导数典型例题讲解.doc

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资料一：

导数.知识点

1．导数的概念

例1．已知曲线y=上的一点P（0,0），求过点P的切线方程·

解析：

如图，按切线的定义，当x0时，割线PQ的极限位置是y轴（此时斜率不存在），因此过P点的切线方程是x=0.

例2．求曲线y＝x2在点（2，4）处的切线方程·

解析：

∵y=x2,∴y=（x0＋x）2－x02＝2x0x＋（x）2=4x＋（x）2

∴k＝.

∴曲线y＝x2在点（2，4）处切线方程为y－4＝4（x－2）即4x－y－4＝0.

例3．物体的运动方程是S＝1＋t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，求物体在t＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋t]内相应的平均速度．

解析：

∵S=1+t+t2,∴S=1+（t+t）+（t+t）2－（1+t+t2）=2t·t+t+（t）2,

∴,即,∴,

即在[5，5＋t]的一段时间内平均速度为（t＋11）米／秒

∴v（t）=S’＝

即v（5）＝2×5＋1＝11.

∴物体在t＝5秒时的瞬时速度是11米／秒．

例4．利用导数的定义求函数y=在x=1处的导数。

解析：

y=,∴=,

∴=.

例5．已知函数f（x）=,求函数f（x）在点x＝0处的导数

解析：

由已知f（x）=0，即f（x）在x=0处有定义，y=f（0+x）－f（0）=,

=,==0,即f’（0）＝0.

∴函数f（x）在x＝0处导数为0.

例6．已知函数f（x）=,判断f（x）在x＝1处是否可导？

解析：

f

（1）=1,,

∵,

∴函数y=f（x）在x＝1处不可导．

例7．已知函数y＝2x3＋3，求y’.

解析：

∵y=2x3+3,∴y=2（x+x）3+3－（2x3+3）=6x2·x+6x·（x）2+2（x）3,

∴=6x2+6x·x+2（x）2,∴y’==6x2.

例8．已知曲线y＝2x3＋3上一点P，P点横坐标为x＝1，求点P处的切线方程和法线方程．

解析：

∵x=1,∴y=5,P点的坐标为（1,5）,

利用例7的结论知函数的导数为y’=6x2,

∴y’＝6,∴曲线在P点处的切线方程为y－5＝6（x－1）

即6x－y－1＝0,又曲线在P点处法线的斜率为－，

∴曲线在P点处法线方程为y－5＝－（x－1），即6y＋x－31＝0.

例9．抛物线y＝x2在哪一点处切线平行于直线y＝4x－5？

解析：

∵y’==,

令2x＝4．∴x=2,y＝4,即在点P（2，4）处切线平行于直线y＝4x－5.

例10．设mt≠0，f（x）在x0处可导，求下列极限值

（1）；

（2）.

解析：

要将所求极限值转化为导数f’（x0）定义中的极限形式。

（1）=,

（其中－m·x0）

（2）=.

（其中）

例11．设函数f（x）在x＝1处连续，且，求f’

（1）.

解析：

∵f（x）在x＝1处连续，∴f

（1）.

而又×2=0.

∴f

（1）=0.

∴f’

（1）=（将x换成x－1）

即f’

（1）＝2.

例12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），通过点（1，1），且在点（2，－1）处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．

解析：

由y’＝=,

由函数在点（2，－1）处与直线y＝x－3相切,∴2a×2＋b＝1，

又函数过点（1，1），（2，－1）,∴a＋b＋c=1，4a＋2b＋c＝－1，

由三式解得a＝3，b＝－11，c=9.

例13．设曲线y＝sinx在点A（，）处切线倾斜角为θ，求tan（－θ）的值.

解析：

∵y=sinx，∴y=sin（x+x）－sinx=2cos（x+）sin,

∴y’==.

即y’＝（sinx）’＝cosx,

令在A点处切线斜率为k=cos=,∴tanθ=,θ∈（0,π）,

∴tan（－θ）＝H，

例14．设f（x）是定义在R上的函数，且对任何x1、x2∈R，都有f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），若f（0）≠0，f’（0）＝1，证明：

对任何x∈R，都有f（x）=f’（x）

解析：

由f（x1＋x0）=f（x1）f（x2），令x1＝x2＝0得f（0）＝f（0）f（0）,又f（0）≠0

∴f（0）=1

由f’（0）=1即,

∴f’（x）＝

.

即f’（x）=f（x）成立．

2．几种常见函数的导数

例1．已知f（x）=x3，求f’（x），f’

（1），（f

（1））’，f’（0.5）

解析：

f（x）=x3,∴f’（x）＝3x2,f’

（1）=3,

f’（0.5）＝3×（0.5）2=0.75，（f

（1））’=

（1）’=0.

说明：

导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系．后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值．

例2．已知曲线y=x2上有两点A（1,1）,B（2,4），求①割线AB的斜率；②在[1，1＋x]内的平均变化率；③过点A处的切线斜率kAT；④点A处的切线方程．

解析：

①kAB＝＝3；

②平均变化率,

③y’＝2x,∴y’|x＝1＝2.即点A处的切线斜率为KAT＝2.

④点A处的切线方程为y－1＝2（x－1）即2x－y－1＝0.

说明：

通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系

y’=.

例3．利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y=在点P（1，1）处的切线倾斜角及该点处的法线方程．

解析：

解法一：

f（x）=,y=f（1+x）－f

（1）=,

∴y’|x=1==.

即在点P处斜率为k＝－1，∴倾斜角为135°，

法线方程y－1＝x－1即x－y＝0.

解法

（二）：

y=f（x）＝，y’=f’（x）=,∴y’|x=1＝－1.

即在点P处切线斜率为k=－1，以下同法

（一）

说明：

求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可．

例4．已知曲线y=上的一点P（0，0），求过点P的切线方程.

解析：

由y=,∴y’=,在x=0处导数不存在，由图形知

过P点的切线方程是x=0.

例5．设曲线y＝cosx在A（，）点处的切线倾斜角为θ，求cot（－θ）的值

解析：

y=cosx,y’=－sinx,x=时,k=－sin=－,∴tanθ=－，

∴cot（－θ）=.

例6．求曲线y＝x3在点（3，27）处的切线与坐标轴所围成的三角形面积．

解析：

∵y=x3,∴y’=3x2,y’|x=3=27,

∴曲线y=x3在点（3，27）处的切线方程为y－27＝27（x－3）,

即y＝27x－54.其与x轴，y轴交点分别为（2，0），（0，－54）

∴切线与坐标轴围成的三角形面积为S=×2×54＝54.

例7．在抛物线y＝x2上取横坐标为x1＝1及x2＝3的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？

解析：

已知两点A（1，1）B（3，9），割线斜率为kAB=4,

∵y’＝2x，令y’=2x＝4得x＝2,即在点（2，4）处切线平行于这一割线．

3．函数和、差、积、商的导数

例1．求下列函数的导数：

①y=3x2＋xcosx；②y=；③y=xtanx－；④y=.

解析：

①y’=6x+cosx－xsinx；

②y’=；

③y=,∴y’=

=.

④y=,y’=.

例2．已知函数f（x）=x3－7x+1，求f’（x），f’

（1），f’（1.5）.

解析：

f（x）=x3－7x+1,∴y’=f’（x）=3x2－7,f’

（1）=－4，f’（1.5）=－.

注意：

导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函数值．

例3．已知函数y＝x3＋ax2－a的导数为0的x值也都使y值为0，求常数a的值．

解析：

y’=3x2+2ax,令y’=0,则3x2+2ax=0,x1=0,x2=－a,

当x=0时，y=0=－a，∴a=0，即a＝0满足条件,

当x=－a时．y＝0=得a＝0或a＝±3

检验知a＝±3不满足条件，

∴常数的值为0.

例4．曲线y＝－x2＋4x上有两点A（4，0），B（2，4），求①割线AB的斜率kAB；

②过点A处的切线斜率kA；③点A处的切线方程。

解析：

①割线AB的斜率kAB==－2；

②y’=－2x+4，∴y’|x=4=－4，即kA=－4；

③过A点的切线方程为y－0＝－4（x－4），即y＝－4x＋16.

例5．已知F（x）=f（x）＋g（x），就下列两种情形判断F（x）在x＝x0处是否可导？

①f（x）在x＝x0处可导，g（x）在x＝x0处不可导．

②f（x），g（x）在x＝x0处均不可导．

解析：

①F（k）在x＝x0处不可导．

假设F（x）在x＝x0处可导，由F（x）=f（x）＋g（x）,∴g（x）＝F（x）－f（x）.

∵f（x）在x＝x0处可导，∴g（x）在x=x0处可导，与条件g（x）在x＝x0处不可导矛盾，∴F（x）在x＝x0处不可导．

②F（x）在x＝x0处不一定可导．

如设f（x）=sinx+,g（x）=cosx－,则f（x），g（x）在x＝0处均不可导，

但F（x）=f（x）+g（x）＝sinx＋cosx在x＝0处可导．

另：

若．g（x）=tanx+上，在x＝0处不可导，

F（x）=f（x）+g（x）=sinx+tanx+在x＝0处也不可导．

例6．曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过P点切线与直线y=4x－7平行．

解析：

y’=（x3＋x－1）’＝3x2＋1，

由过P点切线与直线y＝4x－7平行，令3x2＋1＝4得x＝±1，

当x=1时，y=1，此时切线为y－1＝4（x－1），即y＝4x－3与直线y＝4x－7平行，∴P点坐标为（1，1）。

当x＝－1时，y＝－3，此时切线为y＋3=－3（x＋1），即y＝4x＋1也满足条件，∴P点坐标为（－1，－3）.

综上得P点坐标为（1，1）或（－1，－3）.

例7．证明：

过抛物线y＝a（x－x1）（x－x2）,（a≠0，x1＜x2）上两点A（x1，0），B（x2，0）的切线倾斜角互补．

解析：

y’=2ax－a（x1+x2）.

∴,即k1=a（x1－x2）,,即k2=a（x2－x1）,

∵k1=－k2，∴两切线倾斜角互补．

例8．已知曲线y=f（x）及y=f（x）sinax，（a≠0），其中f（x）＞0，且为可导函数，求证：

两曲线在公共点处彼此相切．

解析：

由f（x）=f（x）sinax,f（x）>0，∴sinax=1，ax=2kπ+（k∈Z）,

∴x=，设曲线交点（x0,y0），即x0=.

又两曲线y1=f（x），y1’=f’（x），y1=f（x）sinax，y2’=f’（x）sinax+a·cosx·f（x）

,

∴k1=k2，即两曲线在公共点处