人教版文数高考一轮复习 课时分层训练40 直线平面垂直的判定及其性质Word下载.docx
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A [A选项中，因为CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB，B选项中，AB与CD成60°
角；
C选项中，AB与CD成45°
D选项中，AB与CD夹角的正切值为
.]
3．如图7 5 10，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是（ ）
图7 5 10
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC
D [因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，
BC⊄平面PDF，
所以BC∥平面PDF，故选项A正确．
在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，
所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．]
4．如图7 5 11，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（ ）【导学号：
79170259】
图7 5 11
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
C [因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]
5．（2017·
全国卷Ⅲ）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（ ）
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC
C [如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；
∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，
∴A1E⊥BC1，故C正确；
（证明：
由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，
∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1）
∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．]
二、填空题
6．如图7 5 12所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）
图7 5 12
DM⊥PC（或BM⊥PC等） [由定理可知，BD⊥PC．
∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，有PC⊥平面MBD.
又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]
7．如图7 5 13，在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．
图7 5 13
[取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB1C1C．
所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．
设三棱柱的所有棱长为a，
在Rt△AED中，
AE＝
a，DE＝
.
所以tan∠ADE＝
＝
，则∠ADE＝
故AD与平面BB1C1C所成的角为
8．（2016·
全国卷Ⅱ）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．（填写所有正确命题的编号）
【导学号：
79170260】
②③④ [对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．
对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．
对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．
对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]
三、解答题
9.（2015·
北京高考）在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝
，O，M分别为AB，VA的中点．
图7 5 14
（1）求证：
VB∥平面MOC；
（2）求证：
平面MOC⊥平面VAB；
（3）求三棱锥VABC的体积．
[解]
（1）证明：
因为O，M分别为AB，VA的中点，
所以OM∥VB．3分
又因为VB⊂/平面MOC，所以VB∥平面MOC．5分
（2）证明：
因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB．
又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，
所以OC⊥平面VAB．
所以平面MOC⊥平面VAB．8分
（3）在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝
，
所以AB＝2，OC＝1.
所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝
.9分
又因为OC⊥平面VAB，
所以三棱锥CVAB的体积等于
OC·
S△VAB＝
又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为
.12分
10．⊙O的直径AB＝4，点C，D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°
，F为
的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图7 5 15②）．
① ②
图7 5 15
OF∥平面ACD；
（2）在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？
若存在，试指出点E的位置；
若不存在，请说明理由．
由∠CAB＝45°
，知∠COB＝90°
，1分
又因为F为
的中点，
所以∠FOB＝45°
，因此OF∥AC，3分
又AC⊂平面ACD，OF⊄平面ACD，
所以OF∥平面ACD.5分
（2）存在，E为AD中点，
因为OA＝OD，所以OE⊥AD.7分
又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直．
所以OC⊥平面OAD.9分
又AD⊂平面OAD，所以AD⊥OC，
由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，
所以AD⊥平面OCE.
又AD⊂平面ACD，
所以平面OCE⊥平面ACD.12分
B组 能力提升
15分钟）
1．（2017·
贵州贵阳二模）如图7 5 16，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是（ ）
图7 5 16
A．O是△AEF的垂心
B．O是△AEF的内心
C．O是△AEF的外心
D．O是△AEF的重心
A [由题意可知PA，PE，PF两两垂直，
所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，
而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，
所以EF⊥平面PAO，
所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，
所以O为△AEF的垂心．]
2．如图7 5 17，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
图7 5 17
a或2a [∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.
为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF（或CF⊥B1F）．
设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，
∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2A．]
3.（2016·
四川高考）如图7 5 18，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°
，BC＝CD＝
AD.
图7 5 18
（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
平面PAB⊥平面PBD.【导学号：
79170261】
[解]
（1）取棱AD的中点M（M∈平面PAD），点M即为所求的一个点．
理由如下：
连接CM，
因为AD∥BC，BC＝
AD，
所以BC∥AM，且BC＝AM.2分
所以四边形AMCB是平行四边形，
所以CM∥AB．
又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，
所以CM∥平面PAB．
（说明：
取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点）5分
由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，
AD，所以直线AB与CD相交，
所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.8分
AD，M为AD的中点，连接BM，
所以BC∥MD，且BC＝MD，
所以四边形BCDM是平行四边形，
所以BM＝CD＝
AD，所以BD⊥AB．
又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB．
又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.12分
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