江苏省常州市2015届高三第一学期期末调研测试数学试卷.doc

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常州市2015届高三第一学期期末调研测试

数学Ⅰ试题2015年2月

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

（第6题）

1．设集合，，则=▲．

2．设复数（，i为虚数单位），若，则的值为▲．

3．已知双曲线的离心率为，则实数a的值为▲．

4．函数的定义域为▲．

5．函数的最小正周期为▲．

6．右图是一个算法流程图，则输出的的值是▲．

7．现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为▲．

8．若实数满足约束条件则目标函数的最小值为▲．

9．曲线在点处的切线方程为▲．

10．已知函数，则函数的值域为▲．

11．已知向量，，设向量满足，则的最大值为▲．

12．设等比数列的公比为（），前n项和为，若，且与的等差中项为，则▲．

13．若不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值为▲．

14．在平面直角坐标系中，已知圆，圆均与轴相切且圆心，与原点共线，，两点的横坐标之积为6，设圆与圆相交于，两点，直线：

，则点与直线上任意一点之间的距离的最小值为▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．

（1）求的值；

（2）求的值；（3）若，求△ABC的面积．

16．（本小题满分14分）

（第16题）

如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD，⊥，⊥，，分别是，的中点，连结．求证：

（1）∥平面；

（2）⊥平面．

17．（本小题满分14分）

某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为（m2）．

（1）求关于的函数关系式；

（2）求的最大值．

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆：

的离心率，直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，连结，过点作垂直于轴的直线，设直线与直线交于点，试探索当变化时，是否存在一条定直线，使得点恒在直线上？

若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分16分）

已知数列（，）满足，其中，．

（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；

（2）设集合．

①若，，求证：

；

②是否存在实数，，使，，都属于？

若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知为实数，函数，函数．

（1）当时，令，求函数的极值；

（2）当时，令，是否存在实数，使得对于函数

定义域中的任意实数，均存在实数，有成立，若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．

数学Ⅱ（附加题）2015年2月

（第21-A题）

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：

几何证明选讲

已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一

点，PC是的平分线，是下半圆的中点.

求证：

直线PC经过点.

B．选修4—2：

矩阵与变换

已知矩阵满足：

，其中是互不相等的实常数，

是非零的平面列向量，，，求矩阵.

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

已知两个动点，分别在两条直线和上运动，且它们的横坐标分别为角的正弦，余弦，.记，求动点的轨迹的普通方程.

D．选修4—5：

不等式选讲

已知，证明：

.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的五种商品有购买意向.已知该网民购买两种商品的概率均为，购买两种商品的概率均为，购买种商品的概率为.假设该网民是否购买这五种商品相互独立.

（1）求该网民至少购买4种商品的概率；

（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望.

23．（本小题满分10分）

设个正数满足（且）．

（1）当时，证明：

；

（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．

常州市教育学会学生学业水平监测

参考答案及评分标准

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分

1．2．3．84．5．6．1277．

8．19．10．11．12．13．14．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．解：

（1）因为，，

所以．………………………2分

又由正弦定理，得，，，

化简得，．………………………5分

（2）因为，所以．

所以．………………………8分

（3）因为，

所以．……………………10分

因为，

所以．

………………………12分

因为，，所以．

所以△ABC的面积．………………………14分

16．证明：

（1）连结AC，

因为ABCD是平行四边形，所以O为的中点．………………………2分

在△中，因为，分别是，的中点，

所以∥．………………………4分

因为平面，平面，

所以∥平面．………………………6分

（2）连结．因为是的中点，PB=PD，

所以PO⊥BD．

又因为平面PBD⊥平面ABCD，平面平

面=，平面

所以⊥平面．

从而⊥．……………………8分

又因为⊥，,平面，平面，

所以⊥平面．

因为平面，所以⊥．………………………10分

因为⊥，∥，所以⊥．………………………12分

又因为平面，平面，,

所以⊥平面．………………………14分

17．解：

（1）由题设，得

，．………………………6分

（2）因为，所以，……………………8分

当且仅当时等号成立．………………………10分

从而．………………………12分

答：

当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为m2．………………………14分

18．解：

（1）由题设，得解得从而，

所以椭圆的标准方程为．………………………4分

（2）令，则，或者，．

当，时，；当，时，，

所以，满足题意的定直线只能是．………………………6分

下面证明点恒在直线上．

设，，由于垂直于轴，所以点的纵坐标为，从而只要证明在直线上．………………………8分

由得，

，

，．①………………………10分

∵

，………………………13分

①式代入上式，得，所以．………………………15分

∴点恒在直线上，从而直线、直线与直线三线恒过同一点

，所以存在一条定直线：

使得点恒在直线上．………………16分

19．解：

（1）当时，

，，．………………………2分

因为，，或，

所以．………………………4分

（2）①由题意，，．……………6分

令，得．

因为，，

所以令，则．………………………8分

②不存在实数，，使，，同时属于．………………………9分

假设存在实数，，使，，同时属于．

，∴，

从而．………………………11分

因为，，同时属于，所以存在三个不同的整数（），

使得从而

则．………………………13分

因为与互质，且与为整数，

所以，但，矛盾．

所以不存在实数，，使，，都属于．………………………16分

20．解：

（1），

，令，得．………………………1分

列表：

x

0

+

↘

极小值

↗

所以的极小值为，无极大值．………………………4分

（2）当时，假设存在实数满足条件，则在上恒成立．………………………5分

1）当时，可化为，

令，问题转化为：

对任意恒成立；（*）

则，，．

令，则．

①时，因为，

故，所以函数在时单调递减，，

即，从而函数在时单调递增，故，所以（*）

成立，满足题意；………………………7分

②当时，，

因为，所以，记，则当时，，

故，所以函数在时单调递增，，

即，从而函数在时单调递减，所以，此时（*）不成立；

所以当，恒成立时，；………………9分

2）当时，可化为，

令，问题转化为：

对任意的恒成立；（**）

则，，．

令，则．

①时，，

故，所以函数在时单调递增，，

即，从而函数在时单调递增，所以，此时（**）成立；11分

②当时，

ⅰ）若，必有，故函数在上单调递减，所以，即，从而函数在时单调递减，所以，此时（**）不成立；………………………13分

ⅱ）若，则，所以当时，

，

故函数在上单调递减，，即，所以函