完整版高等数学微分方程试题.docx
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完整版高等数学微分方程试题
第十二章微分方程
§12-1微分方程的基本概念
、判断题1.y=ce2x（c的任意常数）是y=2x的特解。
2.y=（y）3是二阶微分方程。
3.微分方程的通解包含了所有特解。
4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。
5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
二、填空题
微分方程.（7x-6y）dx+dy=0的阶数是
函数y=3sinx-4cosx微分方程的解。
A）（y）+x2y+x2=0（B）（y）2+3x2y=x3（C）y+3y+y=0（D）y-y2=sinx
222x3x
1．yCx2C2（其中C为任意常数）2.yC1e2xC2e3x（其中C1,C2为任意常数）
五、质量为m的物体自液面上方高为h处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。
用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
12-2可分离变量的微分方程
一、求下列微分方程的通解
1．sec2.tacydx+sec2ytanxdy=0
22
2．（x+xy2）dx-（x2y+y）dy=0
3．（ex+y-ex）dx+（ex+y-ey）dy=0
4．y=cos（x-y）.（提示令.x-y=z）
、求下列微分方程满足所给初始条件的特解
1．cosydx+（1+e-x）sinydy=0.yx=0=
4
、设f（x）=x+0xf（u）du,f（x）是可微函数，求f（x）
四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连
线。
五、船从初速v0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。
已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。
12-3齐次方程
一、求下列齐次方程的通解
yyy
1xy-xsin02（x+ycos）dx-xcosdy=0
xxx
求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
三、求方程：
（x+y+1）dx=（x-y+1）dy的通解
P（x，y）,曲线孤与OP直线段OP所围图形的面积为x2，求曲线孤OA的方程。
12.4一阶线性微分方程
一、求下列微分方程的通解
1.
xy+y=xex2.y+ytanx=sin2x
二、求下列微分方程满足初始条件的特解
四、质量为M0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m克的速率
减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。
五、
12-4全微分方程
一、求下列方程通解
22
1．[cos（x+y2）+3y]dx+[2ycos（x+y2）+3x]dy=0
2.（xcosy+cosx）y-ysinx+siny=0
3.eydx+（xey-2y）dy=0
、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解
1ydx-xdy+y2xdx=0
2y（2xy+ex）dx-exdy=0
三、[xy（x+y）-f（x）y]dx+[f（x）+x2y]dy=0为全微分方程，其中函数f（x）连续可微，f（0）=0,试求函数f（x），并求该方程的通解。
12-7可降阶的高阶微分方程
一、求下列各微分方程的通解
1．y=xsinx2.y-y=x
4.
3.yy+（y）2=y
y（1+ex）+y=0
二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
1．2y=sin2yyx0yx01
2
2.xy-ylny+ylnx=0yx12yx1e
四、一物体质量为m,以初速度Vo从一斜面上滑下，若斜面的倾角为，摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。
12-8高阶线性的微分方程
一、选择题
1．下列方程中为线性微分方程
1y=c1x2+c2x2lnx（c1c2是任意常数）是方程x2y-3xy+4y=0的通解
、设y1（x）y2（x）是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且y1（x）y2（x）.y3（x）.线性无关，
证明：
微分方程的通解为：
yc1y1（x）c2y2（x）（1c1c2）y3（x）
12-9二阶常系数齐次线性微分方程
、选择题
1以y1=cosx,y2=sinx为特解的方程是
（A）y
y
0（B）y
y0
（C）y
y
0（D）yy
0
2．微分方程2
yyy
0的通解是
（A）y
x
c1e
2x
c2e（B）
xyc1e
x
c2e2（
C）y
x
x2c1ec2e2
（D）y
x2xc1ec2e
3．常微分方程
y（12
）y12
y0，
（其中
1,2是不等的系数），
在初始条件
y1x=0=y
x0
0特解是
（A）y=0
（B）y=c1e1x
2xc2e2
（C）y
1
2
2x（D）y
（1
2）x2
4．y
e是微分方程y
py
6y
0的一个特解，则此方程的通解是
（A）
2x3xyc1ec2e
（B）
y（c1xc2）e2x
（C）
2x3xyc1ec2e
（D）
ye2x（c1sin3x
c2cos3x）
5．y
（A）
c1exc2ex是微分方程
的通解
yy0（B）y
y
0（C）yy0（D）
yy0
二、求下列微分方程的通解
1．y
5y0
2．y4y4y
0
三、求下列微分方程满足初始条件的特解
1．y2y10y0yx01y1x02
d2xdx
2．3x0
dtdt
四、一质量为m的质点由静止（t=0,v=0）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大小成正比（比例系数为k），求此质点的运动规律。
12-10二阶常数非齐次线性微分方程
、选择题
2.微分方程y
yex1的特解y*形式为
（A）aex
b（B）axexb（C）aex
bx（
D）axexbx
3．微分方程
2x
y2uxe
的特解y*形式为
2x
2x
2x
2
（A）x（ax
b）e（B）（axb）e（C）
xe
（D）（axbx
4．微分方程
y4ycos2
x的特解y*形式为
（A）acos2x
（B）axcos2x
（C）x（acos2x+bsin2x）
（D）acos2x+bsin2x
5.微分方程
2
yyxsin
x的特解形式为y*=
（A）（ax+b）
sin2x
（B）（ax+b）sin
22
2x+（cx+d）cos2x
（C）（ax+b）cos2x+（cx+d）sin2x
（D）（ax+b）cos2x+（cx+d）sin2x+ex+f
6.微分方程
y4y5y
exsin5x的特解形式为
（A）aex
bsin5x
（B）aexbcos5xcsin5x
（C）axex
bsin5x
（D）axex
bcos5x
csin5x
二、求下列各方程的通解
1．y2y
xyxe
2．
y7y
6ysinx
（A）ax
（B）ax+b
c）e2x
（D）ax2bx
2
（C）ax2
四、已知二阶常系数微分方程yy
y（x2）有特解y*ex1x26x，求
的值，并求该方程的通解
五、k为常数。
试求y2kyk2yex的通解。
七、一链长18cm，挂在光滑的圆钉上，一边垂下8cm，另一边垂下10cm，问整个链子滑过钉子需要多少时间？
第十二章自测题一
填空题
1．已知曲线y=y（x）过点（0，12）且其上任一点（x,y）处的切线斜率为xln（1+x2），则f（x）=
3。
微分方程ydx+（c2-4x）dy=0的通解为
4．微分方程yylnxax的通解为
5．已知某四阶线性齐次方程有四个线性无关的解e-x,ex,sinx,cosx,则该微分方程为
二、选择题
三、求解下列微分方程
1
2.求yyx的通解
1ex
四、求yyxsinx的通解。
五、已知y1xexe2x，y2xexex，y3xexe2xex是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
六、已知函数f（x）可微，且对任意实数x,y满足：
f（x+y）=exf（y）eyf（x）,求此函数f（x）.
七、火车沿水平直线轨道运动，设火车质量为m,机车牵引力为F,阻力为a+bv,其中a,b为常
数，v为火车的速度，若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动规律s=s（t）.
第十二章自测题二
一、单项选择题
１．设y=f（x）是方程y2y4y0的解，若f（x0）0,则f（x）在x0点
（A）取得极大值；（B）取得极小值；（C）某邻域内单调递增；（D）某邻域内单调递减；
2x
２．函数y3e2x是方程y4y0的
（A）通解；（B）特解；（C）解，但既非通解也非特解（D）以上都不对
３．微分方程2y5ycos2x的特解应具有形式（其中，a,b,c为常数）
22
（A）x（acosxbsinx）;（B）axbcos2xcsin2x
（C）a+bcos2x;（D）ax2+bcos2x+csin2x
3x
4.微分方程y6y9yxe3x特解应具有形式
A）（Ax+Bx）e3x（B）x（Ax+B）e3x（C）x2（Ax+B）e3x（D）Ax3e3x
5.设一动点以等加速度a作直线运动，且其初速度为v0,初始位移为s0，则此质点规律是
1222
A）s=v0+s0;（B）s2atv0ts0（C）sv0ts0;（D）satv0ts0
6函数f（x）满足关系式f（x）20xf（t）dt1n2,则f（x）
（A）1n2·ex;（B）1n2·e2x;（C）ex+ln2;（D）e2x+ln2.
、填空题
1.微分方程yy2y0的通解y=
2.以122为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是
3.以ex,exsinx,excosx为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是
4.微分方程y2y3通解y
三、判断下列方程的类型并求其解
１．求ydx（3x2y5）dy0满足yx02的特解
12y２．求（xey+1）dx+（x2eyy）dy=0的通解
2四、求微分方程的y5y6yxe2x的通解
22五、已知函yf（x）的图形经过原点和点M（1，2），且满足微分方程yy20，求1y
专业班级学号姓名成绩时间189f（x）.
六、设二阶常数线性微分方程yayyex的一个特解为ye2x（1x）ex,试确定常数,,,并求该方程的通解
七、设函数f（x）连续可微，f
（1）1,且对任意闭曲线C都有4x3ydxxf（x）dy0,
C
求f（x）.
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