数模讲座免费下实验指导书Word格式文档下载.docx

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4）曳物线

5．作出下列曲面的3维图形，

1）

2）环面：

6．建立一个命令M-文件：

求所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字的立方和等于该数本身。

例如，153是一个水仙花数，因为153=13+53+33。

7．编写函数M-文件sq.m：

用迭代法求

的值。

求平方根的迭代公式为

迭代的终止条件为前后两次求出的x的差的绝对值小于105。

8.自由发挥：

自己提出问题，实验探索，广泛联想，发现规律，大胆猜想。

比如函数cos（1/x）在x=0附近的振荡现象，有无规律可寻？

注意：

以上实验内容分两次实验课完成。

实验二：

方程及方程组的求解

一、实验目的及意义

[1]复习求解方程及方程组的基本原理和方法；

[2]掌握迭代算法；

[3]熟悉MATLAB软件编程环境；

掌握MATLAB编程语句（特别是循环、条件、控制等语句）；

[4]了解迭代过程的图形表示，分形与混沌学科等，学会参数的灵敏度分析；

[5]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；

通过该实验的学习，复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法（简单迭代法、二分法、牛顿法、割线法等），观察非线性方程迭代过程中产生的奇特现象——分歧与混沌，学习参数的灵敏度分析，初步了解数学建模过程。

这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。

1．方程求解和方程组的各种数值解法练习

2．直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习

3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据各种数值解法步骤编写M文件

3．保存文件并运行；

4．观察运行结果（数值或图形）；

5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）

1．用图形放大法求解方程xsin（x）=1.并观察该方程有多少个根。

2．将方程x5+5x3-2x+1=0改写成各种等价的形式进行迭代，观察迭代是否收敛，并给出解释。

3．对以下函数进行迭代，分析迭代产生的序列的收敛性。

使用线性连接图、蛛网图或分枝与混沌图对参数a进行讨论与观察，会得到什么结论？

4．求解下列方程组

用迭代法和直接使用MATLAB命令：

solve（）和fsolve（）对方程组求解。

实验三：

常微分方程的求解与定性分析

[1]归纳和学习求解常微分方程（组）的基本原理和方法；

[2]掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；

[3]熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；

[4]通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；

通过该实验的学习，使学生掌握微分方程（组）求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。

这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。

1．微分方程及方程组的解析求解法；

2．微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法；

3．直接使用MATLAB命令对微分方程（组）进行求解（包括解析解、数值解）；

4．利用图形对解的特征作定性分析；

5．建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。

2．根据微分方程求解步骤编写M文件

5．根据观察到的结果和体会写出实验报告。

根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）

1．求微分方程的解析解,并画出它们的图形，

y’=y+2x,y（0）=1,0<

x<

1;

y’’+ycos（x）=0,y（0）=1,y’（0）=0;

2．用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y’=y-2x/y,y（0）=1（0≤x≤1,h=0.1）的数值解，要求编写程序，并比较两种方法的计算结果，说明了什么问题？

3．Rossler微分方程组：

当固定参数b=2,c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a∈（0,0.65））而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？

4．一横截面积为常数A，高为H的水池内盛满水，由池底一横截面积为B的小孔放水。

设水从小孔流出的速度为v=（2gh）0.5，求在任意时刻的水面高度和将水放空所需的时间。

5．两种相似的群体之间为了争夺有限的同一种食物来源和生活空间而进行生存竞争时，往往是竞争力较弱的种群灭亡，而竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。

假设有甲、乙两个生物种群，当它们各自生存于一个自然环境中，均服从Logistic规律。

1）x1（t）,x2（t）是两个种群的数量；

2）r1,r2是它们的固有增长率；

3）n1,n2是它们的最大容量；

4）m2（m1）为种群乙（甲）占据甲（乙）的位置的数量，并且m2=αx2;

m1=βx1。

计算x1（t）,x2（t）,画出图形及相轨迹图。

解释其解变化过程。

2）改变r1,r2,n1,n2,x0,y0,而α1，α2不变，计算并分析结果；

若α1=1.5，α2=0.7，再分析结果。

由此能得到什么结论。

实验四：

插值方法

[1]了解插值的基本原理

[2]了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想；

[3]了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想；

[4]掌握用MATLAB计算三种一维插值和两种二维插值的方法；

通过自己动手作实验学习如何用插值方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。

通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。

提高写作、文字处理、排版等方面的能力。

1．编写拉格朗日插值方法的函数M文件；

2．用三种插值方法对已知函数进行插值计算，

通过数值和图形输出，比较它们的效果；

3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。

5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

1.一维插值利用以下一些具体函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。

（1）

，x[-5,5]；

（2）sinx,x[0,2];

（3）cos10x,x[0,2]．

适当选取节点及插值点的个数；

比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异，或采用两个函数之间的某种距离。

2．高维插值对于二维插值的几种方法：

最邻近插值、分片线性插值、双线性插值、三次插值等，利用如下函数进行插值计算，观察其插值效果变化，得出什么结论？

，参数p=1/2000~1/200；

采样步长为：

t=4ms~4s；

x=5~25m.

（2）

参数=1~2；

x,y[1,1]。

（3）将

（2）中的函数推广到三维情形，进行同样的处理，体会高维插值的运用。

3．几何物理中的插值问题采用适当的方法求解下列问题：

（1）轮船的甲板成近似半椭圆面形，为了得到甲板的面积。

首先测量得到横向最大相间8.534米；

然后等间距地测得纵向高度，自左向右分别为：

0.914,5.060,7.772,8.717,9.083,9.144,9.083,8.992,8.687,7.376,2.073，

计算甲板的面积。

（2）物体受水平方向外力作用，在水平直线上运动。

测得位移与受力如表4.1

表4.1

X

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

F

20

21

19

18.5

18.0

13.5

9

4.5

求（a）物体从位移为0到0.4所做的功；

（b）位移为0.4时的速度是多少？

（3）火车行驶的路程、速度数据如表4.2，计算从静止开始20分钟内走过的路程。

表4.2

t（分）

2

4

6

8

10

12

14

16

18

v（km/h）

25

29

32

11

5

（4）确定地球与金星之间的距离

天文学家在1914年8月份的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：

米），并取其常用对数值，与日期的一组历史数据如表4.3。

表4.3

日期（号）

22

24

26

28

30

距离对数

9.9617724

9.9543645

9.9468069

9.9390950

9.9312245

9.9231915

9.9149925

由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.9351799？

4．社会经济中的插值问题

（1）日照时间分布表4.4的气象资料是某一地区1985-1998年间不同月份的平均日照时间的观测数据（单位：

小时/月），试分析日照时间的变化规律。

表4.4

月份

1

3

7

日照

80.9

67.2

67.1

50.5

32.0

33.6

36.6

46.8

52.3

62.0

64.1

71.2

（2）山区地貌图在某山区（平面区域（0，2800）（0，2400）内，单位：

米）测得一些地点的高程（单位：

米）如表4.5，试作出该山区的地貌图和等高线图。

表4.5

2400

2000

1600

1200

800

400

0

1430145014701320128012001080940

14501480150015501510143013001200

14601500155016001550160016001600

13701500120011001550160015501380

12701500120011001350145012001150

1230139015001500140090011001060

118013201450142014001300700900

Y/X

040080012001600200024002800

实验五：

数据拟合

[1]了解最小二乘拟合的基本原理和方法；

[2]掌握用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；

[3]通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题，注意与插值方法的区别。

[4]了解各种参数辨识的原理和方法；

[5]通过范例展现由机理分析确定模型结构，拟合方法辨识参数，误差分析等求解实际问题的过程；

通过该实验的学习，掌握几种基本的参数辨识方法，了解拟合的几种典型应用，观察不同方法得出的模型的准确程度，学习参数的误差分析，进一步了解数学建模过程。

1．用MATLAB中的函数作一元函数的多项式拟合与曲线拟合，作出误差图；

2．用MATLAB中的函数作二元函数的最小二乘拟合，作出误差图；

3．针对预测和确定参数的实际问题，建立数学模型，并求解。

1．旧车价格预测

某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中xi表示轿车的使用年数，yi表示相应的平均价格。

试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？

表5.1

xi

yi

2615

1943

1494

1087

765

538

484

290

226

204

2．经济增长模型

增加生产、发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系。

在科学技术发展不快时，如资本主义经济发展的前期，这种模型是有意义的。

用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系Q（K,L）。

经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数：

Q（K,L）=aKαLβ，0<

α,β<

1（*）

式中α,β，a要由经济统计数据确定。

现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个经济指数的统计数据，如下表，试用数据拟合的方法，求出式（*）中的参数α,β，a。

表5.2

tQKL

tQKL

19001.051.041.05

19011.181.061.08

19021.291.161.18

19031.301.221.22

19041.301.271.17

19051.421.371.30

19061.501.441.39

19071.521.531.47

19081.461.571.31

19091.602.051.43

19101.692.511.58

19111.812.631.59

19121.932.741.66

19131.952.821.68

19142.013.241.65

19152.003.241.62

19162.093.611.86

19171.964.101.93

19182.204.361.96

19192.124.771.95

19202.164.751.90

19212.084.541.58

19222.244.541.67

19232.564.581.82

19242.344.581.60

19252.454.581.61

19262.584.541.64

提示：

由于（*）式对参数α,β，a是非线性的，因此，可以有两种方式进行拟合，一是直接使用MATLAB软件中的曲线或曲面拟合命令。

另一个是将非线性函数转化成线性函数的形式，使用线性函数拟合。

实验六：

回归分析

[1]学习回归分析的统计思想和基本原理；

[2]掌握建立回归模型的基本步骤，明确回归分析的主要任务；

[3]熟悉MATLAB软件进行回归模型的各种统计分析；

[4]通过范例学习，熟悉统计分析思想和建立回归模型的基本要素。

通过该实验的学习，使学生掌握回归分析的统计思想，认识面对什么样的实际问题可以建立回归模型，并且对回归模型作统计分析，同时使学生学会使用MATLAB软件进行回归分析和计算的基本命令，了解统计软件的功能和作用。

熟悉处理大量数据的要领和方法是本科生重要的必备知识，具有十分重要的意义。

1．多元线性回归模型的建立与分析步骤（问题假设→模型→参数估计→模型检验→确定最优回归方程→预测）；

2．非线性回归模型的建立与分析步骤；

3．使用MATLAB命令对回归模型进行计算与分析（包括模型检验与预测）；

4．利用某些数值与图形对统计特征作定性分析；

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；

2．打开其它数据存放的软件平台，如excel、txt等软件；

3．在matlab平台上调用数据文件；

4．根据问题和数据，建立的线性（或非线性）回归模型，并编写统计分析的M文件；

5．保存文件并运行；

6．观察运行结果（数值或图形）；

7．根据观察到的结果和体会，写出实验报告。

1、确定企业年设备能力与年劳动生产率的关系

某市电子工业公司有14个所属企业，各企业的年设备能力与年劳动生产率统计数据如表6.1。

试分析企业年设备能力与年劳动生产率的关系。

若该公司计划新建一个设备能力为9.2千瓦/人的企业，估计劳动生产率将为多少？

表6.1

企业

设备能力

（千瓦/人）

劳动生产率

（千元/人）

2.8

6.7

4.8

9.8

6.9

4.9

10.6

3.0

7.2

5.2

10.7

2.9

7.3

5.4

11.1

3.4

8.4

5.5

11.8

3.9

8.8

13

6.2

12.1

4.0

9.1

7.0

12.4

2、某公司出口换汇成本分析

对经营同一类产品出口业务的公司进行抽样调查,被调查的13家公司,其出口换汇成本与商品流转费用率资料如表6.2。

试分析两个变量之间的关系,并估计某家公司商品流转费用率是6.5%的出口换汇成本。

表6.2

公司

出口换汇成本

人民币元/美元

商品流转费

用率（%）

1.40

1.20

1.00

1.90

1.30

2.40

4.20

5.30

7.10

3.70

6.20

3.50

4.80

1.60

2.00

1.00

1.80

1.40

5.50

4.10

5.00

4.00

3.40

6.90

3、某建筑材料公司的销售量因素分析

表6.3中的数据是某建筑材料公司去年20个地区的销售量（Y，千方），推销开支、实际帐目数、同类商品竞争数和地区销售潜力分别是影响建筑材料销售量的因素。

1）试建立回归模型，且分析哪些是主要的影响因素。

2）建立最优回归模型。

表6.3

地区i

推销开支（x1）

实际帐目数（x2）

同类商品竞争数（x3）

地区销售潜力（x4）

销售量

Y

15

17

2.5

8.0

9.0

6.5

5.0

6.0

3.5

7.5

31

55

67

50

38

71

56

42

73

60

44

39

70

40