相似三角形等积式比例式知识分享Word格式.docx
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bP=PE・PF。
分析：
因为BPPEPF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=ACD是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC,由线段垂直平
分线的性质知PB=PC只需证明厶PE3APCF,问题就能解决了。
证明：
A
（1）AC=3BC=4;
（2）AC=二,AD=2
143
（3）AD=5DB=，;
（4）BD=4AB=29
运用双垂直条件下的乘积式及勾股定理，已知两条线段的长就可求出其他四条线段的长。
解：
Rt△ABC中，/ACB=90,CDLAB于D,
例3.如图，已知：
在△ABC中，/BAC=90,ADLBC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。
•••/ADB=/ADC=/BAC=90,
•••/1+Z2=90°
Z2+ZC=9C°
AS_3D
ac=7d
（1）vAC=3BC=4由勾股定理得AB=厶少+月凸=石顶=5,
AC32
•/aC=AD・AB,•••AD=----=,
916
•BD=AB-AD=5-=-,
•/cd-ab=ac-BC
ACSC12
•CD=--:
（或禾U用cD=ad・bd来求）
5
（2）VAC=-,AD=2,AC=AD・AB
239
•/bd=ab-ad•bd=--2=,
•/BC=BD・AB,且BC>
JSD-AE
•BC=
14£
（3）vad=5db=:
且cD=ad・BD,
-JAD-ED=
•CD=1=12
1®
ab=ad+bd=-
•/aC=AD・AB,
（4）BD=4AB=29,bC=BD・AB,
•BC=/'
•'
八-..4=2±
/•AD=AB-BD=29-4=25
AC=■z，-■.-'
=5■，…
•/cD=ad・bd,
CD='
■■■1'
F■'
-■'
4=10
£
3
例5.已知：
如图，矩形ABCD中,AB:
BC=5:
6,点E在BC上，点F在CD上,EC=-BCFC=-CD
FGLAE于G
图中有直角三
（k>
0），贝UEC=-BC=k,
角形，充分利用直角三角形的知识，设AB=5kBC=6k
33
FC=:
CD=-AB=3k,得DF=2k,由勾股定理可得
AG=4GE
AE=AB+Bh=50k2,EF2=EC?
+FC2=10k2,AF2=AE2+DF'
=40k2,所以A^=eF'
+AF2由勾股定理逆定理得Rt△AFE又因为FG丄AE具备双垂直条件，问题的解决就有了眉目。
•••AB:
BC=56,
•••设AB=5k,BC=6k（k>
0）,
.在矩形ABCD中，有
CD=AB=5k,BC=AD=6k,/B=ZC=ZD=9C°
[£
•/EC=BC,•EC=■-X6k=k,•BE=5k,
•/FC=:
CD,•FC=-X5k=3k,•DF=CD-FC=2k
在Rt△ADF中，由勾股定理得
AF2=AD2+D^=36k2+4k2=40k2,
同理可得Ah=50k2,EF2=1Ck2,
222222
•AF+EF=4Ck+1Ck=5Ck=AE,
•△AEF是Rt△（勾股定理逆定理），
•/FG丄AE,AFE^AFGE
•EF"
=GE-AE,VAE='
■'
J=5k
EFT_iota
...Ge=丄亠'
=「k,•4GE=4k,
•AG=AE-GE=5'
■;
k-'
k=4'
k,
•AG=4GE.
例6.已知：
如图，Rt△ABC中,/ACB=9CC,CD!
AB于D,DEIAC于E,DF丄BC于F。
AE-BF•AB=CD。
证明：
Rt△ABC中,/ACB=90,CD!
AB,
•••cD=ad・BD,
•••CD=AD•BD2,
又•/Rt△ADC中,DELAC,Rt△BDC中,DF丄BC,
2—2亠
•AD=AE・AC,BD=BF・BC,
•CD=AE・BF-AC-BC,
又•/AC-BC=ABCD
•CD=AE・BF-AB-CD
•AE-BF-AB=CD
说明：
本题几次用到直角三角形中的重要等积式。
请同学们熟记这些重要的等积式，并能运用它们解决问题。
测试
选择题
1如图所示,在矩形ABCD中,AE1BD于E,S矩形=40cmf,Saabe：
Sadbq1:
5,贝UAE的长为（）
A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm
2.
AE交BD于点F,已知BE：
EC=3:
1,Safbe=18,贝USafda
女口图，在口ABCD中,E是BC上的一点,的大小为（）。
32D.12
如图，在正方形ABCD中,点E在AB边上,
则厶AEG的面积与四边形BEG啲面积比为
A.1:
2B.1:
4
C.4:
9D.2:
4.如图，△ABC的底边BC=a,高AD=h,矩形GH都在BC上,且EF=2FG则矩形EFGH的周长是（ah
A十b卫用十d
EFGH内接于△ABC其中E、F分别在边ACAB上,
）。
ah6h
C.2h-nd.如十g
5.女口图，在△ABC中，/B=ZADE^ZCAD阴頁，设△EBD△ADC△ABC的周长依次为m、m>
>
m。
那么的值是（）。
35
A.2B.4C.-D.4
答案与解析
答案：
1、A2、C3、C4、B5、D
解析：
1.解•/ZBAD=90°
AE丄BD
•••S
△ABE：
SaDBA=Ab:
△ABE^ADBA
•S△ABE:
Sadba^—1:
5,•AB2:
DB=1:
5,
•AB:
；
。
设AB=k,DB=--k,
则AD=
J屁—朗■独。
2
•S矩形=40cm,•k•2k=40。
•k=2--'
•BD=k=10,AD=4-。
1
Saabd=?
BD-AE=20,•2•10AE=20
•AE=4（cm）。
故选Ao
2.Co
3.分析易证△ABF^ADAE故知BF=AEO
因AE：
EB=2:
1，故可设AE=2x,EB=x,贝UAB=3x,BF=2x。
由勾股定理得AF=「•「=・'
"
易证AAG0AABFO
可得Saage:
Saabf=AE2:
A『=（2x）2:
（岳）2=4:
13o
可得SaAGE：
S四边形BEGF=4:
9。
故选Co
FG与高AD=h的关系。
由EF
4•分析：
由题目条件中的EF=2FG得，要想求出矩形的周长，必须求出//BC得厶AFE^AABC贝UEF与高h即可联系上。
设FG=x,贝U
•/EF=2FG•EF=2x。
•/EF//BC,•△AFE^AABG
又ADLBC,设AD交EF于M贝UAM丄EF。
AOBC
o
ah
解之，得x=「“
•••矩形EFGH的周长为6x=-n。
评注：
此题还可以进一步求出矩形的面积。
若对题目再加一个条件：
A吐AC,那么还可证出F&
=BG-CH
通过这些联想，就会对题目的内在的联系有更深的理解，也会提高自己的数学解题能力。
5.解析：
由/CAD=ZADE得AC//DE,•△ABSAEBD,又/B=ZCAD/C=/C,AB3ADAC
•••△AB3AEBD^ADAC即厶EBMADASAABC再利用相似三角形的周长比等于相似比即可得出。
中考解析
例1.（重庆市）如图，在△ABC中，/BAC=90°
D是BC中点，AE±
AD交CB延长线于点E,则结论正确的是（）
（A）AAED^AACB（B）AAEB^AACD（C）ABAE^AACE（D）AAEC^ADAC
考点：
评析：
思路：
根据相似三角形的判定方法，用排除法结合条件易选出正确选项。
答案为C.
例2.（河北省）已知：
如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=ACDEIBC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F。
（1）求证：
△ABC^AFCD
（2）若S“cc=5,BC=10,求DE的长。
相似三角形的性质、等腰三角形的性质
第1问因AD=AC「・/ACBHCDF又D是BC中点，ED±
BCB=ZECD•△ABSA
FCD
第2问利用相似三角形的性质，作AMLBC于M,易知Saabc=4Safcd。
：
Saabc=20,AM=4又tAM//ED
EDRD
再根据等腰三角形的性质，及中点，可以求出DE
（1）TDELBC,D是BC中点，
•EB=ECB=Z1.
又•••AD=AC「・/2=ZACB
•△ABC^AFCD.
（2）［方法一］:
过点A作AMLBC,垂足为点M.
•••△ABC^AFCDBC=2CD
$逊住_严牛
EgCD
又TSafce=5,••Saab（=20.
•••Saabc=jBC-AIMBC=1Q•20=JX10XAM,•AM=4.
DFSD
又•••DE//AM
丄21
•••DM=-DC=丄,BM=BD+DMBD=‘BC=5,
又•••FH//AM,
DE_FH
而=丽
亠，•点H是DM的中点.
又•••FH//DE
FHHC
~DE=~DC
L5
•/HC=HM+MC=
15
-,•DE=-
例3.（河南省）如图，点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形。
（1）当ACCDDB满足怎样的关系时，△ACP^APDB
（2）当厶AC3APDB时，求/APB的度数。
相似三角形的判定及性质。
本题是一个探索型的，它给出了一个条件，让你自己再添加一个条件，可使两个三角形相似，因此，首先想到相似的判定方法，因又限制了三条边关系，所以是以应边就成比例。
当相似了对应角相等,易求/APB
（1）v^PCD是等边三角形，
•••/PCDMPDC=60,PD=PC=CD
从而/ACP玄PDB=120
•当」」时，△ACP^APDB即当cD=AC・BD时，△ACNAPDB
（2）当厶AC3APDB时，/APC=ZPBD.
•••/APB=/APC+ZCPD+ZDPB
=ZPBD+60+ZDPB
=60°
+60°
=120°
.
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