A
3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是________．
解析：
依题意：
解得a＝1.答案：
1
4．求与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点（3，2）的双曲线方程．
解析：
∵所求双曲线与－＝1有相同的焦点，∴双曲线的焦点为（±2，0）
设所求双曲线方程为－＝1.
∵双曲线经过点（3，2），∴－＝1，解得a2＝12. ∴所求双曲线的方程为－＝1.
●问题与困惑：
二、互动探究
●问题探究：
探究1：
把椭圆定义中的“和”字改成“差”字，所得的轨迹是什么曲线？
探究2：
根据双曲线的定义，怎样导出双曲线的标准方程的？
探究3：
双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别？
、、之间的关系有何不同？
探究4：
怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程？
它与椭圆的区分方法有何不同？
●基础知识归纳：
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距．
反思
（1）：
设常数为，为什么？
时，轨迹是；
时，轨迹．
反思
（2）：
双曲线的定义中，为什么要加“绝对值”三个字？
没有“绝对值”三个字呢？
2．双曲线的标准方程
焦点在轴上
焦点在轴上
标准方程
焦点
的关系
小结：
双曲线的标准方程与椭圆的标准方程的区别：
1.焦点位置的判定：
椭圆由分母常数的大小判定，双曲线由各项前面的符号判定
2.、、之间的关系：
椭圆是，双曲线是（记忆方法：
椭圆的焦点在顶点之内，所有；双曲线焦点在顶点之外，所有）
●典例导析：
题型一、求双曲线的标准方程
例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点A（4，－），B；
（2）c＝，经过点（－5,2），焦点在x轴上．
[思路点拨]
1.找出两个定量条件和定位条件，由定量条件求、的值（注意应用）；由定位条件确定焦点所在的位置.
2.常用待定系数法.
[解题过程]
（1）方法一：
①当焦点在x轴上时，
设双曲线标准方程为－＝1（a>0，b>0）．由于双曲线过点A（4，－），B，
∴解得∴所求双曲线标准方程是－y2＝1.
②当焦点在y轴上时，设双曲线标准方程为－＝1（a>0，b>0）．
则解得不合题意，舍去．
综上所述，双曲线的标准方程是－y2＝1.
方法二：
设双曲线方程为mx2－ny2＝1，由双曲线经过A（4，－），B
可得解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
（2）设双曲线方程为－＝1
∵c＝，∴6＝a2＋b2①又∵双曲线经过点（－5,2），∴－＝1②
由①②得：
或（舍）
∴双曲线方程为－＝1.
[题后感悟] 双曲线标准方程的求解步骤：
变式训练：
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）a＝3，c＝4，焦点在x轴上．
（2）a＝2，经过点A（2，－5），焦点在y轴上．
（3）焦点分别为F1（－10,0）、F2（10,0），且经过点（3，－4）．
（4）焦点在y轴上，并且双曲线过点（3，－4）和.
解析：
（1）由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
（2）因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程可设为－＝1（a>0，b>0）．
由题设知，a＝2，且点A（2，－5）在双曲线上，所以，解得a2＝20，b2＝16.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
（3）由题设知双曲线的焦点在x轴上，且c＝10.所以可设它的标准方程为－＝1（a>0，b>0）．
从而将双曲线的标准方程化为－＝1，
将点（3，－4）代入并化简整理，得b4－39b2－1600＝0，解得b2＝64或b2＝－25（舍去），
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
（4）由已知可设所求双曲线方程为－＝1（a>0，b>0），
则，解得
∴双曲线的方程为－＝1.
题型二、双曲线定义的应用
例2－1、已知定点F1（0，－4），F2（0,4），动点M满足|MF1|－|MF2|＝2a，当a＝3和a＝4时，点M的轨迹为（ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线的一支和一条直线
C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支和一条射线
[解题过程] 由已知，|F1F2|＝8.
当a＝3时，|MF1|－|MF2|＝6<|F1F2|，故点M的轨迹是双曲线的一支
当a＝4时，|MF1|－|MF2|＝8＝|F1F2|，故点M的轨迹是一条射线F1F2
答案：
D
[题后感悟] 如何判断动点的轨迹？
（1）由已知条件，判断2a与|F1F2|的大小关系，大致确定动点的轨迹是双曲线或射线等；
（2）再据|MF1|－|MF2|＝2a有无绝对值，准确确定动点轨迹的特征．
变式训练：
2－1.已知点F1（0，－13），F2（0,13），动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为
A．y＝0 B．y＝0（x≤－13或x≥13） C．x＝0（|y|≥13） D．以上都不对
答案：
C
例2－2、若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[思路点拨]
[规范作答] 由双曲线方程－＝1，可知a＝3，b＝4，c＝＝5.
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a＝±6，将此式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
[题后感悟]
在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用．
变式训练：
2－2.设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．
解析：
在双曲线－y2＝1中，a2＝4，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5，∴a＝2，c＝.
由于点P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝±4.①
∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝20.②
②－①2得，2|PF1|·|PF2|＝4，∴|PF1|·|PF2|＝2，
∴△F1PF2的面积是S＝|PF1||PF2|＝1.
（想一想：
若改为“∠F1PF2＝60°”呢？
）
题型三、求与双曲线相关的轨迹方程
例3、求与两个定圆C1：
x2＋y2＋10x－24＝0和C2：
x2＋y2－10x＋24＝0都外切或者都内切的动圆的圆心的轨迹方程．
[思路点拨]
[解题过程] ⊙C1：
（x＋5）2＋y2＝49⇒C1（－5,0），r1＝7，
⊙C2：
（x－5）2＋y2＝1⇒C2（5,0），r2＝1，
设动圆圆心为M（x，y），半径为R，
（1）如图①，当⊙M与⊙C1、⊙C2都外切时，
有|MC1|＝r1＋R，|MC2|＝r2＋R， 则|MC1|－|MC2|＝r1－r2＝6.
（2）如图②，当⊙M与⊙C1、⊙C2都内切时，
有|MC1|＝R－r1，|MC2|＝R－r2.，则|MC1|－|MC2|＝r2－r1＝－6.
在
（1）
（2）两种情况下，点M与两定点C1、C2的距离的差的绝对值是6，由双曲线的定义，点M的轨迹是以C1（－5,0），C2（5,0）为焦点实轴长为6的双曲线，c＝5，a＝3⇒b＝＝＝4，
方程为：
－＝1.
[题后感悟]
（1）本题是利用定义求动点的轨迹方程的，当判断出动点的轨迹是双曲线，且可求出a，b时，就可直接写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简．
（2）由于动点M到两定点C2，C1的距离的差的绝对值为常数，因此，其轨迹是双曲线．
变式训练：
4．如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足
2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
解析：
如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，
建立直角坐标系，则A（－2，0），B（2，0）．
由正弦定理得sinA＝，sinB＝，sinC＝.
∵sinB－sinA＝sinC，∴b－a＝.从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.所以顶点C的轨迹方程为－＝1（x>）．
故C点的轨迹为双曲线的右支且除去点（，0）．
[疑难解读]
1．双曲线定义中注意的三个问题
（1）注意定义中的条件2a＜|F1F2|不可缺少．
若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；
若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在．
（2）注意定义中的常数2a是小于|F1F2|且大于0的实数．若a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
（3）注意定义中的关键词“绝对值”.若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支．
2．待定系数法求双曲线标准方程的步骤
（1）作判断：
根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
（2）设方程：
根据上述判断设方程为－＝1或－＝1（a＞0
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