数学：初高中知识衔接及高中数学学习方法(新高一暑假预习课程--数学必修1：集合与函数)-讲义.doc
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简单学习网课程讲义
学科：
数学
专题：
初高中知识衔接及高中数学学习方法
主讲教师：
黎宁北京陈经纶中学数学高级教师
北京市海淀区上地东路1号盈创动力大厦E座702B
免费咨询电话4008-110-818
总机：
010-58858883
主要考点梳理
因式分解
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具有一定的灵活性和技巧性，初中已经研究了因式分解的概念和几种因式分解的基本方法。
这里主要是在初中教材已经介绍过基本方法的基础上，重点补充十字相乘法。
1.因式分解的概念
把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解（或分解因式）。
因式分解时，应注意以下几点：
（1）在指定的数集内进行因式分解，多项式一定要分解到不能分解为止，即因式的次数最低。
（2）因式分解后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，同时要把各个因式化简。
2.因式分解的基本方法
（1）提公因式法，即把各项的公因式提出来，如：
。
（2）运用公式法，即逆用乘法公式。
乘法公式：
（3）分组分解法，即将多项式的项适当分组，提出各组的公因式或应用公式分解；下一步能够再进行分解，这种方法才可行。
（4）求根法，如果是的两个根，则二次三项式。
（5）十字相乘法
在分解时，把二次项、常数项分别分解成两个数的积，并使它们交叉相乘的积的和等于一次项。
二次项 常数项
一次项
对于形式的多项式，如果,且，则多项式可因式分解为。
即
一元二次方程
1.求根公式
对于一元二次方程，当时，它的解为，我们把这个公式叫做求根公式。
2.根的判别式
叫做一元二次方程根的判别式。
当时，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。
3.根与系数的关系
如果一元二次方程的两根为，那么，，这就是根与系数的关系，也称为韦达定理。
反过来，如果满足，，则是一元二次方程的两个根．
条件：
△≥0。
二次函数
二次函数是初中学过的内容，但它在高中学习中起到非常重要的作用，贯穿高中全部学习过程。
（1）定义：
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
（2）抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
（3）求抛物线的顶点、对称轴的方法
①公式法：
，
∴顶点是，对称轴是直线.
②配方法：
运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为（,），对称轴是直线.
（4）直线与抛物线的交点
①轴与抛物线得交点为（0,）.
②抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
有两个交点抛物线与轴相交；
有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
没有交点抛物线与轴相离.。
二次函数的图像与性质如下表（x为任意实数）：
解析式
图像
对称轴
顶点坐标
最值
O
最小值
最大值
x
y
y>0
y>0
y<0
一元二次不等式解法
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数又有什么关系呢？
先看一个实例：
解不等式。
考虑二次函数，
解集为{x|或}
上例表明，二次函数图像与x轴的交点的横坐标，既是对应的一元二次方程的解，也是对应的一元二次不等式的解集端点。
它们之间的关系如下表：
二次函数
的图像
x
y
O
y>0
y>0
y<0
x
y
O
x
y
O
一元二次方程的根
，
无解
一元二次不等式的解集
全体实数
一元二次不等式的解集
空集
空集
以上说明解一元二次不等式或时，可以通过求出对应的方程的根，再根据图像（抛物线）的位置写出该不等式的解集。
对于二次项系数是负数（即）的不等式，可以先把二次项系数化为正数，在求解。
也可以画出开口向下的抛物线，根据它的位置，写出它的解集。
金题精讲
题一
题面：
把下式因式分解
题二
题面：
把下式因式分解
题三
题面：
把下式因式分解
题四
题面：
把下式因式分解
题五
题面：
把多项式分解因式。
题六
题面：
把多项式分解因式。
题七
题面：
已知二次方程的两根分别为，求：
（1）；
（2）；（3）.
讲义参考答案
金题精讲
题一
答案：
题二
答案：
（化成次数最低）法二：
题三
答案：
题四
答案
题五
答案：
原式＝.
题六
答案：
原式＝.
题七
答案：
解：
由韦达定理知：
.
（1）
（2）；
（3）
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