高中数学模块综合测评新人教A版选修41Word文档格式.docx
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,
∴,故B成立;
∵,∴AC∥A'
∴,故C不成立;
故D不成立.
答案:
B
2.已知△ABC的一边在平面α内,一顶点在平面α外,则△ABC在面α内的射影是（ ）
A.三角形B.一直线
C.三角形或一直线D.以上均不正确
当△ABC所在平面平行于投影线时,射影是一线段;
不平行时,射影是三角形,故选D.
D
3.已知平面β与一圆柱斜截口（椭圆）的离心率为,则平面β与圆柱母线的夹角是（ ）
A.30°
B.60°
C.45°
D.90°
设平面β与母线夹角为φ,则cosφ=,故φ=45°
.
C
4.
如图,在☉O中,弦AB与弦CD相交于点P,∠B=38°
∠APD=80°
则∠A等于（ ）
A.38°
B.42°
C.80°
D.118°
∵∠B=38°
∴∠D=∠APD-∠B=80°
-38°
=42°
∴∠A=∠D=42°
5.
如图,在△ABC中,∠C=90°
CD⊥AB,D为垂足,若CD=6cm,AC∶BC=1∶,则AD的长是（ ）
A.6cmB.3cmC.18cmD.3cm
∵AC∶BC=1∶,AC2=AD·
AB,BC2=BD·
AB,∴AD∶DB=1∶2,∴可设AD=tcm,DB=2tcm,又CD2=AD·
DB,∴36=t·
2t,∴2t2=36,∴t=3,即AD=3cm.
6.已知三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形,则这个三角形是（ ）
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似.
7.
如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过点C作圆的切线l,过点A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC=（ ）
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
连接OC,因为AB为圆O的直径,所以∠ACB=90°
.因为BC=3,AB=6,所以△OBC为正三角形,所以∠B=60°
所以∠DCA=60°
.因为AD⊥CD,所以∠ADC=90°
所以∠DAC=30°
8.导学号52574058如图,球O与圆柱的上、下底面以及侧面均相切,用一平面去截圆柱和球,得到的截面图有可能是（ ）
A.①②④B.①②③C.②③④D.①②③④
如图,连接AB,AB为圆柱的轴,当平面与AB垂直且过AB中点时,截得图形是图①;
当平面与AB垂直不过AB中点时,截得图形是两个同心圆,是图②;
当平面经过轴AB时,截得的图形是图③;
当平面与轴AB不垂直且平面与圆柱的侧面有交线时,截得的图形是图④,故有可能的图形是①②③④.
9.
如图,PAB,PCD为☉O的两条割线.若PA=5,AB=7,CD=11,则AC∶BD等于（ ）
A.1∶3B.5∶12
C.5∶7D.5∶11
由割线定理,得PA·
PB=PC·
PD,∴5×
（5+7）=PC·
（PC+11）,∴PC=4或PC=-15（舍去）.
又PA·
PD,即,∠P=∠P,
∴△PAC∽△PDB,故.
A
10.
如图,两个等圆☉A,☉B分别与直线l相切于点C,D,连接AB,与直线l相交于点O,∠AOC=30°
连接AC,BD.若AB=4,则圆的半径为（ ）
A.2B.1C.D.
因为两个等圆☉A,☉B分别与直线l相切于点C,D,所以AC⊥CD,BD⊥CD,AC=BD,所以∠ACO=∠BDO=90°
因此△ACO≌△BDO,所以AO=BO=AB=×
4=2.又因为∠AOC=30°
所以AC=AO=1.
11.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1,则长轴长的最小值为（ ）
A.B.2C.D.2
作出如图图形,在椭圆上取一点P（x,y）,设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则·
2c·
|y|=c|y|.
当点P为短轴顶点时,|y|最大为b.所以Smax=bc.又bc=1,
所以a2=b2+c2≥2bc=2,即2a≥2.
12.
如图,在△ABC中,,AD,BE交于F,则的值为（ ）
A.B.C.D.
过D作DG∥BE交AC于G.
∵,∴,
∴,于是DG=BE.又,∴EG=EC.而,
∴EC=AE,因此,于是FE=DG=BE=BE,则,故.
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13.若一个直角三角形在平面α上的平行射影是一个与原三角形全等的直角三角形,则该直角三角形所在平面与平面α的位置关系是 .
平行
14.
如图,☉O中的弦AB与直径CD相交于P,M为DC延长线上一点,MN为☉O的切线,N为切点.若AP=8,PB=6,PD=4,MC=6,则MN的长为 .
由相交弦定理,得CP·
PD=AP·
PB,
所以CP==12.又由切割线定理,得MN2=MC·
MD=6×
22,故MN=2.
2
15.已知一平面与半径为4的圆柱面相截,截面的Dandelin双球的球心距离为12,则截线椭圆的离心率e= .
依题意,得Dandelin双球球心距离即为圆柱母线长,即2a=12,所以a=6,又b=r=4,因此c==2,故椭圆的离心率e=.
16.
如图,在正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且,AE=BE,DE=3,则BD= .
∵△ABC是正三角形,∴AB=BC=AC,
∴.又,∴.
∴.∵∠A=∠C=60°
∴△AED∽△CBD,且DE=3,则BD=6.
6
三、解答题（本大题共6小题,共70分）
17.（本小题满分10分）
如图,已知DE∥BC,四边形DEFG是平行四边形.求证:
AH∥DG.
证明:
∵DE∥BC,∴.
∵GF∥DE,∴GF∥BC,
∴.
∵GF=DE,∴,∴,∴AH∥DG.
18.（本小题满分12分）
如图,自圆O外一点P引圆的一条切线PA,切点为A,M为PA的中点,过点M引圆O的割线交该圆于B,C两点,且∠BMP=100°
∠BPC=40°
求∠MPB的大小.
解:
因为MA为圆O的切线,所以MA2=MB·
MC.
又M为PA的中点,所以MP2=MB·
因为∠BMP=∠PMC,所以△BMP∽△PMC,
于是∠MPB=∠MCP.
在△MCP中,由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°
解得∠MPB=20°
19.（本小题满分12分）
如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°
F在AC上,且AE=AF.
（1）B,D,H,E四点共圆;
（2）CE平分∠DEF.
（1）在△ABC中,因为∠B=60°
所以∠BAC+∠BCA=120°
.因为AD,CE是角平分线,
所以∠HAC+∠HCA=60°
.故∠AHC=120°
.于是∠EHD=∠AHC=120°
.因为∠EBD+∠EHD=180°
所以B,D,H,E四点共圆.
（2）连接BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD=30°
由
（1）知B,D,H,E四点共圆,
所以∠CED=∠HBD=30°
又∠AHE=∠EBD=60°
由已知可得EF⊥AD,
可得∠CEF=30°
.所以CE平分∠DEF.
20.（本小题满分12分）
如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,底边BC上的高AD=10cm,腰AC上的高BE=12cm.
（1）求证:
;
（2）求△ABC的周长.
（1）证明:
在△ADC和△BEC中,∵∠ADC=∠BEC=90°
∠C=∠C,∴△ADC∽△BEC,∴.∵AD是等腰三角形ABC底边BC的高线,∴BC=2BD,又AB=AC,∴,故.
（2）解:
设BD=xcm,则AB=xcm,
在Rt△ABD中,∠ADB=90°
由勾股定理得AB2=BD2+AD2,∴=x2+102,解得x=7.5.
∴BC=2x=15cm,AB=AC=x=12.5cm,
故△ABC的周长为40cm.
21.（本小题满分12分）
如图,AC为☉O的直径,B为圆上一点,D为的中点,E为弦BC的中点.
求证:
（1）DE∥AB;
（2）AC·
BC=2AD·
CD.
（1）连接OE,因为D为的中点,E为弦BC的中点,所以O,E,D三点共线.
因为E为BC的中点,且O为AC的中点,所以OE∥AB,故DE∥AB.
（2）因为D为的中点,所以∠BAD=∠DAC,
又∠BAD=∠DCB,因此∠DAC=∠DCB.
又因为AC为☉O的直径,所以AD⊥DC.
又易知DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD,
于是,因此AD·
CD=AC·
CE,
所以2AD·
2CE,
故AC·
22.导学号52574059（本小题满分12分）
如图,已知ABCD是矩形纸片,E是AB上一点,BE∶EA=5∶3,EC=15,把△BCE沿折痕EC翻折,若B点恰好落在AD边上,设这个点为F,
（1）求AB,BC的长度各是多少;
（2）若☉O内切于以F,E,B,C为顶点的四边形,求☉O的面积.
（1）设BE=5x,EA=3x.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=8x,AD=BC,∠B=∠A=∠D=90°
.∵△CBE≌△CFE,∴EF=5x,FC=BC,∠CFE=90°
∵∠AEF+∠EFC+∠DFC=180°
∴∠AFE+∠DFC=90°
.又∠AEF+∠AFE=90°
∠AEF=∠DFC,∴sin∠AEF=sin∠DFC,即.
∴,则FC=10x.
∴CE==5x=15.
∴x=3.∴AB=24,BC=30.
（2）∵CE平分∠FCB和∠FEB,
∴O在EC上.
设☉O和BC切于M,和AB切于N,连接OM,ON,设☉O的半径为r,∴OM⊥BC,ON⊥AB.∴OM∥AB,ON∥BC.∴OM=BN=ON=BM=r.∴,即,解得r=10.
∴☉O的面积为100π.
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