中考数学一轮复习特殊四边形讲学案Word文件下载.docx

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角所对的直角边是斜边的一半得出BE=2E=2AE，得出结论S△AE：

BE=1：

2．

①∵矩形ABD中，为A中点，

∴B=，

∵∠B=60°

，

∴△B是等边三角形，

∴B=B，

∵F=F，

∴FB垂直平分，

故①正确；

②∵FB垂直平分，

∴△B≌△B，

∵A=，∠F=∠EA，∠D=∠BA，

∴△F≌△EA，

∴F=E，

易得B⊥EF，

∴△B≌△EB，

∴△EB≌△B，

故②正确；

③由△B≌△EB≌△B得∠1=∠2=∠3=30°

，BF=BE，

∴△BEF是等边三角形，

∴BF=EF，

∵DF∥BE且DF=BE，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∴DE=BF，

∴DE=EF，

故③正确；

④在直角△BE中∵∠3=30°

∴BE=2E，

∵∠AE=∠AE=30°

∴AE=E，

∴BE=2AE，

∴S△AE：

S△B=S△AE：

S△BE=1：

2，

故④错误；

所以其中正确结论的个数为3个；

故选B【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；

看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．

知识点二、菱形的性质及判定的应用

【例2】

（201辽宁朝阳）如图，在△AB中，点D是B的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条：

①BE⊥E；

②BF∥E；

③AB=A，从中选择一个条使四边形BEF是菱形，并给出证明，你选择的条是（只填写序号）．【答案】③，证明见解析．

【分析】由点D是B的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，即可得到四边形BEF是平行四边形，由AF是B的中垂线，得到BE=E，从而得到结论．

【解析】∵BD=D，DE=DF，∴四边形BEF是平行四边形，①BE⊥E时，四边形BEF是矩形，不一定是菱形；

②四边形BEF是平行四边形，则BF∥E一定成立，故不一定是菱形；

③AB=A时，∵D是B的中点，∴AF是B的中垂线，∴BE=E，∴平行四边形BEF是菱形．

故答案为：

③．

【点评】此题主要考查了菱形的判定以及等腰三角形的性质，能根据已知条选择让问题成立的条是解题关键．

【变式】

青海西宁&

2分）如图，在菱形ABD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABD的周长是　16　．【考点】菱形的性质；

三角形中位线定理．

【分析】先利用三角形中位线性质得到AB=4，然后根据菱形的性质计算菱形ABD的周长．

∵E，F分别是AD，BD的中点，

∴EF为△ABD的中位线，

∴AB=2EF=4，

∵四边形ABD为菱形，

∴AB=B=D=DA=4，

∴菱形ABD的周长=4×

4=16．

故答案为16．

知识点三、正方形的性质及判定的应用

【例3】

3分）把边长为3的正方形ABD绕点A顺时针旋转4°

得到正方形AB′′D′，边B与D′′交于点，则四边形ABD′的周长是（　　）A．B．6．D．

【分析】由边长为3的正方形ABD绕点A顺时针旋转4°

得到正方形AB′′D′，利用勾股定理的知识求出B′的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求B，D′，从而可求四边形ABD′的周长．

连接B′，

∵旋转角∠BAB′=4°

，∠BAD′=4°

∴B在对角线A′上，

∵B′′=AB′=3，

在Rt△AB′′中，A′==3，

∴B′=3﹣3，

在等腰Rt△B′中，B=B′=3﹣3，

在直角三角形B′中，=（3﹣3）=6﹣3，

∴D′=3﹣′=3﹣3，

∴四边形ABD′的周长是：

2AD′+B+D′=6+3﹣3+3﹣3=6．

A．【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接B′构造等腰Rt△B′是解题的关键，注意旋转中的对应关系．

四川攀枝花）如图，正方形纸片ABD中，对角线A、BD交于点，折叠正方形纸片ABD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、A于点E、G，连结GF，给出下列结论：

①∠ADG=22°

；

②tan∠AED=2；

③S△AGD=S△GD；

④四边形AEFG是菱形；

⑤BE=2G；

⑥若S△GF=1，则正方形ABD的面积是6+4，其中正确的结论个数为（　　）A．2B．3．4D．

【考点】四边形综合题．

【分析】①由四边形ABD是正方形，可得∠GAD=∠AD=4°

，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；

②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE；

③由AG=GF＞G，可得△AGD的面积＞△GD的面积；

④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；

⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2G；

⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BA=4°

，∠GF=90°

可得出△GF时等腰直角三角形，由S△GF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．

∵四边形ABD是正方形，

∴∠GAD=∠AD=4°

由折叠的性质可得：

∠ADG=∠AD=22°

故①正确．

∵由折叠的性质可得：

AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°

∴AE=EF＜BE，

∴AE＜AB，

∴＞2，

故②错误．

∵∠AB=90°

∴AG=FG＞G，△AGD与△GD同高，

∴S△AGD＞S△GD，

故③错误．

∵∠EFD=∠AF=90°

∴EF∥A，

∴∠FEG=∠AGE，

∵∠AGE=∠FGE，

∴∠FEG=∠FGE，

∴EF=GF，

∵AE=EF，

∴AE=GF，

故④正确．

∵AE=EF=GF，AG=GF，

∴AE=EF=GF=AG，

∴四边形AEFG是菱形，

∴∠GF=∠AB=4°

∴EF=GF=G，

∴BE=EF=×

G=2G．

故⑤正确．

∵四边形AEFG是菱形，

∴AB∥GF，AB=GF．

∵∠BA=4°

∴△GF时等腰直角三角形．

∵S△GF=1，

∴G2=1，解得G=，

∴BE=2G=2，GF===2，

∴AE=GF=2，

∴AB=BE+AE=2+2，

∴S正方形ABD=AB2=（2+2）2=12+8，故⑥错误．

∴其中正确结论的序号是：

①④⑤．

故选B．

【点评】此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．

知识点四、特殊平行四边形的综合应用

【例4】

（201辽宁铁岭）如图，矩形ABD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边D、AB上．

（1）若DE=BF，求证：

四边形AFE是平行四边形；

（2）若四边形AFE是菱形，求菱形AFE的周长．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）2．

【分析】

（1）由四边形ABD为矩形，得到AB=D，AB∥D，由DE=BF，得到AF=E，AF∥E，即可证明四边形AFE是平行四边形；

（2）由四边形AFE是菱形，得到AE=E，然后设DE=x，表示出AE，E的长度，根据相等求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长．

【解析】

（1）∵四边形ABD为矩形，∴AB=D，AB∥D，∵DE=BF，∴AF=E，AF∥E，∴四边形AFE是平行四边形；

（2）∵四边形AFE是菱形，∴AE=E，设DE=x，则AE=，E=8﹣x，则，解得：

x=，则菱形的边长为：

=，周长为：

4×

=2，故菱形AFE的周长为2．

【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质以及勾股定理等知识，能正确地分析图形的特点是解决此类问题的关键．

四川内江）如图所示，△AB中，D是B边上一点，E是AD的中点，过点A作B的平行线交E的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．

（1）求证：

D是B的中点；

（2）若AB＝A，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．[考点]三角形例行，特殊四边形的性质与判定。

（1）证明：

∵点E是AD的中点，∴AE＝DE．

∵AF∥B，∴∠AFE＝∠DE，∠FAE＝∠DE．

∴△EAF≌△ED．

∴AF＝D．

∵AF＝BD，

∴BD＝D，即D是B的中点．

（2）四边形AFBD是矩形．证明如下：

∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四边形AFBD是平行四边形．

∵AB＝A，又由

（1）可知D是B的中点，

∴AD⊥B．

∴□AFBD是矩形．

知识点五、四边形的研究应用

【例】

（2016海南）如图1，在矩形ABD中，B＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、B分别交于点E、F，点是BD的中点，直线∥AF，交AD于点，交B于点G．

①△D≌△BG；

②AB+A=BG；

（2）若D=G，B=4﹣．

①求D的长度；

②如图2，点P是线段D上的动点（不与点D、重合），P∥DG交G于点，PN∥G交DG于点N，设PD=，当S△PN=时，求的值．【考点】四边形综合题；

全等三角形的判定；

矩形的性质；

相似三角形的判定与性质．

（1）①先根据AAS判定△D≌△BG，②再根据等腰三角形ABF和平行四边形AFG的性质，得出结论BG=AB+A；

（2）①先根据等量代换得出AF=G=D=BG，再设AB=a，根据A=FG列出关于a的方程，求得a的值，进而计算D的长；

②先过点G作GI⊥D，求得S△DG的值，再根据四边形PGN是平行四边形，以及△DG∽△P∽△DPN，求得S△DPN和S△P的表达式，最后根据等量关系S平行四边形PGN=S△DG﹣S△DPN﹣S△P，列出关于的方程，求得的值即可．

（1）①∵在矩形ABD中，AD∥B

∴∠D=∠GB，∠D=∠BG

∵点是BD的中点

∴D=B

∴△D≌△BG（AAS）

②∵四边形ABD是矩形

∴∠BAD=∠AB=90°

，AD∥B

又∵AF平分∠BAD

∴∠BAF=∠BFA=4°

∴AB=BF

∵∥AF，A∥FG

∴四边形AFG是平行四边形

∴A=FG

∵BG=BF+FG

∴BG=AB+A

（2）①由

（1）得，四边形AFG是平行四边形

∴A=FG，AF=G

又∵△D≌△BG，且D=G

∴AF=G=D=BG

设AB=a，则AF=G=D=BG=a

∴A=4﹣﹣a，FG=BG﹣BF=a﹣a

∴4﹣﹣a=a﹣a

解得a=

∴D=a=2

②过点G作GI⊥D于点I

由

（2）①可知D=AF=2

∴GI=AB=

∴S△DG=×

2×

=

∵PD=

∴P=2﹣

∵P∥DG，PN∥G

∴四边形PGN是平行四边形，△DG∽△P∽△DPN

∴，即S△DPN=（）2

同理S△P=（）2

∵S△PN=

∴S平行四边形PGN=2S△PN=2×

又∵S平行四边形PGN=S△DG﹣S△DPN﹣S△P

∴2×

=﹣（）2﹣（）2，即2﹣2+1=0

解得1=2=1

∴当S△PN=时，的值为1

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的性质，解题时需要运用全等三角形的判定与性质．解答此题的关键是运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方这一性质，并根据图形面积的等量关系列出方程进行求解，难度较大，具有一定的综合性．

浙江省绍兴市）如图，在矩形ABD中，点为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、在坐标轴上，点P在B边上，直线l1：

=2x+3，直线l2：

=2x﹣3．

（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；

（2）已知点在第一象限，且是直线l2上的点，若△AP是等腰直角三角形，求点的坐标；

（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．【考点】四边形综合题．

（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；

（2）分三种情况：

①若点A为直角顶点时，点在第一象限；

若点P为直角顶点时，点在第一象限；

③若点为直角顶点时，点在第一象限；

进行讨论可求点的坐标；

（3）根据矩形的性质可求N点的横坐标x的取值范围．

（1）直线l1：

当=0时，2x+3=0，x=﹣

则直线l1与x轴坐标为（﹣，0）

直线l2：

当=3时，2x﹣3=3，x=3

则直线l2与AB的交点坐标为（3，3）；

（2）①若点A为直角顶点时，点在第一象限，连结A，

如图1，∠APB＞∠AB＞4°

∴△AP不可能是等腰直角三角形，

∴点不存在；

②若点P为直角顶点时，点在第一象限，如图2，

过点作N⊥B，交B的延长线于点N，

则Rt△ABP≌Rt△PN，

∴AB=PN=4，N=BP，

设（x，2x﹣3），则N=x﹣4，

∴2x﹣3=4+3﹣（x﹣4），

x=，

∴（，）；

③若点为直角顶点时，点在第一象限，如图3，

设1（x，2x﹣3），

过点1作1G1⊥A，交B于点H1，

则Rt△A1G1≌Rt△P1H1，

∴AG1=1H1=3﹣（2x﹣3），

∴x+3﹣（2x﹣3）=4，

x=2

∴1（2，1）；

设2（x，2x﹣3），

同理可得x+2x﹣3﹣3=4，

∴x=，

∴2（，）；

综上所述，点的坐标为（，），（2，1），（，）；

（3）x的取值范围为﹣≤x＜0或0＜x≤或≤x≤或≤x≤2．

　【典例解析】

【例题1】

（2016贵州毕节）如图，正方形ABD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在B边上的点E处，折痕为GH．若BE：

E=2：

1，则线段H的长是（　　）A．3B．4．D．6

【考点】正方形的性质；

翻折变换（折叠问题）．

【分析】根据折叠的性质可得DH=EH，在直角△EH中，若设H=x，则DH=EH=9﹣x，E=3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出H的长．

由题意设H=x，则DH=EH=（9﹣x），

∵BE：

1，

∴E=B=3

∴在Rt△EH中，EH2=E2+H2，

即（9﹣x）2=32+x2，

x=4，即H=4．

故选（B）

【例题2】

福建龙岩&

4分）如图，在周长为12的菱形ABD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）A．1B．2．3D．4

【考点】菱形的性质；

轴对称-最短路线问题．

【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．

作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．

∴EP+FP=EP+F′P．

由两点之间线段最短可知：

当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．

∵四边形ABD为菱形，周长为12，

∴AB=B=D=DA=3，AB∥D，

∵AF=2，AE=1，

∴DF=AE=1，

∴四边形AEF′D是平行四边形，

∴EF′=AD=3．

∴EP+FP的最小值为3．

．【例题3】

江西）如图是一张长方形纸片ABD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是　　．【考点】矩形的性质；

等腰三角形的性质；

勾股定理．

【分析】分情况讨论：

①当AP=AE=时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE=AE=即可；

②当PE=AE=时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等边AP即可；

③当PA=PE时，底边AE=；

即可得出结论．

如图所示：

①当AP=AE=时，

∵∠BAD=90°

∴△AEP是等腰直角三角形，

∴底边PE=AE=；

②当PE=AE=时，

∵BE=AB﹣AE=8﹣=3，∠B=90°

∴PB==4，

∴底边AP===4；

综上所述：

等腰三角形AEP的对边长为或4或；

或4或．【例题4】

陕西）如图，在正方形ABD中，连接BD，点是BD的中点，若、N是边AD上的两点，连接、N，并分别延长交边B于两点′、N′，则图中的全等三角形共有（　　）A．2对B．3对．4对D．对

全等三角形的判定．

【分析】可以判断△ABD≌△BD，△D≌△′B，△ND≌△N′B，△N≌△′N′由此即可对称结论．

∴AB=D=B=AD，∠A=∠=∠AB=∠AD=90°

，AD∥B，

在△ABD和△BD中，

∴△ABD≌△BD，

∵AD∥B，

∴∠D=∠′B，

在△D和△′B中，

∴△D≌△′B，同理可证△ND≌△N′B，∴△N≌△′N′，

∴全等三角形一共有4对．

故选．　

【中考热点】

【热点1】

湖北随州&

3分）如图，边长为1的正方形ABD的对角线A、BD相交于点．有直角∠PN，使直角顶点P与点重合，直角边P、PN分别与A、B重合，然后逆时针旋转∠PN，旋转角为θ（0°

＜θ＜90°

），P、PN分别交AB、B于E、F两点，连接EF交B于点G，则下列结论中正确的是　

（1），

（2），（3），（）　．

（1）EF=E；

（2）S四边形EBF：

S正方形ABD=1：

4；

（3）BE+BF=A；

（4）在旋转过程中，当△BEF与△F的面积之和最大时，AE=；

（）G&

BD=AE2+F2．【考点】四边形综合题．

（1）由四边形ABD是正方形，直角∠PN，易证得△BE≌△F（ASA），则可证得结论；

（2）由

（1）易证得S四边形EBF=S△B=S正方形ABD，则可证得结论；

（3）由BE=F，可得BE+BF=B，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE+BF=A；

（4）首先设AE=x，则BE=F=1﹣x，BF=x，继而表示出△BEF与△F的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；

（）易证得△EG∽△BE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得G&

B=E2，再利用B与BD的关系，E与EF的关系，即可证得结论．

（1）∵四边形ABD是正方形，

∴B=，∠BE=∠F=4°

，∠B=90°

∴∠BF+∠F=90°

∵∠EF=90°

∴∠BF+∠E=90°

∴∠BE=∠F，

在△BE和△F中，

∴△BE≌△F（ASA），

∴E=F，BE=F，

∴EF=E；

故正确；

（2）∵S四边形EBF=S△BE+S△BE=S△BE+S△F=S△B=S正方形ABD，

∴S四边形EBF：

（3）∴BE+BF=BF+F=B=A；

（4）过点作H⊥B，

∵B=1，

∴H=B=，

设AE=x，则BE=F=1﹣x，BF=x，

∴S△BEF+S△F=BE&

BF+F&

H=x（1﹣x）+（1﹣x）×

=﹣（x﹣）2+，

∵a=﹣＜0，

∴当x=时，S△BEF+S△F最大；

即在旋转过程中，当△BEF与△F的面积之和最大时，AE=；

故错误；

（）∵∠EG=∠BE，∠EG=∠BE=4°

∴△EG∽△BE，

∴E：

B=G：

E，

∴G&

B=E2，

∵B=BD，E=EF，

BD=EF2，

∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，

∴EF2=AE2+F2，

BD=AE2+F2．故正确．

（1），

（2），（3），（）．【热点2】

浙江省绍兴市）如图，矩形ABD中，AB=4，B=2，E是AB的中点，直线l平行于直线E，且直线l与直线E之间的距离为2，点F在矩形ABD边上，将矩形ABD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为　2或4﹣2　．【考点】矩形的性质；

【分析】当直线l在直线E上方时，连接DE交直线l于，只要证明△DF是等腰直角三角形即可利用DF=D解决问题，当直线l在直线E下方时，由∠DEF1=∠BEF1=∠DF1E，

得到DF1=DE，由此即可解决问题．

如图，当直线l在直线E上方时，连接DE交直线l于，

∵四边形ABD是矩形，

∴∠A=∠B=90°

，AD=B，

∵AB=4，AD=B=2，

∴AD=AE=EB=B=2，

∴△ADE、△EB是等腰直角三角形，

∴∠AED=∠BE=4°

∴∠DE=90°

∵l∥E，

∴ED⊥l，

∴E=2=AE，

∴点A、点关于直线EF对称，

∵∠DF=∠FD=4°

∴D=F=DE﹣E=2﹣2，

∴DF=D=4﹣2．

当直线l在直线E下方时，

∵∠DEF1=∠BEF1=∠DF1E，

∴DF1=DE=2，

综上所述DF的长为2或4﹣2．

故答案为