数学归纳法的应用习题.doc

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第2课时　数学归纳法的应用

1．利用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1（n∈N*，且n≥2）时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是

（　　）．

A．增加了这一项

B．增加了和两项

C．增加了和两项，同时减少了这一项

D．以上都不对

解析　不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左端为＋＋＋…＋＋＋，对比两式，可得结论．

答案　C

2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是

（　　）．

A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确

B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确

C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确

D．假使n≤k（k≥1），再推n＝k＋2时正确（以上k∈N*）

解析　因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第（k＋1）个正奇数即n＝2k＋1正确．

答案　B

3．已知平面内有n条直线（n∈N*），设这n条直线最多将平面分割成f（n）个部分，则f（n＋1）等于

（　　）．

A．f（n）＋n－1 B．f（n）＋n

C．f（n）＋n＋1 D．f（n）＋n＋2

解析　要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f（n＋1）比f（n）多了n＋1部分．

答案　C

4．已知Sn＝＋＋＋…＋，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________.

解析　分别将1,2,3,4代入观察猜想Sn＝.

答案　　　　　

5．用数学归纳法证明“当n为正偶数时xn－yn能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．

解析　因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除．

答案　2　x2k－y2k能被x＋y整除

6．用数学归纳法证明：

1＋＋＋…＋＜2－（n≥2）．

证明：

（1）当n＝2时，1＋＝＜2－＝，命题成立．

（2）假设当n＝k时命题成立，即1＋＋＋…＋＜2－，当n＝k＋1时，

1＋＋＋…＋＋＜2－＋＜2－＋＝2－＋－＝2－，命题成立．

由

（1）、

（2）知原不等式在n≥2时均成立．

7．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>（n∈N*）的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是

（　　）．

A．增加了一项

B．增加了两项和

C．增加了B中的两项，但又减少了一项

D．增加了A中的一项，但又减少了一项

解析　当n＝k时，不等式左边为＋＋…＋，

当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋…＋＋＋.

答案　C

8．命题P（n）满足：

若n＝k（k∈N*）成立，则n＝k＋1成立，下面说法正确的是（　　）．

A．P（6）成立则P（5）成立

B．P（6）成立则P（4）成立

C．P（4）成立则P（6）成立

D．对所有正整数n，P（n）都成立

解析　由题意知，P（4）成立，则P（5）成立，若P（5）成立，则P（6）成立．所以P（4）成立，则P（6）成立．

答案　C

9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n（na－b）＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为________．

解析　∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即：

整理得解得a＝，b＝c＝.

答案　a＝，b＝c＝

10．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝（n∈N*），依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为________．

解析　a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜测an＝.

答案　an＝

11．求证：

1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n.

证明　

（1）当n＝1时，f

（1）＝1＋，原不等式成立；

（2）设n＝k（k∈N*）时，原不等式成立

即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k成立，

当n＝k＋1时，

f（k＋1）＝f（k）＋＋＋…＋≥1＋＋＋＋…＋>1＋＋

＝1＋＋＝1＋，

f（k＋1）＝f（k）＋＋＋…＋≤＋k＋＋＋…＋<＋k＋

∴f（k＋1）<＋（k＋1）即n＝k＋1时，命题成立．

综合

（1）、

（2）可得：

原命题对n∈N*恒成立．

12．（创新拓展）数列{an}满足Sn＝2n－an，n∈N*，先计算前4项后猜想an，并用数学归纳法证明．

证明　当n＝1时，S1＝2－a1，∴a1＝1，

n＝2时，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝，

n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝，

n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝.

∴猜想an＝.

用数学归纳法证明：

①当n＝1时，a1＝1，猜想成立，

②假设n＝k时猜想成立，即ak＝成立．

那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝2（k＋1）－ak＋1＝Sk＋ak＋1＝2k－ak＋ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak＝2＋＝，

∴ak＋1＝，即n＝k＋1时猜想成立．

由①②可知，对n∈N*猜想均成立．