数列通项公式经典例题解析.doc

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求数列通项公式

一、公式法

类型1

解法：

把原递推公式转化为，利用累加法（逐差相加法）求解。

例1已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：

两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。

练习题：

1.已知数列满足，求数列的通项公式。

2.已知数列满足，，求

例2已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

由得则

所以数列的通项公式为。

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

二、累乘法

类型2

解法：

把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解。

例3已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

因为，所以，则，故

所以数列的通项公式为

评注：

本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例4已知数列满足，求的通项公式。

解：

因为 ①

所以 ②

用②式－①式得

则

故

所以

由，，则，又知，则，代入③得。

所以，的通项公式为

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。

练习题：

1.已知数列满足，，求

2.已知，，求

三、待定系数法

类型3（其中p，q均为常数，）。

解法（待定系数法）：

把原递推公式转化为：

，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例5已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

设

将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤

由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

练习题1已知数列满足，求数列的通项公式。

练习题2已知数列满足，求数列的通项公式。

过关练习：

1已知数列中，，，求

2在数列中，若，则该数列的通项_______________

四、数学归纳法

例6已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

由及，得

由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。

（1）当时，，所以等式成立。

（2）假设当时等式成立，即，则当时，

由此可知，当时等式也成立。

根据

（1），

（2）可知，等式对任何都成立。

评注：

本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。

其他类型

类型4（其中p，q均为常数，）。

（或,其中p，q,r均为常数）。

解法：

一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：

引入辅助数列（其中），得：

再待定系数法解决。

课后练习题已知数列中，,，求。

类型5递推公式为与的关系式。

（或）

解法：

这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。

课后练习题已知数列前n项和.

（1）求与的关系；

（2）求通项公式.

类型6

解法：

这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。

课后练习题设数列：

，求.

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