设an是首项为a1公差Word文档格式.docx
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解析由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列，记为ai,a2,a3,a4,a5，贝U印+a2+出
+a4+a5=500.由等差数列的性质可得5a3=500,即卩a3=100，所以a?
+a3+3a3=300.
&
（2017河南洛阳期末）已知等差数列｛an｝的公差和首项都不等于0，且a2,a4,a8成等比数
9.（20i7衡水中学调研卷）在i到i04之间所有形如2n与形如3n（n€N*）的数，它们各自之和
的差的绝对值为（lg2疋0.30i0）（）
i0.（20i8温州十校联考）设数列｛an｝和｛bn｝分别是等差数列与等比数列，且ai=6=4,印=
b4=i,则以下结论正确的是（）
A.a2>
b2
B.a3<
b3
C.a5>
b5
D.a6>
b6
答案A
4+3d=i,
解析设等差数列的公差、等比数列的公比分别为
d,q，则由题意得’
4q3=i，解得
『d=—i,
3则a2—b2=3—^T6>
3—^27=0;
故选A.q=冷，
ii.数列｛an｝是等差数列，若ai,出，d是等比数列｛bn｝中的连续三项，则数列｛bn｝的公比为
答案1或1
2
解析设数列｛a*｝的公差为d,由题可知，a32=ai•比，可得（ai+2d）2=a*ai+3d）,整理得⑻+4d）d=0,解得d=0或a1=-4d•当d=0时，等比数列｛bn｝的公比为1；
当a1=-4d时，
ai，a3，a4分别为一4d，—2d，-d，所以等比数列｛b*｝的公比为
12.（2017•东潮州期末）从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出
1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒次后才能使纯酒精体积与
总溶液的体积之比低于10%.
答案4
解析设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1,操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比
a1=2，设操作n次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为a*，贝Ua*+1=an•扌，：
外=a1qn—1=
111
（『，•••（決和解得n>
4.
*11
13.（2015浙江）已知数列｛an｝和｛bn｝满足a1=2，B=1，a*+1=2a*（n€N），3+^b2+gb3+…
1*
+；
bn=bn+1—1（n€N）.
（1）求an与bn；
⑵记数列｛anbn｝的前n项和为Tn，求Tn.
答案
（1）an=2n，bn=n
（2）Tn=（n-1）2n+1+2
解析
（1）由a1=2，an+1=2an，得an=2（n€N）.
由题意知：
当n=1时，b1=b2—1，故b2=2.
心2时，b1+尹+…+Rs—1=bn-1和原递推式作差得-bn=bn+1所以bn=n（n€N*）.
⑵由①知anbn=n2n，
因此Tn=2+222+323+…+n2n，
2Tn=22+223+324+…+n2n+1，
所以Tn—2Tn=2+22+23+…+2n—n2n+1.
故Tn=（n—1）2n+1+2（n€N*）.
14.（2016四川）已知数列｛an｝的首项为1，Sn为数列｛an｝的前n项和，Sn+1=qSn+1,其中
*
q>
0,n€N.
（1）若a2,a3,a2+a3成等差数列，求数列｛an｝的通项公式；
⑵设双曲线x2—*=1的离心率为en,且e2=2，求e/+e22+…+en2.
解析
（1）由已知Sn+LqSn+1,得Sn+2=qSn1,两式相减得到an+2=qan+仆
又由S2=qS1+1得到a2=qa1,
故an+1=qan对所有n>
1都成立.
所以数列｛an｝是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn1.
由a2,a3,a2+a3成等差数列，可得2a3=a2+a2+a3,
所以a3=2a2，故q=2,所以an=2n1（n€N）.
n—1
（2）由
（1）可知，an=q
所以双曲线x2—花=1
an
的离心率en=,1+an2=\;
1+q21
由e2=空1+q2=2解得所以e12+e22+-+en2
=（1+1）+（1+q2）+…+[1+q2（n—1）]=n+[1+q2+…+q2（n—1）]
2nq—1
=n+~2~1
q—1
n—1）.
15.（2018衡水中学调研卷）若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”专家估计人口总数将发生如下变化：
从2016年开始到2025年每年人口比上年增加
新政策后
0.5万人，
从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.
（1）求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式（注:
2016年为第一年）;
（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过施，问到2035年后是否需要调整政策？
（说明：
0.9910
49万，则需调整政策，否则继续实
=（1—0.01）10~0.9）.
0.5n+45,1<
nW10
答案（1r50X0.99n-10,11WnW20⑵不需要
解析
（1）由题意知，当n<
10时，数列｛an｝是以45.5为首项，0.5为公差的等差数列，所以
an=45.5+（n—1）X0.5=0.5n+45.
当11Wn<
20时，数列｛an｝是公比为0.99的等比数列，而an=50X0.99,所以為=50X0.99n
—10
0.5n+45,1wnW10,所以新政策实施后第n年的人口总数环（单位：
万）的表达式为an=n—10
I50X0.99,11WnW20.
⑵设Sn为数列｛an｝的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的
10
求和公式得S20=S10+（an+a12+…+a20）=477.5+4950X（1—0.99戶972.5（万）,
所以新政策实施到2035年人口均值为S20"
48.63<
49.
20
所以到2035年后不需要调整政策.
16.（2018云、贵、川三省联考）设数列｛an｝是公差大于0的等差数列，Sn为数列On｝的前n项和，已知S3=9，且2$,a3-1,a4+1构成等比数列.
（1）求数列｛an｝的通项公式；
ann—1*
⑵若数列｛bn｝满足b"
=2（n€N）,设Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明：
Tn<
6.
bn
答案
（1）2n—1
（2）略
解析
（1）设数列｛an｝的公差为d，则d>
0.
因为S3=9，所以a1+a2+a3=3a2=9，即a2=3.
因为2a1,a3—1,a4+1构成等比数列，
所以（2+d）2=2（3—d）（4+2d）,
所以d=2所以an=a2+（n—2）d=2n—1.
⑵证明：
因为害=21（n€N*）,
所以bn=1=（2n—1）
（1）n—1,
所以Tn=1X
（2）0+3X（罗+…+（2n—1）x
（1）n—二①
1111—1
所以2Tn=1X
（2）1+3X（刁2+…+（2n—3）xq）n—1+（2n—1）x（$n，②
由①②两式相减得
1—（丄）n-1
1Tn=1+2x
（2）1+2X
（1）2+•••+2x
（2）n—1—（2n—1）xg）n=1+令——=3—
1—2
夫—叨，整理化简得Tn=6—坪又因为n€N*，所以Tn=6—予坤<
（第二次作业）
1.若方程X2—5x+m=0与x2—10x+n=0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1
的等比数列，贝Um：
n的值为（）
C.2D.4
解析设等比数列的公比为q，由根与系数的关系，得1+q+q2+q3=15,即（q—2）（q2+3q
+7）=0,因此q=2,此时m=q2,n=q4，故m:
n=1:
4,故选A.
=n,故上午11时30分公园内的人数为
S=2+-
（1-21。
1—2
10X（1+10）
=212—57.
2.某林厂年初有森林木材存量S立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐
固定的木材量x立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是（）
153
解析由题意知，a=2,b=16，c=16.故a+b+c=1，故选A.
4•今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早
晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30
分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有
32人进去4人出来，……，按照这种规律进行下去，至吐午11时30分公园内的人数是（）
A.211—47B.212—57
C.213—68D.214—80
解析由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4
为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n
个30分钟内进入公园的人数为an,第n个30分钟内出来的人数为bn,贝U為=4x2n—1,bn
5.（2018•西九江一中月考）在等比数列｛an｝中，a7是a8,a?
的等差中项，公比q满足如下
条件：
△OAB（O为原点）中，OA=（1,1）,OB=（2,q），/A为锐角，则公比q=答案—2
解析由a-f是a8,a9的等差中项，知2a7=氏+a?
=a7q+a7q［得q=1或q=—2.又因为/A
为锐角，所以A0•AB=A0•（0B—0A）=（—1,—1）（1,q—1）=—q>
0，可知q<
0，故q=-2.
22
6.（2017河北教学质量监测）已知函数y=x（x>
0）的图像在点（ak,比）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1（k€N），若a1=16,则aj+a3+a5=.
答案21
解析由题意，得函数y=x2（x>
0）的图像在点（ak,ak2）处的切线方程是y—a『=2a«
x—ak）.令
y=0，得x=2ak，即ak+1=*比，因此数列｛ak｝是以16为首项，2■为公比的等比数列，所以ak=16
（2）k1=25k，所以a1+a3+a5=16+4+1=21.
7.（2017合肥质检）一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟
自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过分钟，该病毒占
据64MB内存（1MB=210KB）.
答案45
解析依题意可知
ao=2，a1=22，a2=23，…，an=2^1.
64MB=64X210=216KB，
令2n+1=216得n=15.
•••开机后45分钟该病毒占据64MB内存.
一个数字生成器，生成规则如下：
第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一
次生成的每一个数x生成两个数，一个是—x，另一个是x+3.设第n次生成的数的个数为
an，则数列｛an｝的前n项和Sn=;
若x=1，前n次生成的所有数中不同的数的个数
为Tn,
则T4=.
2n—1,10
1—2n
由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1,公比为2的等比数列，故Sn=彳J
2n—1.
当x=1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为一1,4，第3次生成的数为1，2;
—4,7,第4次生成的数为一1，4;
—2，5;
4，—1;
—7，10.故T4=10.
9.（2018湖北武汉武昌实验中学模拟）已知数列｛an｝,｛bn｝中，a1=a,｛bn｝是比公为§
的等比
a—2*
数列，记bn=n—1（n€N），若不等式
an一[
答案（2,+^）
1_bn+1—bn
bn+1—1（1—bn+1）（1—bn）
<
0,即
（1—3bn）（1—bn）
（?
bn—1）
>
0,解
bn—1）
332—3
得bn>
2或0<
bn<
1.若bn>
2，则^悠）"
对一切正整数n成立，显然不可能；
若0<
1，则
2n-1亠a1—2
0<
b1（3）<
1对一切正整数n成立，只要0<
b1<
1即可，即0<
a—1<
1，解得a1=a>
2.
10.（2018上海虹口区模拟）某市2017年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万
张，电动型汽车牌照2万张•为了节能减排和控制总量，从2017年开始，每年电动型汽车
牌照的发放量按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦
某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型汽车的牌照的数量维持在这一年的
水平不变.
（1）记2017年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列｛an｝，每年发放的电动型汽
车牌照数构成数列｛bn｝，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；
a1=10
a2=9.5
a3=
a4=
b1=2
b2=3
b3=
b4=
（2）从2017年算起，求二十年发放的汽车牌照总量.
答案
（1）a3=9,a4=8.5,b3=4.5,b4=6.75
=—n+21jwnw20且n€N*,
0,n》21且门€N*bn=[2X（3）n-1,1WnW4且n€N*，
6.75,门》5且门€N
（2）229.25万张解析
（1）
a1=10
a3=9
a48.5
b1=2
b2=3
b3=4.5
b4=6.75
N
€
n
且
21
+
n-2
当Knw20且n€N,an=10+（n—1）x（—0.5）=
-E+21，1wnw20且n€N*,
•-甘22
0,门》21且门€N*.
a4+b4=15.25>
15,
3n_1*
2X
（二）,1wnW4且n€N,
■-bn=2*
6.75,n>
5且门€N*.
（2）ai+a2+…+a20=10x20+2°
|l9x（-1）=105,
•••从2017年算起，二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张.
x
11.（2017江西省宜春中学与新余一中联考）设函数f（x）=2+sinx的所有正的极小值点从小
到大排成的数列为｛Xn｝.
（1）求数列｛xn｝的通项公式；
x13
⑵令bn=-，设数列｛—｝的前n项和为Sn,求证Sn<
2nbnbn+12
2n*
答案
（1）Xn=2nn—〒（n€N）
（2）略
x12n
解析
（1）f（x）=2+sinx,令f'
（x）=2+cosx=0，得x=2kn±
=（k€Z）.
223
丄,2n2n
由f（x）>
0?
2kn—可<
x<
2kn+可（k€Z）,
.2n4n
由f（x）<
2kn+T<
2kn+g（k€Z）,
r2n
当x=2kn—丁（k€Z）时，f（x）取得极小值，
3n—1
所以Xn=2nn—（n€N）.
—,Xn
⑵因为bn==
2n
所以一—=—-—=3（」——）,
bn-bn+13n—13n+23n—13n+2八
11,11,111133
所以Sn=3（2—5+5-8+…+3n—1—3n+2）=3（2—3n+2）=2_3n+2,
所以Sn<
3.
12.（2017山东）是各项均为正数的等比数列，且X1+X2=3,X3—X2=2.
（1）求数列｛Xn｝的通项公式；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（X1,1）,P2（X2,2），…，Pn+1（xn+1,n+
1）得到折线P1P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=X1,X=Xn+1所围成的区域的面积Tn.
答案
（1）2n—
（2）（2n—1）乂+
解析
（1）设数列｛xn｝的公比为q，则q>
X1+X1q=3,2
由题意得f2所以3q2—5q—2=0.因为q>
0，所以q=2,X1=1.因此数列｛xn｝的
Xw—x1q=2,
通项公比为Xn=2n—1.
⑵过P1,P2,…，Pn+1向X轴作垂线，垂足分别为Q1,Q2,…，Qn+1.
由
（1）得xn+1—xn=2n—2n1=2n1,记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn，由题意得bn=
—（2n+1）X2n
a1=1,且a2,
（n+n+1）n—1n—2
所以bn=1bnT，所以数列｛bn｝是首项为g,公比为£
的等比数列，故"
=3^.
3333
⑵由
（1）知，Cn=anbn=
1111
所以Tn=1x3+2x32+3x33+…+nx卞①
11111
在①式两边同乘3，得§
Tn=1X32+2X33+3X34+—+nx
211111
由①②两式相减得§
Tn=3+32+亍+…+尹一nX3+1,
所以Tn—Sn=1—2n+
44
当n=1时，Ti=Si,
所以Tn>
Sn,
备选题
示数列｛bn｝的前n项和，则S5=
222
y—nnT7—n
解析由题意得，过点Pn,Pn+1的直线为=，即2x+n（n+1）y—2（2n+1）
x—n（n+1）—n
=0.令y=0，得x=2n+1,令x=0，得y=2（2n+1），所以bn=1x（2n+1）x2（2n+1）
n（n+1）2n（n+1）
=4+（+=4+1—土，所以S5=4X5+1—1+2—£
+•••+J—6=罟.
（n+1）nn+1223566
x
3.设函数f（x）=2+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn},{Xn}的前n项和
为Sn,则sinSn不可能取的值是（）
2n2nn
取极小值，即Xn=2nn—3,所以Sn=x〔+X2+X3+…+Xn=2n（1+2+3+…+n）—丁
33
2nn**
n（n+1）n—~3_，当n=3k（k€N）时，sinSn=sin（—2kn）=0;
当n=3k—1（k€N）时，sinSn
=si门牛二宁；
当n=3k—2（k€N*）时，sinSn=si门号=—今.
A.；
F（n2）on
解析由题意得an=_n—=~2且ak=（an）min，由指数函数y=2X与二次函数y=x2图像
F（2,n）n
XX
的对比可得当x>
0时，P先减后增，故P有最小值.因此a1=2,a2=1,a3=~9,a4=1,所
9
以a2>
a3且a3<
a4,所以（an）min=a3=9，则ak=；
故选C.
5.（2017保定模拟）如图所示，矩形AnBnCnDn的一个边AnBn在X轴上，另外两个顶点Cn,
1一*
Dn在函数f（x）
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