抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程精文档格式.docx
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由弦长公式得θ
θθ2
2
212
sin2cot1（2cot1p
pyyAB=+=-+=结论3:
过焦点的弦中通径长最小
pp
2sin21sin22≥∴
≤θ
θ∴AB的最小值为p2,即过焦点的弦长中通径长最短.
结论4:
（8
3
2为定值pABSoAB=∆
（8
sin2sinsin2221sin21sin21sin2
1sin21322
20PABSpppABOFBFAFOFAFOFBFOFSSSOABAFOBFOAB=
∴=
⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=
+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5:
（12
21pyy-=（2x1x2=4
p
证44（,2,22
221212
22211PP
yyxxpyxpyx==∴==结论6:
以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
设M为AB的中点,过A点作准线的垂线AA1,过B点作准线的垂线BB1,过M点作准线的垂线MM1,由梯形的中位线性质和抛物线的定义知2
1
11ABBF
AFBBAAMM=
+=
故结论得证
结论7:
连接A1F、B1F则A1F⊥B1F
FAAFOAFOAFAAOFAAAFAFAAAFAA11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=
同理︒=∠∴∠=∠901111FBAFBBFOB∴A1F⊥B1F结论8:
（1AM1⊥BM1（2M1F⊥AB（3BFAFF
M⋅=2
（4设AM1与A1F相交于H,M1B与FB1相交于Q则M1,Q,F,H四点共圆（52
1212
4MMBMAM=+
由结论（6知M1在以AB为直径的圆上∴AM1⊥BM1
11FBA∆为直角三角形,M1是斜边A1B1的中点1
11111111AFAFAAFAMFAMFMMA∠=∠∠=∠∴=∴
︒=∠=∠+∠9011111MAAMFAFAA︒=∠+∠∴90111FMAAFA
∴M1F⊥AB
BFAFF
M⋅=∴2
1AM1⊥BM1FBFA90111⊥︒=∠∴又BAM
︒=∠∴90FBA11所以M1,Q,F,H四点共圆,2
ABBMAM=+
（（（2
12
11
42MMMMBBAA
BF
AF==+=+=
结论9:
（1、AO、B1三点共线（2B,O,A1三点共线
（3设直线AO与抛物线的准线的交点为B1,则BB1平行于X轴
（4设直线BO与抛物线的准线的交点为A1,则AA1平行于X轴
因为pypykyppyyxykoBoA22121
11122,221-=-====
而221pyy-=
所以122
22oBoAkpyyp
k=-=-=
所以三点共线。
同理可征（2（3（4结论10:
FBFA211=+证:
过A点作AR垂直X轴于点R,过B点作BS垂直X轴于点S,设准线与x轴交点为
E,θ的倾斜角为因为直线
L则θθcos1cos-=
∴=+=+=PAFAFAFPFREFERP
AFθ
cos11-=
∴同理可得
PBFθcos11+=∴p
FBFA2
11=+
结论11:
A
ABBEAEBAAFABBBFFA
BFEAEBAAEFBB111
1111
111,////=
∴
===
EBBEAAEBB90111111∠∠∴∆∆∴︒=∠=∠=相似于EAAEBBEAA
PEQEFBEFAEF90EBBBEFEAAAEF11∠∠∠∴︒∠∠∠∠平分角即==+=+
0KKXBEAEBE
AEBF
AFBEAE=+轴对称关于和直线直线∴=
（490AEBFBEFAF2
︒∠∴====时,当π
θ
2px
y2p-xkyL22=⎪⎭
⎫
⎝⎛=≠
将其代入方程的方程为时,设直线当π
θ（
k
kpxxy,B（x,y,A（x04pk2xp（k-xk2
2212211222
+=+=++则设得x1x2=4p2
假设12
2y1KKBEAE2211BEAE-=+⋅+∴
⋅⊥pxypx=-则AEBEAFAE
（1PEQ（2
（3KK0BFBE
（4AEBE,AEBE
EFπ
θθ∠=+==
⊥≠
线段平分角当时当时不垂直于
21
|CD|1|AB|1=+⎪
⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛
∴⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=2px2px-2p-xk2p-xk2px2px-yy21212121即
（
（（（（
（（
22222222
21212
2121k2p01k4p1kxx2pxx1kkkkp-+=
+∴=++-+-+∴
结论得证假设错误不可能∴∴∴=-∴02
结论12:
过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD,则
推广与深化:
深化1:
性质5中,把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E（a,0,则有pa2yy21-=.
设AB方程为my=x-a,代入px2y2=.得:
0ap2pmy2y2
=--,∴pa2yy21-=.
深化2:
性质12中的条件改为焦点弦AB不垂直于x轴,AB的中垂线交x轴于点R,则
|AB||FR|=
证明:
设AB的倾斜角为a,直线AB的方程为:
2p
x（tgay-=,代入px2y2
=得:
px24ppxx（atg2
=+-,
即:
4papctg2p（xx2
=++-.
由性质1得
asinp
2apctg2p2pxx|AB|2221=
+=++=,
又设AB的中点为M,则
|
acosapctg||acos2p
2xx||FM|221=-
+=,∴
asinp|acosapctg||acos||
FM||FE|222=
==,∴21|AB||FR|=
.
深化3:
过抛物线的焦点F作n条弦nn2211BABABA⋯
、、,且它们等分周角2π,则有
（1
∑
=⋅n
iii|FB||FA|1
为定值;
（2
∑=n
ii
i
|B
A|1
为定值.
（1设抛物线方程为
a
FxA,cos1p
1=∠θ-=
由题意
π-+=∠⋯π+=∠π+
=∠n1
naFxAn2aFxA,naFxAn32,
所以222
211
pasinpacos1pacos（1pacos1|FB||FA|1=-=+π-⋅-=⋅,同理22nn2
222p
n1
na（sin|FB||FA|1,,pna（sin|FB||FA|1π-+=⋅⋯π+=⋅
易知
2nn1na（sinn2a（sinna（sinasin2222=
π-++⋯+π+π++,∴
222n
i2222
iip2np
na（sinpna（sinpasin|FB||FA|1=π-++⋯+π++=⋅∑
=.
（2∵asinp
2acos1p2acos（1pacos1p|BA|2211=
-=+π-+-=
∴p2n1
na（sin|
BA|1
,p2asin|
2nn2
11π-+
=⋯=
p4np2
na（sinp2na（sinp2asin|BA|12n
i22
ii=π-++⋯+π++=∑
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