然后消去这个数量。
在解题时，要认真审题，考虑好用什么方法才能使其中的一个数量相同，还要注意在消去一个数量后剩下的是哪一个数量，这样才能把题目做对。
3头牛和6只羊一天共吃草93千克，6头牛和5只羊一天共吃草130千克。
每头牛和每只羊每天各吃草多少千克？
三、练习巩固，反馈提高
学生练习第三页习题。
第二讲消去问题
（二）
教学目的：
通过这节课的学习，使学生进一步理解“已知两个或两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知的数量”的这类问题，用“消去法”解决。
一、导入新课。
通过上一节的学习我们知道有两个未知数量的应用题，我们在解题时，先通过比较条件，分析对应的未知数量的变化情况，想办法消去其中的一个未知量，从而把数量关系比较复杂的两个未知数量转化成一个未知数量，我们把这种解题方法叫做消去法。
揭题板书：
消去问题。
二、教学新课。
1、教学例题1。
揭示例题。
例1．7袋大米和3袋面粉共重425千克同样的3袋大米和7袋面粉共重325千3克。
求每袋大米和每袋面粉的重量。
让学生读题，找一找数量关系。
讨论：
可以从哪儿入手？
逐步讨论引导学生解决。
2、教学例题2
三、练习提高。
1、学生练习4-5页练习题。
2、集体交流。
第三讲一般应用题
使学生进一步掌握解答应用题的一般步骤，会借助线段图分析数量关系，提高学生分析问题和解决问题的能力。
一、谈话导入。
1、谈话：
在小学里，通常把应用题分为“一般应用题”和“典型应用题|”两大类。
“典型应用题”有基本的数量关系、解题模式，较复杂的问题可以通过“转化”，向基本的问题靠拢。
我们已经学过的“和差问题”、和“倍差问题”等等，都是“典型应用题”“一般应用题|”没有基本的数量关系，也没有可以用来解题的解题模式。
解题时要具体问题具体分析，在认真审题，理解题意的基础上，理清已知条件与所求问题之间的数量关系，从而确定解题的方法。
2、揭题板书：
一般应用题。
二、教学例题。
1、分段出示例题。
例1、把一条大鱼分成鱼头、鱼身、鱼尾三部分，鱼尾重4千克，鱼头的重量等于鱼尾的重量加身一般的重量，而鱼身体、的重量等于鱼头的重量加上鱼尾的重量。
这条鱼重多少千克？
例2、一所小学的五年级有四个班，其中五
（1）班和五
（2）班共有81人，五
（2）班和五（3）班共有83人五（3）班和五（4）班共有86人，五
（1）班比五（4）班多2人。
学校五年级四个班各有多少人？
例3、甲、乙两位渔夫在和边掉鱼，甲钓了5条，乙钓了3条，吃鱼时，来了一位客人和甲、乙平均分吃这条鱼。
吃完后来客付了8角钱作为餐费。
问：
甲、乙两为渔夫各应得这8角钱中的几角？
例4、一个工地用两台挖土机挖土，小挖土机工作6小时，大挖土机工作8小时，一共挖土312方。
已知小挖土机5小时的挖土量等于大挖土机2小时的完土量，两种挖土机每小时各挖土多少方？
例5、甲、乙、丙三人用同样多的钱合买西瓜。
分西瓜时，甲和丙都比乙多拿西瓜7。
5千克。
结果甲和丙各给乙1.5元钱。
每千克西瓜多少元|？
例6、小红有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个。
而按钱数算，5分币比2分币多4角。
已知这些硬币中有36个1分币。
小红的储蓄筒里共存了多少钱？
分析方法：
1、读题。
2、找出数量关系（或借助图式或借助线段图）3、列出算式。
4、检验。
2、课堂小结：
①这节课我们学习了什么内容？
②解答应用题的一般步骤是怎样？
三、巩固应用。
作业：
第7页
第四讲定义新运算
了解什么是新运算，会用“#”“*”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行运算。
3课时
一、导入话题：
同学们，我们一直学习加、减、乘、除四则运算，是不是觉得有些单调呢？
今天我们一起来学点儿新鲜的运算，它们很特别，既不叫加，也不叫减，更不叫乘、除，它们是什么呢？
二、学习新知
1、例如：
已知：
２△３＝２＋２２＋２２２＝２４６，３△４＝３＋３３＋３３３＋３３３３＝３７０２，……按此规则计算：
（1）3△2；
（2）5△3；
求x。
同学们，你们做过这样的运算吗？
是不是很新鲜呢？
定义新运算问题是一类新出现的运算问题。
它是给出新定义的运算符号，规定了新的运算顺序，按照新定义，用新的运算方法进行运算的一种运算问题。
解决这类问题一定要认真观察、分析新规定的条件，充分理解新定义，并严格按新定义式中的式子代入数值，进而使这类问题转化成我们所熟悉的四则运算。
知道了什么是定义新运算，上面的例子就不难了，让我们一起来做：
［分析与解］观察两个已知的等式可知，在本题中“△”定义的是连加计算，“△”前边的数是第一个加数，且后一个加数都比前一个加数多一个数位，每个加数各个数位上的数字都相同，都是“△”前边的那个数，而“△”后边的数恰好是加数的个数。
因此：
（1）3△2=3+33=36
（2）5△3=5+55+555=615
同学们，你们找到解答定义新运算问题的窍门了吗？
2、学习例题。
例1：
如果A*B=3A+2B，那么7*5的值是多少？
例2：
如果A#B表示
照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？
例3：
规定
求2Δ10Δ10的值。
例4：
设M*N表示M的3倍减去N的2倍，即M*N=3M-2N
计算（14*10）*6
例5：
如果任何数A和B有A¤
B=A×
B-（A+B）
求
（1）10¤
7
（2）（5¤
3）¤
4
（3）假设2¤
X=1求X
3、课堂小结：
关键的一条是抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值。
还有一个值得注意的问题是：
定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题。
三、巩固练习。
第9-10页
第五讲流水问题
使学生理解流水问题数量关系，会运用这一数量关系解决实际问题。
一、了解基本数量关系；
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。
流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速，
（1）
逆水速度=船速-水速.
（2）
这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：
水速=顺水速度-船速，
船速=顺水速度-水速。
由公式
（2）可以得到：
水速=船速-逆水速度，
船速=逆水速度+水速。
这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式
（1）和公式
（2），相加和相减就可以得到：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷
2，
水速=（顺水速度-逆水速度）÷
2。
二、讲解例题
例1甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
分析根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间求出。
解：
顺水速度：
208÷
8=26（千米/小时）
逆水速度：
13=16（千米/小时）
船速：
（26+16）÷
2=21（千米/小时）
水速：
（26—16）÷
2=5（千米/小时）
答：
船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。
例3甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？
分析要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速.由题意可以知道，轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时与5小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间.并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度.在此基础上再用和差问题解法求出水速。
解：
轮船逆流航行的时间：
（35+5）÷
2=20（小时），
顺流航行的时间：
（35—5）÷
2=15（小时），
轮船逆流速度：
360÷
20=18（千米/小时），
顺流速度：
15=24（千米/小时），
（24—18）÷
2=3（千米/小时），
帆船的顺流速度：
12＋3＝15（千米/小时），
帆船的逆水速度：
12—3=9（千米/小时），
帆船往返两港所用时间：
360÷
15＋360÷
9＝24+40=64（小时）。
机帆船往返两港要64小时。
下面继续研究两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.这是因为：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。
这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。
同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关.这是因为：
甲船顺水速度-乙船顺水速度
=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）
=甲船速-乙船速。
如果两船逆向追赶时，也有
甲船逆水速度-乙船逆水速度
=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）
这说明水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。
由上述讨论可知，解流水行船问题，更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答。
例4小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？
分析此题是水中追及问题，已知路程差是2千米，船在顺水中的速度是船速+水速.水壶飘流的速度只等于水速，所以速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度=（船速+水速）-水速=船速.
路程差÷
船速=追及时间
2÷
4=0.5（小时）。
他们二人追回水壶需用0.5小时。
三、巩固练习：
P11-12
第六讲等差数列
教学目标:
使学生了解等差数列并会进行简单的计算。
一、故事导入：
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？
原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×
100÷
2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
二、介绍等差数列。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；
（3）8，15，22，29，36，…，71。
其中
（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；
（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；
（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×
项数÷
三、讲解例题
例11＋2＋3＋…＋1999＝？
分析与解：
这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×
1999÷
2＝1999000。
注意：
利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例211＋12＋13＋…＋31＝？
这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×
21÷
2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-首项）÷
公差+1，
末项=首项+公差×
（项数-1）。
例33＋7＋11＋…＋99＝？
3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷
4＋1＝25，
原式=（3＋99）×
25÷
2＝1275。
例4求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
末项=25＋3×
（40-1）＝142，
和=（25＋142）×
40÷
2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题
例5在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？
（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：
最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×
12
＝［（1＋15）×
8÷
2］×
＝768（厘米2）。
（2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+…+24
＝（3＋24）×
2=108（根）。
最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；
第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球？
一只球变成3只球，实际上多了2只球。
第一次多了2只球，第二次多了2×
2只球……第十次多了2×
10只球。
因此拿了十次后，多了
2×
1＋2×
2＋…＋2×
10
＝2×
（1＋2＋…＋10）
55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×
（1＋2＋…＋10）＋3
［（1＋10）×
10÷
2］＋3＝113（只）。
四、巩固练习
P13-14
第七讲周期问题
（一）
使学生了解许多事物的变化都有周期性，掌握事物变化的周期，并能灵活运用周期变化规律解决实际问题
一、教学过导语
有些数学问题涉及周期问题及进位制的问题。
解决周期问题的关键有两点：
一是找出规律，确定它的周期；
二是按周期的具体情况，找出对应关系，从而解决问题。
进位制问题是指与各种技术法有关的数学问题。
新授
二、周期问题
例1将
化成循环小数，小数点后第2000位上的数字是几？
例21997年元旦是星期三，那么，同年12月1日是星期几？
例3国庆节，路旁挂起了一盏盏彩灯，小华看到每两盏白灯之间有红、黄、绿21灯各一盏。
那么，第80盏灯应是什么颜色的？
例41998个7连乘，它的结果末位上的数字是几？
例5下面是一个11位数，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？
”表示的数字是几吗
三、练习。
P15
第八讲周期问题
（二）
进一步掌握周期问题解决的方法
教学时间:
一、学习例题
例1他们呢依次围成圆做游戏。
现在有13名小朋友编成1到13号，22从1号开始，每数到第3个人发一粒糖（每人只拿一次糖）。
那么，最后一个拿到糖的小朋友是几号？
例2紧接着1998后面写一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的各个位数。
例如，9X8=72。
在8后面写1，8，X2=16，在2后面写6，……得到一串数：
199826……这串数字从1开始往右数，第1998个数字是几？
例3在一根长100厘米的木棍上，23至左每隔５厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开。
那么，长度是1厘米的短木棍有多少根？
二、巩固练习：
P16
第九、十讲平均数问题
（一）
（二）
1、掌握较复杂的求平均数应用题的结构特征及解答方法。
2、培养学生观察、分析和逻辑推理能力。
六课时
一、谈话导入
平均数问题在我们的日常生活中经常遇到的。
例如，为了比较五
（1）班和五
（2）班在期中考试中，哪个班考得更好一些，我们可以计算出每个班的平均分数，平均分数高的班通常就被认为考得好些。
揭示课题并板书：
平均数
二、例题精讲
第一组：
例1．五
（1）班第一小组7个同学测量身高，有两个同学的身高都是153厘米，有一个同学的身高是152厘米，有两个同学的身高是149厘米，还有两个同学54和身高是147厘米。
这个小组同学的平均身高是多少厘米？
例2．小红上学期共参加数学测试五次，前两次的平均分数是93分，后三次的平均分数是88分。
小红这五次测试的平均分数是多少？
例3．小明前五次数学测试的平均成绩是88分。
为了使平均成绩达到92.5分，小明要连续考多少次满分？
（每次测验的满分是100分）
例4．小芳与四名同学一起参加一次数学竞赛，那四名同学的成绩分别为78分、91分、82分、79分，小芳的成绩比五人的平均成绩高6分。
小芳的成绩排在五人中的第几位？
例5．下面一串数是一个等差数列：
3，7，11，…，643。
这串数的平均数是多少？
第二组：
例1．甲、乙两地相距60千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行20千米。
到达乙地后，又从乙地沿原路返回甲地，每小时行30千米。
这辆汽车往返甲、乙两地的平均速度是多少？
例2．五
（2）班女同学人数是男同学的一半，男同学的平均体重是41千克，女同学的平均体重是35千克。
全班同学的平均体重是多少千克？
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