新课预习讲义选修2-1第二章双曲线(1)双曲线及其标准方程(教师版).doc

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新课预习讲义

选修2-1:

第二章§2.3双曲线

(一)

§2.3.1双曲线及其标准方程

●学习目标

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.

2.掌握双曲线的标准方程.

3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.

●学习重点:

1.本节的重点是双曲线的定义,因此与双曲线定义有关的问题就成了考查的重点.

2.定义法、待定系数法求双曲线的标准方程,也是重点考查的.

●学习难点

1.难点是双曲线的标准方程的推导.

2.在双曲线的定义的问题中会与三角函数、向量、不等式的内容相结合出现.

一、自学导航

●知识回顾:

复习1:

椭圆的定义是什么?

椭圆的标准方程是什么?

复习2:

椭圆的标准方程分哪两种不同形式?

怎样区分?

复习3:

在椭圆的标准方程中,有何关系?

若,则

●预习教材:

第52页——第55页的内容。

●自主梳理:

1.双曲线的定义是_________________________________________________

2.双曲线的标准方程是_____________________________________________

●预习检测:

1.点F1,F2是两个定点,动点P满足||PF1|-|PF2||=2a(a为非负常数),则动点P的轨迹是(  )

A.两条射线     B.一条直线

C.双曲线  D.前三种情况都有可能

答案:

 D

2.已知方程-=1表示双曲线,则实数k的取值范围是(  )

A.-40      C.k≥0 D.k>4或k<-4

解析:

 ∵-=1表示双曲线,∴(4+k)(4-k)>0,∴(k+4)(k-4)<0,∴-4

 A

3.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值是________.

解析:

 依题意:

解得a=1.答案:

 1

4.求与双曲线-=1有相同的焦点,且经过点(3,2)的双曲线方程.

解析:

 ∵所求双曲线与-=1有相同的焦点,∴双曲线的焦点为(±2,0)

设所求双曲线方程为-=1.

∵双曲线经过点(3,2),∴-=1,解得a2=12.  ∴所求双曲线的方程为-=1.

●问题与困惑:

二、互动探究

●问题探究:

探究1:

把椭圆定义中的“和”字改成“差”字,所得的轨迹是什么曲线?

探究2:

根据双曲线的定义,怎样导出双曲线的标准方程的?

探究3:

双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别?

、、之间的关系有何不同?

探究4:

怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程?

它与椭圆的区分方法有何不同?

●基础知识归纳:

1.双曲线的定义

把平面内与两个定点F1,F2的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这叫做双曲线的焦点,叫做双曲线的焦距.

反思

(1):

设常数为,为什么?

时,轨迹是;

时,轨迹.

   反思

(2):

双曲线的定义中,为什么要加“绝对值”三个字?

没有“绝对值”三个字呢?

2.双曲线的标准方程

焦点在轴上

焦点在轴上

标准方程

焦点

的关系

小结:

双曲线的标准方程与椭圆的标准方程的区别:

1.焦点位置的判定:

椭圆由分母常数的大小判定,双曲线由各项前面的符号判定

2.、、之间的关系:

椭圆是,双曲线是(记忆方法:

椭圆的焦点在顶点之内,所有;双曲线焦点在顶点之外,所有)

●典例导析:

题型一、求双曲线的标准方程

例1、根据下列条件,求双曲线的标准方程.

(1)双曲线中心在原点,焦点在坐标轴上,且过点A(4,-),B;

(2)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上.

[思路点拨]

1.找出两个定量条件和定位条件,由定量条件求、的值(注意应用);由定位条件确定焦点所在的位置.

2.常用待定系数法.

[解题过程] 

(1)方法一:

①当焦点在x轴上时,

设双曲线标准方程为-=1(a>0,b>0).由于双曲线过点A(4,-),B,

∴解得∴所求双曲线标准方程是-y2=1.

②当焦点在y轴上时,设双曲线标准方程为-=1(a>0,b>0).

则解得不合题意,舍去.

综上所述,双曲线的标准方程是-y2=1.

方法二:

设双曲线方程为mx2-ny2=1,由双曲线经过A(4,-),B

可得解得

∴所求双曲线的标准方程为-y2=1.

(2)设双曲线方程为-=1

∵c=,∴6=a2+b2①又∵双曲线经过点(-5,2),∴-=1②

由①②得:

或(舍)  

∴双曲线方程为-=1.

[题后感悟]  双曲线标准方程的求解步骤:

变式训练:

1.求适合下列条件的双曲线的标准方程:

(1)a=3,c=4,焦点在x轴上.

(2)a=2,经过点A(2,-5),焦点在y轴上.

(3)焦点分别为F1(-10,0)、F2(10,0),且经过点(3,-4).

(4)焦点在y轴上,并且双曲线过点(3,-4)和.

解析:

 

(1)由题设知,a=3,c=4,由c2=a2+b2得b2=c2-a2=42-32=7.

因为双曲线的焦点在x轴上,所以所求双曲线的标准方程为-=1.

(2)因为双曲线的焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程可设为-=1(a>0,b>0).

由题设知,a=2,且点A(2,-5)在双曲线上,所以,解得a2=20,b2=16.

故所求双曲线的标准方程为-=1.

(3)由题设知双曲线的焦点在x轴上,且c=10.所以可设它的标准方程为-=1(a>0,b>0).

从而将双曲线的标准方程化为-=1,

将点(3,-4)代入并化简整理,得b4-39b2-1600=0,解得b2=64或b2=-25(舍去),

故所求双曲线的标准方程为-=1.

(4)由已知可设所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0),

则,解得

∴双曲线的方程为-=1.

题型二、双曲线定义的应用

例2-1、已知定点F1(0,-4),F2(0,4),动点M满足|MF1|-|MF2|=2a,当a=3和a=4时,点M的轨迹为(  )

A.双曲线和一条直线       B.双曲线的一支和一条直线

C.双曲线和一条射线      D.双曲线的一支和一条射线

[解题过程] 由已知,|F1F2|=8.

当a=3时,|MF1|-|MF2|=6<|F1F2|,故点M的轨迹是双曲线的一支

当a=4时,|MF1|-|MF2|=8=|F1F2|,故点M的轨迹是一条射线F1F2

答案:

 D

[题后感悟] 如何判断动点的轨迹?

(1)由已知条件,判断2a与|F1F2|的大小关系,大致确定动点的轨迹是双曲线或射线等;

(2)再据|MF1|-|MF2|=2a有无绝对值,准确确定动点轨迹的特征.

变式训练:

2-1.已知点F1(0,-13),F2(0,13),动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26,则动点P的轨迹方程为

A.y=0 B.y=0(x≤-13或x≥13)  C.x=0(|y|≥13) D.以上都不对

答案:

 C

例2-2、若F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,P是双曲线上的点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积.

[思路点拨]

[规范作答] 由双曲线方程-=1,可知a=3,b=4,c==5.

由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=±2a=±6,将此式两边平方,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,

∴|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.

如图所示,在△F1PF2中,由余弦定理,得

cos∠F1PF2===0,

∴∠F1PF2=90°,

∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|=×32=16.

[题后感悟] 

在解决与焦点三角形有关的问题的时候,首先要注意定义条件||PF1|-|PF2||=2a的应用.其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算.在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用.

变式训练:

2-2.设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.

解析:

 在双曲线-y2=1中,a2=4,b2=1,∴c2=a2+b2=5,∴a=2,c=.

由于点P在双曲线上,所以|PF1|-|PF2|=±4.①

∵∠F1PF2=90°,∴|PF1|2+|PF2|2=20.②

②-①2得,2|PF1|·|PF2|=4,∴|PF1|·|PF2|=2,

∴△F1PF2的面积是S=|PF1||PF2|=1.

  (想一想:

若改为“∠F1PF2=60°”呢?

题型三、求与双曲线相关的轨迹方程

例3、求与两个定圆C1:

x2+y2+10x-24=0和C2:

x2+y2-10x+24=0都外切或者都内切的动圆的圆心的轨迹方程.

[思路点拨]

[解题过程] ⊙C1:

(x+5)2+y2=49⇒C1(-5,0),r1=7,

⊙C2:

(x-5)2+y2=1⇒C2(5,0),r2=1,

设动圆圆心为M(x,y),半径为R,

(1)如图①,当⊙M与⊙C1、⊙C2都外切时,

有|MC1|=r1+R,|MC2|=r2+R,  则|MC1|-|MC2|=r1-r2=6.

(2)如图②,当⊙M与⊙C1、⊙C2都内切时,

有|MC1|=R-r1,|MC2|=R-r2.,则|MC1|-|MC2|=r2-r1=-6.

(1)

(2)两种情况下,点M与两定点C1、C2的距离的差的绝对值是6,由双曲线的定义,点M的轨迹是以C1(-5,0),C2(5,0)为焦点实轴长为6的双曲线,c=5,a=3⇒b===4,

方程为:

-=1.

[题后感悟] 

(1)本题是利用定义求动点的轨迹方程的,当判断出动点的轨迹是双曲线,且可求出a,b时,就可直接写出其标准方程,而无需用距离公式写出方程,再通过复杂的运算进行化简.

(2)由于动点M到两定点C2,C1的距离的差的绝对值为常数,因此,其轨迹是双曲线.

变式训练:

4.如图所示,在△ABC中,已知|AB|=4,且三内角A,B,C满足

2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.

解析:

 如图所示,以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,

建立直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0).

由正弦定理得sinA=,sinB=,sinC=.

∵sinB-sinA=sinC,∴b-a=.从而有|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|.

由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支.

∵a=,c=2,∴b2=c2-a2=6.所以顶点C的轨迹方程为-=1(x>).

故C点的轨迹为双曲线的右支且除去点(,0).

[疑难解读]

1.双曲线定义中注意的三个问题

(1)注意定义中的条件2a<|F1F2|不可缺少.

若2a=|F1F2|,则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线;

若2a>|F1F2|,则动点的轨迹不存在.

(2)注意定义中的常数2a是小于|F1F2|且大于0的实数.若a=0,则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.

(3)注意定义中的关键词“绝对值”.若去掉定义中的“绝对值”三个字,则动点的轨迹只能是双曲线的一支.

2.待定系数法求双曲线标准方程的步骤

(1)作判断:

根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能.

(2)设方程:

根据上述判断设方程为-=1或-=1(a>0

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