204 正方形的判定含答案Word格式.docx

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7．如图所示，在Rt△ABC中，CF为∠ACB的平分线，FD⊥AC于D，FE⊥BC于点E，试说明四边形CDFE是正方形．

四、思考题

8．已知如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，且AE=BF，请问：

（1）AF与DE相等吗？

为什么？

（2）AF与DE是否垂直？

说明你的理由．

参考答案

一、1．C点拨：

对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形一定是正方形，故选C．

2．D点拨：

由题意画出图形后，利用“一组邻边相等的矩形是正方形”来判定．

二、3．△ABC是等腰直角三角形且∠BAC=90°

点拨：

还可添加△ABC是等腰三角形且四边形ADEF是矩形或∠BAC=90°

且四边形ADEF是菱形等条件．

4．

观察图形易得两直角三角形全等，由全等三角形的性质和勾股定理得正方形的边长为

=

．

5．67.5°

；

2

cm

点拨：

因为BD是正方形ABCD的对角线，

所以∠DBC=45°

，AD=AB=2cm．

在Rt△BAD中，由勾股定理得AD2+AB2=BD2，即22+22=BD2，

所以BD=2

cm，所以BE=BD=2

（cm），

又因为BE=BD，所以∠E=∠EDB=

（180°

-45°

）=67.5°

6．

如图所示，作F关于AC的对称点G．连结EG交AC于P，

则PF+PE=PG+PE=GE为最短．过E作EH⊥AD．

在Rt△GHE中，HE=4，HG=AG-AH=AF-BE=1，所以GE=

，即PF+PE=

三、7．解：

因为∠FDC=∠FEC=∠BCD=90°

，所以四边形CDFE是矩形，

因为CF平分∠ACB，FE⊥BC，FD⊥AC，所以FE=FD，所以矩形CDFE是正方形．

本题先说明四边形是矩形，再求出有一组邻边相等，还可以先说明其为菱形，再求其一个内角为90°

四、8．解：

（1）相等．理由：

在△ADE与△BAF中，AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°

，AE=BF，

所以△ADE≌△BAF（S．A．S．），所以DE=AF．

（2）AF与DE垂直．理由：

如图，设DE与AF相交于点O．

因为△ADE≌△BAF，所以∠AED=∠BFA．又因为∠BFA+∠EAF=90°

，

所以∠AEO+∠EAO=90°

，所以∠EOA=90°

，所以DE⊥AF．

20.4正方形的判定B卷

一、七彩题

1．（一题多解题）如图所示，P，Q，R，S分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积为5，求大正方形ABCD的边长．

二、知识交叉题

2．（科内交叉题）如图所示，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN与∠BCA的平分线CE相交于点E，与∠BCA的外角平分线CF相交于点F．

（1）EO与FO的长度相等吗？

说明理由；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

（3）若要使四边形AECF成为正方形，则∠ACB的度数应为多大？

三、实际应用题

3．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案（在给出的三张正方形图纸上，如图，分别画图，并简述画图步骤）．

四、经典中考题

4．（莆田）如图所示，大正方形网格是由16个边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分的面积是_____．

五、探究学习

1．（规律探究题）如图所示，正方形ABCD的对角线相交于O点，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？

说明理由．

2．（条件开放题）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．

（1）求证：

DE=DF；

（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形（不另外添加辅助线，无需证明）．

3．如图所示，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去……

（1）记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，请求出a2，a3，a4的值．

（2）根据以上规律写出an的表达式．

一、1．解法一：

如图所示，设AQ，SC与DP，BR分别相交于点E，H，F，G．

因为∠1+∠2=90°

，∠3+∠2=90°

，所以∠1=∠3．

在△DAE与△CDF中，∠1=∠3，∠AED=∠DFC=90°

，AD=CD，

所以△DAE≌△CDF（A．A．S．），所以AE=DF．

同理可得BH=CG=DF=AE．

又因为SF∥AE，AS=SD，所以EF=DF，

同理可得AE=EH=BH=HG=CG=FG=DF=EF．

又因为S正方形EFGH=5，所以EF=

．所以AE=

，DE=2

在Rt△AED中，由勾股定理，得AE2+DE2=AD2，即（

）2+（2

）2=AD2，

所以AD=5．即大正方形ABCD的边长为5．

解法二：

如图，延长FS，过点A作AM⊥FS于点M．把△DFS绕S点逆时针旋转180°

到△AMS的位置，易得四边形AEFM是正方形．用同样的方法又得到三个小正方形，

所以S正方形ABCD=5S正方形EFGH=5×

5=25．所以AD=5．即大正方形ABCD的边长为5．

解法一用一般的逻辑推理，而解法二从旋转角度去考虑，简单易懂．旋转不改变图形状和大小这一性质用许多推理与计算中有较大的用处．

二、2．解：

（1）EO与FO的长度相等．理由：

因为EC平分∠ACB，所以∠OCE=∠BCE．

又因为EF∥BC，所以∠OEC=∠BCE，所以∠OCE=∠OEC，所以OE=OC．

同理可得OF=OC，所以OE=OF．

（2）当点O是AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：

因为OE=OF，OA=OC，所以四边形AECF是平行四边形．

又因为EC平分∠ACB，FC平分∠ACD，所以∠ACE=

∠ACB，∠ACF=

∠ACD，

所以∠ACE+∠ACF=

（∠ACB+∠ACD）=

×

180°

=90°

，所以AECF是矩形．

（3）当O点是AC的中点，∠ACB=90°

时，四边形AECF是正方形，

由

（1），

（2）可知四边形AECF是正方形．

又因为EF∥BC，所以∠EOC+∠ACB=180°

，所以∠ACB=90°

本题综合了角平分线的定义，平行四边形、矩形、正方形的判定等知识点．在问题中，三问是层层递进的，对于理解和掌握矩形、正方形的判别是大有好处的．

三、3．解：

方案一：

连结两条对角线，将正方形分为四个等腰直角三角形，如图

（1）所示．方案二：

连结正方形两组对边的中点，将正方形分为四个小正方形，如图

（2）所示．方案三：

连结AC，BD交于点O，过点O作EG交AB于E，交CD于G，过点O作FH⊥EG，交AD于H，交BC于F．如图（3）所示．点拨：

若利用旋转变换本题不难解释，以四份中的一份为基本图形绕点O依次旋转90°

，180°

，270°

前后图形共同组成的正方形．

四、4．10

1．解：

规律：

重叠部分的面积总等于

理由：

因为四边形ABCD是正方形，

所以OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°

，∠BOC=∠EOF=90°

所以∠BOC-∠BOF=∠EOF-∠BOF，即∠BOE=∠COF．

所以△BOE≌△COF，所以S△BOE=S△COF，

所以两正方形重叠部分的面积=S△BOC=

S正方形ABCD=

所以当正方形A′B′C′D′绕O点旋转时，两正方形重叠部分的面积不变，总是

．

先利用旋转变换，当OA′，OC′分别经过点B，C时，重叠部分为△BOC，由此猜想重叠部分面积为

，然后再进行说明．

2．

（1）证明：

因为AB=AC，所以∠B=∠C．

因为∠BED=∠CFD=90°

，BD=CD，所以△BDE≌△CDF，所以DE=DF．

（2）解：

∠A=90°

，四边形AFDE是平行四边形．

（2）的方法很多，如∠B=45°

，或BC=

AB，或DE⊥DF，或F为AC中点，或DF∥AB等．

3．解：

（1）因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC=1，∠B=90°

，

所以在Rt△ABC中，AC=

同理，AE=2，EH=2

，…，即a2=

，a3=2，a4=2

（2）an=（

）n-1（n为正整数）．