考点整合与训练第一章 集合与常用逻辑用语 第3节 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词Word格式文档下载.docx
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(2)命题綈(p∧q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题.( )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( )
(4)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,綈p(x)的真假性相反.( )
解析
(1)错误.命题p∨q中,p,q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题,则p,q都是真命题.
(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√
2.(选修2-1P26A3改编)命题“∀x∈R,x2+x≥0”的否定是( )
A.∃x0∈R,x+x0≤0B.∃x0∈R,x+x0<
C.∀x∈R,x2+x≤0D.∀x∈R,x2+x<
解析 由全称命题的否定是特称命题知命题B正确.
答案 B
3.(选修2-1P18A1(3)改编)已知p:
2是偶数,q:
2是质数,则命题綈p,綈q,p∨q,p∧q中真命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
解析 p和q显然都是真命题,所以綈p,綈q都是假命题,p∨q,p∧q都是真命题.
4.(2019·
贵阳调研)下列命题中的假命题是( )
A.∃x0∈R,lgx0=1B.∃x0∈R,sinx0=0
C.∀x∈R,x3>0D.∀x∈R,2x>0
解析 当x=10时,lg10=1,则A为真命题;
当x=0时,sin0=0,则B为真命题;
当x<0时,x3<0,则C为假命题;
由指数函数的性质知,∀x∈R,2x>0,则D为真命题.
答案 C
5.(2018·
安徽江南十校模拟)已知命题p,q,“綈p为真”是“p∧q为假”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由綈p为真知,p为假,可得p∧q为假;
反之,若p∧q为假,则可能是p真q假,从而綈p为假,故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.
答案 A
6.(2019·
豫南五校联考)若“∀x∈,m≤tanx+2”为真命题,则实数m的最大值为________.
解析 由x∈,∴1≤tanx+2≤2+.
∵“∀x∈,m≤tanx+2”为真命题,则m≤1.
∴实数m的最大值为1.
答案 1
考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】
(1)设a,b,c是非零向量.已知命题p:
若a·
b=0,b·
c=0,则a·
c=0;
命题q:
若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A.p∨qB.p∧q
C.(綈p)∧(綈q)D.p∧(綈q)
(2)(2018·
太原模拟)已知命题p:
∃x0∈R,x-x0+1≥0;
若a<
b,则>
,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧qB.p∧(綈q)
C.(綈p)∧qD.(綈p)∧(綈q)
解析
(1)取a=c=(1,0),b=(0,1),显然a·
c=0,但a·
c=1≠0,∴p是假命题.
又a,b,c是非零向量,
由a∥b知a=xb(x∈R),由b∥c知b=yc(y∈R),
∴a=xyc,∴a∥c,∴q是真命题.
综上知p∨q是真命题,p∧q是假命题.
綈p为真命题,綈q为假命题.
∴(綈p)∧(綈q),p∧(綈q)都是假命题.
(2)∵x2-x+1=+≥>
0,所以∃x0∈R,使x-x0+1≥0成立,故p为真命题,綈p为假命题.又易知命题q为假命题,所以綈q为真命题,所以p∧(綈q)为真命题.
答案
(1)A
(2)B
规律方法 1.“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解,其操作步骤是:
(1)明确其构成形式;
(2)判断其中命题p,q的真假;
(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.
2.p∧q形式是“一假必假,全真才真”,p∨q形式是“一真必真,全假才假”,綈p则是“与p的真假相反”.
【训练1】
(1)(2019·
济南模拟)若命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题,则( )
A.命题p与命题q都是真命题
B.命题p与命题q都是假命题
C.命题p是真命题,命题q是假命题
D.命题p是假命题,命题q是真命题
(2)(2017·
山东卷)已知命题p:
∃x∈R,x2-x+1≥0;
若a2<
b2,则a<
b.下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.p∧綈q
C.綈p∧qD.綈p∧綈q
解析
(1)因为綈p为真命题,所以p为假命题,又p∨q为真命题,所以q为真命题.
(2)∵一元二次方程x2-x+1=0的判别式Δ=(-1)2-4×
1×
1<
0,∴x2-x+1>
0恒成立,
∴p是真命题,綈p为假命题.
∵当a=-1,b=-2时,(-1)2<
(-2)2,但-1>
-2,
∴q为假命题,綈q为真命题.
∴p∧綈q为真命题,p∧q,綈p∧q,綈p∧綈q为假命题.
答案
(1)D
(2)B
考点二 全称量词与存在量词
多维探究
角度1 含有量词命题的否定
【例2-1】命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n
B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n
C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0
解析 全称命题的否定为特称命题,
∴命题的否定是:
∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>
n0.
答案 D
角度2 全称(特称)命题的真假判断
【例2-2】
(1)(2019·
江西师大附中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是( )
A.∀x∈R,f(-x)≠f(x)
B.∀x∈R,f(-x)≠-f(x)
C.∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)
D.∃x0∈R,f(-x0)≠-f(x0)
昆明一中质检)已知命题p:
∀x∈R,x+≥2;
∃x0∈(0,+∞),x>x,则下列命题中为真命题的是( )
A.(綈p)∧qB.p∧(綈q)
C.(綈p)∧(綈q)D.p∧q
解析
(1)∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数,∴∀x∈R,f(-x)=f(x)为假命题,∴∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)为真命题.
(2)对于p:
当x=-1时,x+=-2,∴p为假命题.取x0∈(0,1),此时x>x,∴q为真命题.
从而綈p为真命题,(綈p)∧q为真命题.
答案
(1)C
(2)A
规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;
二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;
要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x=x0,使p(x0)成立.
【训练2】
(1)(2019·
河北“五个一”名校联考)命题“∃x0∈R,1<
f(x0)≤2”的否定形式是( )
A.∀x∈R,1<
f(x)≤2
B.∃x0∈R,1<
f(x0)≤2
C.∃x0∈R,f(x0)≤1或f(x0)>
2
D.∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>
(2)已知命题p:
∃x0∈(-∞,0),2x0<
3x0;
∀x∈,sinx<
x,则下列命题为真命题的是( )
解析
(1)特称命题的否定是全称命题,原命题的否定形式为“∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>
2”.
(2)因为当x<
0时,>
1,即2x>
3x,所以命题p为假命题,从而綈p为真命题;
因为当x∈时,x>
sinx,所以命题q为真命题,所以(綈p)∧q为真命题.
答案
(1)D
(2)C
考点三 由命题的真假求参数的取值范围
【例3】
(1)(2018·
长沙调研)已知命题p:
∀x∈R,log2(x2+x+a)>
0恒成立,命题q:
∃x0∈[-2,2],2a≤2x0,若命题p∧q为真命题,则实数a的取值范围为________.
(2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=-m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是________.
解析
(1)由题知,命题p:
0恒成立,即x2+x+a-1>
0恒成立,所以Δ=1-4(a-1)<
0,解得a>
;
∃x0∈[-2,2],使得2a≤2x0,则a≤2.当p∧q为真命题时,须满足故实数a的取值范围为.
(2)当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,g(x)min=g
(2)=-m,对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)min,得0≥-m,所以m≥.
答案
(1)
(2)
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤:
(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;
(2)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
2.全称命题可转化为恒成立问题.
含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值解决.
【训练3】本例
(2)中,若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数m的取值范围是____________.
解析 当x∈[1,2]时,g(x)max=g
(1)=-m,对∀x1∈[0,3],∀x2∈[1,2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max,得0≥-m,∴m≥.
答案
[思维升华]
1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼,要结合语句的含义理解.
2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,再对照否定结构去写,并注意与否命题的区别;
否定的规律是“改量词,否结论”.
[易错防范]
1.正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题,它既否定其条件,又否定其结论;
“命题的否定”即“綈p”,只是否定命题p的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真.
2.几点注意:
(1)注意命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题的否定的前提;
(2)注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定;
(3)注意“或”“且”的否定,“或”的否定为“且”,“且”的否定为“或”.
逻辑推理、数学运算——突破双变量“存在性或任意性”问题
逻辑推理的关键要素是:
逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.
类型1 形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立”
【例1】已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x)=x-,若对任意x1∈
[-1,1],总存在x2∈[0,2],使得f′(x1)+2ax1=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
解 由题意知,g(x)在[0,2]上的值域为.
令h(x)=f′(x)+2ax=3x2+2x-a(a+2),则h′(x)=6x+2,由h′(x)=0得x=-.
当x∈时,h′(x)<
0;
当x∈时,h′(x)>
0,所以[h(x)]min=h=-a2-2a-.
又由题意可知,h(x)的值域是的子集,所以
解得实数a的取值范围是[-2,0].
评析 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键,此类问题求解的策略是“等价转化”,即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组,求得参数的取值范围.
类型2 形如“存在x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立”
【例2】已知函数f(x)=函数g(x)=ksin-2k+2(k>
0),若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围.
解 由题意,易得函数f(x)的值域为[0,1],g(x)的值域为,并且两个值域有公共部分.
先求没有公共部分的情况,即2-2k>
1或2-k<
0,解得k<
或k>
,所以,要使两个值域有公共部分,k的取值范围是.
评析 本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.
类型3 形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得f(x1)<
g(x2)成立”
【例3】已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀x1∈,∃x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是________.
解析 依题意知f(x)max≤g(x)max.
∵f(x)=x+在上是减函数,
∴f(x)max=f=.
又g(x)=2x+a在[2,3]上是增函数,∴g(x)max=8+a,
因此≤8+a,则a≥.
评析 理解量词的含义,将原不等式转化为[f(x)]max≤[g(x)]max;
利用函数的单调性,求f(x)与g(x)的最大值,得关于a的不等式求得a的取值范围.
思考1:
在[例3]中,若把“∃x2∈[2,3]”变为“∀x2∈[2,3]”时,其它条件不变,则a的取值范围是________.
问题“等价转化”为[f(x)]max≤[g(x)]min,请读者完成.
思考2:
在[例3]中,若将[例3]中“∀x1∈”改为“∃x1∈”,其它条件不变,则a的取值范围是______.
问题“等价转化”为f(x)min≤g(x)max,请读者自行求解.
基础巩固题组
(建议用时:
30分钟)
一、选择题
1.(2019·
益阳调研)已知命题p:
“∀a≥0,a4+a2≥0”,则命题綈p为( )
A.∀a≥0,a4+a2<
0B.∀a≥0,a4+a2≤0
C.∃a0<
0,a+a<
0D.∃a0≥0,a+a<
解析 命题p为全称命题,其否定为特称命题.将量词改变,否定结论,即綈p为∃a0≥0,a+a<
0.
2.第十八届亚运会于2018年8月28日在雅加达隆重开幕,在体操预赛中,有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”,q是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( )
A.(綈p)∨(綈q)B.p∨(綈q)
C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q
解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况:
“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳,乙落地站稳”、“乙落地没有站稳,甲落地站稳”,故可表示为(綈p)∨(綈q).或者,命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定,即“p∧q”的否定选A.
3.(2018·
昆明诊断)已知命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,0)B.[0,4]C.[4,+∞)D.(0,4)
解析 因为命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,所以其否定命题“∀x∈R,4x2+(a-2)x+>
0”是真命题.
则Δ=(a-2)2-4×
4×
=a2-4a<
0,解得0<
a<
4.
4.命题p:
函数y=log2(x-2)的单调递增区间是[1,+∞),命题q:
函数y=的值域为(0,1).下列命题是真命题的为( )
A.p∧qB.p∨qC.p∧(綈q)D.綈q
解析 由于y=log2(x-2)的单调递增区间是(2,+∞),
所以命题p是假命题.
由3x>
0,得3x+1>
1,所以0<
<
1,
所以函数y=的值域为(0,1),故命题q为真命题.
所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧(綈q)为假命题,綈q为假命题.
5.已知命题p:
“∀x∈[0,1],a≥ex”,命题q:
“∃x0∈R,x+4x0+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(4,+∞)B.[1,4]C.[e,4]D.(-∞,-1)
解析 由题意知p与q均为真命题,由p为真,可知a≥e,由q为真,知x2+4x+a=0有解,则Δ=16-4a≥0,∴a≤4.综上可知e≤a≤4.
淮北模拟)命题p:
若向量a·
b<
0,则a与b的夹角为钝角;
若cosα·
cosβ=1,则sin(α+β)=0.下列命题为真命题的是( )
A.pB.綈qC.p∧qD.p∨q
解析 当a,b方向相反时,a·
0,但夹角是180°
,不是钝角,命题p是假命题;
若cosαcosβ=1,则cosα=cosβ=1或cosα=cosβ=-1,所以sinα=sinβ=0,从而sin(α+β)=0,命题q是真命题,所以p∨q是真命题.
7.已知命题p:
∀x∈R,2x<
3x,命题q:
∃x∈R,x2=2-x,若命题(綈p)∧q为真命题,则x的值为( )
A.1B.-1C.2D.-2
解析 要使(綈p)∧q为真,所以綈p与q同时为真,而綈p:
∃x∈R,2x≥3x,
由2x≥3x得≥1,所以x≤0.
由x2=2-x得x2+x-2=0,所以x=1或x=-2.
又x≤0,所以x=-2.
8.已知函数f(x)=a2x-2a+1.若命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.B.(1,+∞)
C.D.∪(1,+∞)
解析 ∵函数f(x)=a2x-2a+1,
命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,
∴原命题的否定是:
“∃x0∈(0,1),使f(x0)=0”是真命题,
∴f
(1)f(0)<
0,即(a2-2a+1)(-2a+1)<
0,
∴(a-1)2(2a-1)>
,且a≠1,
∴实数a的取值范围是∪(1,+∞).
二、填空题
9.若“∀x∈,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
解析 ∵函数y=tanx在上是增函数,∴ymax=tan=1,依题意,m≥ymax,即m≥1.∴m的最小值为1.
10.已知命题p:
>
0,则綈p对应的集合为__________.
解析 由p:
0,得p:
x>
2或x<
-1,所以綈p对应的集合为{x|-1≤x≤2}.
答案 {x|-1≤x≤2}
11.下列结论:
①若命题p:
∃x0∈R,tanx0=1;
∀x∈R,x2-x+1>
0,则命题“p∧
(綈q)”是假命题;
②已知直线l1:
ax+3y-1=0,l2:
x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;
③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题是“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.
其中正确结论的序号为________.
解析 ①中命题p为真命题,命题q为真命题,
所以p∧(綈q)为假命题,故①正确;
②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;
③正确,所以正确结论的序号为①③.
答案 ①③
12.已知命题p:
∃x0∈R,(m+1)(x+1)≤0,命题q:
∀x∈R,x2+mx+1>
0恒成立.若p∧q为假命题,则实数m的取值范围为________.
解析 由命题p:
∃x0∈R,(m+1)(x+1)≤0可得m≤-1;
由命题q:
0恒成立,即Δ=m2-4<
0,可得-2<
m<
2,
若p∧q为真命题,则-2<
m≤-1,
因为p∧q为假命题,所以m≤-2或m>
-1.
答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞)
能力提升题组
15分钟)
13.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<
x2
B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<
C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<
D.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<
x
解析 改变量词,否定结论.
∴綈p应为:
∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<
x.
14.(2018·
郑州模拟)已知命题p:
关于x的方程x2+ax+1=0没有实根;
∀x>
0,2x-a>
0.若“綈p”和“p∧q”都是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-2,1]
C.(1,2) D.(1,+∞)
解析 方程x2+ax+1=0没有实根等价于Δ=a2-4<
0,即-2<
2;
0等价于a<
2x在(0,+∞)上恒成立,即a≤1.
因“綈p”是假命题,则p是真命题,又因“p∧q”是假命题,则q是假命题.
∴解得1<
2.
15.已知函数f(x)=给出下列两个命题:
命题p:
∃m∈(-∞,0),方程f(x)=0有解,命题q:
若m=,则f[f(-1)]=0,那么,下列命题为真命题的是________(填序号).
①p∧q;
②(綈p)∧q;
③p∧(綈q);
④(綈p)∧(綈q).
解析 因为3x>
0,当m<
0时,m-x2<
所以命题p为假命题;
当m=时,因为f(-1)=3-1=,
所以f[f(-1)]=f=-=0,
所以命题q为真命题,
逐项检验可知,只有(綈p)∧q为真命题.
答案 ②
16.(2019·
深圳质检)设p:
实数x满足x2-4ax+3a2<
0,q:
实数x满足|x-3|<
1.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若a>
0且綈p