复数运算重点习题.doc

复数运算重点习题.doc

《复数运算重点习题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复数运算重点习题.doc（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

　　复数的运算

一、知识导学

1.复数加、减法的几何意义

（1）加法的几何意义:

是以、为两邻边的平行四边形对角线所对应的复数.

（2）减法的几何意义:

是连接向量、的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.

2.重要结论

（1）对复数z、、和自然数m、n，有，，

（2），，，；，，，.

（3），，.（4）设，，，，，

二、疑难知识导析

1.对于，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.

2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.

当时，不总是成立的.

（1）；

（2）；（3）；（4）；

（5）

三、经典例题导讲

[例1]满足条件的点的轨迹是（）

A.椭圆B.直线C.线段D.圆

正解：

点（0，2）与（-1，0）间的距离为，

动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C

[例2]求值：

正解：

原式===

[例3]已知，求的值.

分析：

结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简.

原式=

评注：

由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.

[例4]（06年上海春卷）已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.

解法一：

.

若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.，

所求的一个一元二次方程可以是.

解法二：

设，得

，

以下解法同解法一.

[例5]

解析

四、典型习题导练

2.3．计算4.计算

5．解下列方程：

（1）；

（2）.

例1，已知复数z满足求.

解：

设z=x+yi,x,y∈R，则

∵，∴=0，又|z－2|=2,∴

联立解得，当y=0时,x=4或x=0（舍去x=0,因此时z=0），

当y≠0时,,∴综上所得

例2．设z为虚数，求证：

为实数的充要条件是|z|=1.

证明：

设z=a+bi（a,b∈R，b≠0），于是

所以b≠0,∈R=0|z|=1.

例3．复数z满足，且为纯虚数，求z.

解：

设z=x+yi（x,y∈R），则

∴，即.

为纯虚数，

∴或

例4．设z是虚数，ω=是实数，且－1<ω<2，

（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；

（2）设u=，求证u为纯虚数；

（3）求的最小值。

解：

（1）设z=a+bi（a,b∈R,b≠0），则

，由于ω是实数且b≠0，∴，

即|z|=1，由∴z的实部a的的取值范围是（,1）.

（2）u=，由于（,1）,b≠0，

∴u是纯虚数。

（3）

由于a∈（,1）,∴a+1>0，则,当,即a=0时,上式取等号,所以的最小值为1.

例5，若复数z满足,，则z=.

例6．设z∈C，|z|=1，则的最大值为（3）

例7，已知复数z满足|z|＝1＋3i－z．求的值．

例7．已知，复数，求|ω|．

例8．若z∈C，满足。

求z的值和|z－ω|的取值范围

例9，设,是纯虚数，求复数z对应的点的轨迹方程．

解：

∵是纯虚数，∴，即,∴2z+z+=0，（z≠0，z≠－1）,设z=x＋yi，（x，y∈R），y≠0）∴（y≠0）．它为复数z对应点的轨迹方程．