必修五第一章余弦定理.doc
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必修五第一章余弦定理
一.选择题(共16小题)
1.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2﹣b2)tanB=ac,则角B的值是( )
A. B. C.或 D.或
2.在△ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,若,则c的值为( )
A. B. C. D.6
3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=acosA﹣ccosB+,且b=2,则a的最小值为( )
A. B. C. D.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若S=,则∠A=( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
5.如图,在△ABC中,D是AB边上的点,且满足AD=3BD,AD+AC=BD+BC=2,CD=,则cosA=( )
A. B. C. D.0
6.如图,圆O是△ABC的外接圆,过点C的切线交AB的延长线于D,CD=2,AB=BC=3,则( )
A.BD=4,AC=3 B.BD=4,AC= C.BD=3,BD= D.BD=,AC=4
7.如图在△ABC中,D是AC边上的点且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD.则cosC的值( )
A. B. C. D.
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且a2=c2+ac﹣bc,则=( )
A. B. C. D.
9.△ABC的三内角A,B,C所对边长分别是a,b,c,若=,则角B的大小为( )
A. B. C. D.
10.如图,三角形ABC中,AB=1,,以C为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD,当∠ABC变化时,线段BD的长度最大值为( )
A. B. C. D.
11.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且a2=3b2+3c2﹣2bcsinA,则C的值为( )
A. B. C. D.
12.已知在△ABC中,b2+a2﹣c2<0,且b>a,sinA+cosA=,则tanA=( )
A.或 B. C. D.或
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足≥1,则角B的取值范围是( )
A.(0,] B.(0,] C.[) D.[)
14.在△ABC中,S为△ABC的面积,且,则tanB+tanC﹣2tanBtanC=( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
15.在△ABC中,若﹣sinAsinB<sin2A+sin2B﹣sin2C<﹣sinAsinB,则△ABC的形状是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
16.如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,且•=0,sin∠BAC=,AB=3,BD=,则cosC=( )
A. B. C. D.
二.填空题(共4小题)
17.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,b=6,且,O为△ABC内一点,且满足,则= .
18.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若其面积S=b2sinA,角A的平分线AD交BC于D,,,则b= .
19.锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则取值范围是 .
20.在△ABC中,4a+2b+3c=,其中a,b,c分别为角A,B,C所对应的三角形的边长,则cosB= .
三.解答题(共6小题)
21.如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=4,b=2,2ccosC=b,D,E分别为线段BC上的点,且BD=CD,∠BAE=∠CAE.
(1)求线段AD的长;
(2)求△ADE的面积.
22.如图,在锐角△ABC中,,,BC=6,点D在边BC上,且BD=2DC,点E在边AC上,且BE⊥AC,BE交AD于点F.
(Ⅰ)求AC的长;
(Ⅱ)求cos∠DAC及AF的长.
23.△ABC内接于半径为R的圆,a,b,c分别是A,B,C的对边,且2R(sin2B﹣sin2A)=(b﹣c)sinC,c=3.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若AD是BC边上的中线,,求△ABC的面积.
24.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足:
①△ABC的外心在三角形内部(不包括边);②(b2﹣a2﹣c2)sin(B+C)=.
(1)求A的大小;
(2)求代数式的取值范围.
25.△ABC的内角为A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求sin(A+B)+sinAcosA+cos(A﹣B)的最大值;
(2)若,当△ABC的面积最大时,△ABC的周长;
26.四边形ABCD如图所示,已知AB=BC=CD=2,AD=2.
(1)求cosA﹣cosC的值;
(2)记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2,求S12+S22的最大值.
2018年05月07日必修五第一章余弦定理
参考答案与试题解析
一.选择题(共16小题)
1.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2﹣b2)tanB=ac,则角B的值是( )
A. B. C.或 D.或
【分析】由余弦定理化简条件得2ac•cosB•tanB=ac,再根据同角三角函数的基本关系得sinB=,从而求得角B的值.
【解答】解:
∵在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,(a2+c2﹣b2)tanB=ac,
∴2ac•cosB•tanB=ac,∴sinB=,B=或B=,
故选:
D.
【点评】本题考查余弦定理的应用,同角三角函数的基本关系,以及根据三角函数值及角的范围求角的大小.
2.在△ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,若,则c的值为( )
A. B. C. D.6
【分析】根据题意,由三角恒等变形公式分析:
2cos2﹣cos2C=1⇔2cos2C+cosC﹣1=0,解可得cosC的值,又由4sinB=3sinA以及a﹣b=1,计算可得a、b的值,由余弦定理计算可得答案.
【解答】解:
根据题意,△ABC中,2cos2﹣cos2C=1,变形可得2cos2﹣1=cos2C,
则有cos2C+cosC=0,即2cos2C+cosC﹣1=0,
解可得cosC=或cosC=﹣1(舍),
又由4sinB=3sinA,则有4b=3a,
又由a﹣b=1,
则a=4,b=3,
则c2=a2+b2﹣2abcosC=16+9﹣12=13,
则c=,
故选:
A.
【点评】本题考查三角形中的几何计算,关键是求出cosC的值.
3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=acosA﹣ccosB+,且b=2,则a的最小值为( )
A. B. C. D.
【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用,正弦定理化简已知等式可得sinA=5sinAcosA,结合sinA>0,可得:
cosA=,由余弦定理可得:
a=,利用二次函数的性质可求其最小值.
【解答】解:
∵=acosA﹣ccosB+,且b=2,
∴=acosA﹣ccosB+,可得:
2cosC=5acosA﹣ccosB,即:
bcosC=5acosA﹣ccosB,
∴sinBcosC+sinCcosB=5sinAcosA,可得:
sin(B+C)=sinA=5sinAcosA,
∵A为三角形内角,sinA>0,可得:
cosA=,
∴由余弦定理可得:
a===,
∴可得:
当c=时,a的最小值为.
故选:
A.
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦定理,余弦定理,二次函数的性质在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若S=,则∠A=( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
【分析】根据三角形的面积公式可得S=bcsinA=(b2+c2﹣a2),利用此关系式表示出sinA,根据余弦定理表示出cosA,发现两关系式相等,得到tanA,根据A的范围利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数.
【解答】解:
由已知得:
S=bcsinA=(b2+c2﹣a2)
可得:
sinA=,
由余弦定理可得:
cosA=,
所以tanA=1,
又A∈(0°,180°),
则A=45°.
故选:
C.
【点评】此题考查学生灵活运用三角形的面积公式及余弦定理化简求值,是一道基础题.
5.如图,在△ABC中,D是AB边上的点,且满足AD=3BD,AD+AC=BD+BC=2,CD=,则cosA=( )
A. B. C. D.0
【分析】设BD=x,可求AD=3x,AC=2﹣3x,BC=2﹣x,由cos∠ADC=﹣cos∠BDC,利用余弦定理可得x的值,进而可求AD,AC的值,由余弦定理可求cosA的值.
【解答】解:
设BD=x,则AD=3x,AC=2﹣3x,BC=2﹣x,
易知:
cos∠ADC=﹣cos∠BDC,
由余弦定理可得:
=﹣,
解得:
x=,
故:
AD=1,AC=1,
∴cosA==0.
故选:
D.
【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,考查了数形结合思想,属于基础题.
6.如图,圆O是△ABC的外接圆,过点C的切线交AB的延长线于D,CD=2,AB=BC=3,则( )
A.BD=4,AC=3 B.BD=4,AC= C.BD=3,BD= D.BD=,AC=4
【分析】由题意利用切割线定理求得BD,利用余弦定理求得cosA的值,再利用直角三角形中的边角关系,求得AC的值.
【解答】解:
由切割线定理可得CD2=DA•BD,又CD=2,AB=3,可求得BD=4.
在△BCD中,由余弦定理求得cos∠BCD==.
又∠BCD=∠A,∴cosA=,∴AC=2AB•cosA=,
故选:
B.
【点评】本题主要考查切割线定理、直角三角形中的边角关系,余弦定理的应用,属于中档题.
7.如图在△ABC中,D是AC边上的点且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD.则cosC的值( )
A. B. C. D.
【分析】不妨设BD=2,则BC=4,AB=AD=3.在△ABD中,由余弦定理可得:
cosA=,可得sinA=.在△ABC中,由正弦定理可得:
=,即可得出.
【解答】解:
不妨设BD=2,则BC=4,AB=AD=3.
在△ABD中,由余弦定理可得:
cosA==,
∵B∈(0,π),∴sinA==.
在△ABC中,由正弦定理可得:
=,
可得:
sinC==,C为锐角,∴cosC=.
故选:
C.
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且a2=c2+ac﹣bc,则=( )
A. B. C. D.
【分析】由等比数列的性质可得b2=ac,由余弦定理可得cosA=,结合A∈(0,π),可得:
A=,由正弦定理可得sinB=,即可计算得解.
【解答】解:
∵a,b,c成等比数列,
∴b2=ac,
∵a2=c2+ac﹣bc=c2+b2﹣bc,可得:
b2+c2﹣a2=bc,
∴由余弦定理可得:
cosA===,
∴由A∈(0,π),可得:
A=,
∴由正弦定理可得:
=,可得:
sinB=,
∴==.
故选:
A.
【点评】本题主要考查了等比数列的性质,余弦定理,正弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
9.△ABC的三内角A,B,C所对边长分别是