中考数学培优满分专题突破专题4函数方案与决策docxWord下载.docx
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解得t=3.
相遇后相距400米时,y-y2=400,
即200t-(-200t+1600)=400.
解得t=5.
综上所述,当两车相距的路程是400米时,t的值为3或5.
(2)当1号车第三次恰好经过景点C时,由题意,得2001=800X2+800X4X2.解得t=40.
这一段时间内它与2号车相遇过5次.
情况一用时为:
型4=16
200
200:
情况二冃时为:
型*=16+亠
200200
・・・16备16V16+盘Q0),
・・•情况二用时较多.
(1)由题意知,此时1号车正行驶在CD边上,乘1号车到A出口的路程小于2个边长,而乘2号车到A出口的路程大于3个边长,所以乘1号车用时比2号车少(两车速相同).
(2)若步行比乘1号车用时少,贝—800X2—s
小,口50200
解得s<
320.
・••当0VsV320时,选择步行.
同理可得,
当320<
800时,选择乘1号车.
当s=320时,选择步行或乘1号车.
满分技法■一次函数决策型应用题通常是从函数图彖或图表中得出需要的信息,然后利用待定系数法求岀一次函数解式.通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围,进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值.
满分变式必练A
1•某校为了在九月份迎接高一年级的新生,决定将学生公寓楼重新装修,现学校招用了甲、乙两个工程队.若两队合作,8天就可以完成该项工程;
若由甲队先单独做3天后,剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成.
(1)求甲、乙两队工作效率分别是多少?
(2)甲队每天工资3000元,乙队每天工资1400元,学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成,若完成该工程甲队工作m天,乙队工作n天,求学校需支付的总工资讥元)与甲队工作天数m(天)的函数关系式,并求出m的取值范圉及w的最小值.
(1)设甲队单独完成需要x天,乙队单独完成需要歹天.
由題意,得'
IXy
)=12,
卩=24
经检验,f-12,
y=24
是分式方程组的解.
・・•甲、乙两队工作效率分别是存哙
(2)设乙先工作x天,再与甲合作正好如期完成.则旦+卩二解得%=6.
2412
•••甲工作6天.
丁要求12天完成任务,A6^/7^12・
丁完成该工程甲队工作m天,C队工作n天,
弋+芋1.爲=24—加
Aw=3000m+1400(24-2m)=200^+33600.
V200>
0?
:
.m=6时,此时■费用最小.
Aw的最小值为200X6+33600=34800(元).
2.我省某苹果基地销售优质苹果,该基地対需要送货且购买量在2000kg-5000kg(含2000kg和5000kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案):
方案A:
每千克5.8元,由基地免费送货.
方案B:
每千克5元,客户需支付运费2000元.
(1)请分别写出按方案A,方案B购买这种苹果的应付款y(元)与购买量x(kg)之间的函数表达式;
(2)求购买量x在什么范围时,选用方案A比方案B付款少;
(3)某水果批发商计划用20000元,选用这两种方案中的一种,购买尽可能多的这种苹果,
请直接写出他应选择哪种方案.
解:
(1)方案A:
函数表达式为y=5・8x;
函数表达式为y=5x+2000・
(2)由题意,得5.8x<
5x+2000.解得x<
2500.
则当购买量x的范围是2000WxV2500时,选用方案A比方案B付款少.
(3)他应选择方案B,理由如下:
方案A:
苹果数量为200004-5.8^3448(kg);
方案B:
苹果数量为(20000-2000)一5=3600(kg),
V3600>
3448,方案B买的苹杲多.
3.“低碳环保,绿色出行”的理念得到广大群众的接受,越來越多的人再次选择自行车作为出行工具,小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆,爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间,休息了5分钟,再以m米/分的速度到达图书馆,小军始终以同一速度骑行,两人行驶的路程y(米)与时间x(分钟)的关系如图,请结合图象,解答下列问题:
(1)a=,b=,m=;
(2)若小军的速度是120米/分,求小军在途屮与爸爸第二次相遇时,距图书馆的距离;
(3)在
(2)的条件下,爸爸自第二次出发至到达图书馆前,何时与小军相距100米?
(4)若小军的行驶速度是v米/分,且在途屮与爸爸恰好相遇两次(不包括家、图书馆两地),请直接写出v的取值范围.
(1)1500十150=10(分钟),10+5=15(分钟),
(3000-1500)十(22.5-15)=200(米/分)・
故答案为:
10,15,200.
⑵线段BC所在直线的函数解析式为y=1500+200(x一⑸=200x
y俅)
—1500;
线段0D所在的直线的函数解析式为v=联立两函数解析式,得『=205-1500・
>
=12(k・
・•・3000-2250=750(米).
答:
小军在途中与爸爸第二次相遇时,距图书馆的明离是7丸来.
⑶根据题意,得|200x-1500-120x=100声得心=羊=17.5,小=20.答:
爸爸自第二次出发至到达图书馆前,17.5分钟訂和20分钟时与小军相距100米.
⑷当线段0D过点B时,小军的速度为1500払15=100(米/分钟);
当线段0D过点C时,小军的速度为3000-22.5=爭柑分旳.
结合图形可知,当WgY竽时,小军在途中与爸爸恰好相遇两次(不包括家、图书馆两地).
类型2反比例函数的应用
【例2】某公司从2014年开始投入技术改进资金,经技术改进后,其产品的成本不断降低,具体数据如下表:
年度
2013
2014
2015
2016
投入技改资纭(万元
2.5
3
4
4.5
产品成本3(万元件)
7.2
6
斗
(1)请你认真分析表中数据,从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律,给出理由,并求出其解析式;
(2)按照这种变化规律,若2017年已投入资金5万元.
1预计生产成本每件比2016年降低多少万元?
2若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元,则还需要投入技改资金多少万元?
(结果精确到0.01万元)
(1)根据实际题意和数据特点分情况求解,根据排除法可知其为反比例函数,利用待定系数法求解即可;
(2)直接把x=5万元代入函数解析式求解;
②直接把y=3.2万元代入函数解析式求解.
(1)设其为一次函数,解析式为y=kx+b.
当x=2.5时,v=7.2;
当x=3时,v=6.
.p・5k+b=7.2'
%+b=6.
解得k=-2.4,b=13.2.
・・・一次函数解析式为丫=一2.4x+13.2.
把x=4,y=4.5代入庇函数解析式,左边H右边.
・・・其不是一次函数.
同理,其也不是二次函数.
设其为反比例函数,解析式为>•=纟
X
当x=2.5时,>=7・2>可得72=—.
"
2.5
解得k=is.
・•・反比例函数是y=~.
验证:
当x=3时,)=乎=6,符合反比例函数.
同理,可验证x=4时,y=4.5;
x=4・5时,3=4成立.
故可冃反比例函数歹=呈表示其变化规律.
(2)®
当x=5万元时,y=3・65
4—3.6=0.4(万元).
・••生产成本每件比2016年降低0.4万元.
②当歹=3.2万元时,3.2=—»
/.%=5.625.
x
A5.625—4.5=1.125^1.13(万元).
还需投入技巧资金约1.13万元.
满分技法》函数应用的解题关键是根据实际意义列出函数关系式,从实际意义屮找到对应的变量的值,利用待定系数法求出函数解析式,要注意用排除法确定函数的类型.再根据自变量的值求出对应的函数值•同时结合图象确定增减性,确定口变量或函数的值或取值范圉.
1•丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售,记汽车行驶时间为t小时,平均速度为V千米/时(汽车行驶速度不超过100千米/时).根据经验,V,t的一组对应值如下表:
巩千米时)
75
SO
85
90
95
讣时)
4.00
3.75
3一53
3.33
3.16
(1)根据表中的数据,求出平均速度v(千米/时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式;
(2)汽车上午7:
30从丽水出发,能否在上午10:
00之前到达杭州市场?
请说明理由;
(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5WtW4,求平均速度v的取值范围.
⑴根据表格中数扌乱可知◎=£
t
•・g75时,r=4,
・・・“=75X4=300・
・300
・.D=.
(2)不能到达.理由如下:
710-7.5=2.5,
・・・r=2.5时,u=—=120100.
・•■汽车上午7:
30从丽水出发,不能在上午10:
00之前到达杭州市场.
(3)・・・3.5WrW4,・・・75W°
W型.
7
平均速度0的取值范围是75WoW型.
2.嘉淇同学家的饮水机中原有水的温度为20°
C,其工作过程如图所示,在一个由20°
C加热到100°
C再降温到20°
C的过程中,水温记作y(°
C),从开始加热起时间变化了x(分钟),加热过程中,y与x满足一次函数关系,水温下降过程中,y与x成反比例,当x=20时,y=40.
(1)写出饮水机水温的下降过程中y与X的函数关系式,并求出X为何值时,y=100;
(2)求加热过程中y与x之间的函数关系式;
(3)求当x为何值时,y=80.
问题解决
若嘉淇同学上午八点将饮水机通电开机后即外出散步,预计九点前回到家中,若嘉淇想喝到不低于50°
C的水,直接写出外出时间m(分钟)的収值范围.
工作过程:
通电开机后,饮水机自动开始加热.当加热到100・C时门动停止加热,随后水温开始卜•降.X水温降至20・C时.饮水机乂自动丿F始加热….匝复上述过程
(1)在水温下降过程中,设水温与开机时间x(分)的函数关系式为>•=-.X
依扌苦題意,得40=—,即d=800・
20
故此函数关系式为>•=—.
当y=100时,100=型.解得x=&
(2)设水温yfC)与开机时间H分钟)的函数关系为y=kx+b.
8/c+b=100,*=10,
依据題意,得,解得。
b=20・6=20・
故此函数解析式为>•=10x4-20.
(3)当y=80时,
加热过程中:
15+20=80,解得x=6;
降温过程中:
—=80・解得x=10.
综上所述,x=6或10时,y=80.
问题解决:
外出时间m(分钟)的取值范围为3WmW16或43WmW56.
3.月电科技有限公司用160万元,作为新产胡的研发费用,成功研制出了一种市场急需的电子产品,已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为4元/件,在销售过程中发现:
每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示,其中AB为反比例函数图象的一部分,BC为一次函数图象的一部分.设公司销售这种电子产品的年利润为s(万元).(注:
若上一年盈利,则盈利不计入下一年的年利润;
若上一年亏损,则亏损计作下一年的成本)
(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式;
(2)求出第一年这种电子产品的年利润s(万元)与x(元/件)之间的函数关系式,并求出第一年年利润的最大值;
(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s(万元)取得最大值时进行销售,现根据第一年的盈亏情况,决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x>8),当第二年的年利润不低于103万元时,请结合年利润s(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图,求销售价格x(元/件)的取值范围.
y(万件)
40
3()
10
(1)当4^xW8汀,彳殳),=£
x将〃(4,40)K入,得k=4X40=160・/.V与x之间的函数关系式为,=西^;
当8VXW28时,设y=kfx+b.
将5(820),C(2&
0)代入,碍
眼+b=20,
2即+b=0,
解得
尸=-1,
b=2&
:
.y与x之间的函数关系式为y=-x+2&
综上所述.
涪WxW8),
l-x+28(8<
xW28)・
(2)当40W8时.5=(x~4^—160=(x-4>
—-160=
XX
•••当4WxW8时.s^x的增大而增大,
当8<
xW28时,5=(x-4>
—160=(x-4X-x+28)-160=-(x-16)~16.・••当x=16时,$~=—16・
・・・当每件的铳售价塔定为16元时.第一年年利润的聂大值为一16万元.
(3):
・第-年的年利润为一16万元,
.\16万元应作为第二年的成本.
又Vx>
8,
・・.第二年的年利測s=(x-4X-x+28)—16=—工+32丫一12&
令5=103,则103=-*+32r-128.
解得xi=ll,X2=21・
在平面宜角坐标系中.画出S与X的函数示意田,如图:
观秦图可知,当SM103时,11WxW21.
・••当110W21时.第二年的年利涸s不低于103万;
t・
类型3利用二次函数进行方案设计与决策
【例3】某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.
若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为・=一為+150,成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为w内(元).(利润=销售额一成本一广告费)
若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各列不确定因素影响,成本为a元/件Q为常数,10WaW40),当月销量为x(件)时,每月咄澈纳元的附加费,设月利润为w外(元).(利润=销售额一成本一附加费)
⑴当x=1000时,y=元/件,w内=元;
(2)分别求出\v内,w外与x间的函数关系式;
(不必写x的取值范围)
(3)当x为何值时,在国内销售的月利润最大?
若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a的值;
(4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?
[参考公式:
拋物线歹=兄+加+c(dH0)的顶点坐标是(一§
・仏—牛
“2a4a
【思路分析】解题时可充分利用已经提供的函数关系式、国内销售和国外销售的利润计算公式以及抛物线的顶点公式,理清数量关系,降低解题难度.
(1)14057500
(2妙内=x(y-20)-62500=—丄2+i30x-62500,
100
需迅+(150_心・
(3)当x=—=6500时内最大•
2X(-而)
・・・在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,
•:
由题意'
得
0—(150—a)24X(
4X(_loo)
1
•)X(-62500)-1302
4X(
100^
解得ai=30,血=270(不合题意,舍去),
所以a=30.
(4)当x=5000时,
w内=337500,\¥
外=一5000a+500000.
若w内<
w外,则a<
32.5;
若w内=w外,则4=32.5;
若w内>
w夕卜,则a>
32.5.
所以,当10WaV32.5时,选择在国外销售;
当a=32.5时,在国外和国内销售都一样;
当32.5<
aW40时,选择在国内销售.
易错提示・解题时需注意不要忽视成本a(元/件)的取值范围1O0W4O,否则会影响对第⑶小题的结果进行合理収舍,以及第(4)小题不同情况下成本范围的确定.
满分技法》应用二次函数解决决策性问题时,首先建立二次函数的关系模型,结合实际具体情况得到方程或不等式的自变量的取值范I韦I,利用二次函数的图象特征或二次函数增减性,从而确定在自变量取值范围内的函数最大值(最小值),进而确定最佳方案(或进行合理性决策).
1•随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”己成为很多市民出行的选择,李华从文化宫
站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共亨单车回家,设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位:
千米),乘坐地铁的时间y】
(单位:
分钟)是关于x的一次函数,其关系如下表:
地铁站
A
B
C
D
E
班千米)
8
9
11.5
13
(分钟)
18
22
25
28
(1)求刃关于X的函数表达式;
⑵李华骑单车的时间伸位:
分钟)也受X的影响,其关系可以馬=护一山+78来描述,请问:
李华应选择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的亦间最短?
并求出最短
时间.
⑴设八=丘+"
将(8,18),(920)代入,得
欧+b=18,
9k+b=2Q.
0=2.
故戸关于X的函数表达式为yi=2x+2.
(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为“则丁=必+旳=2工+2+.—llx+78=.—氐+80.
■2
当x=—
—9
—=9时,丿有最小值,jmin=
2X-
2
4X-X80-912
=39.5.
李华应选择在B站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短,最短时间为39.5分钟.
2.
解得'
伍=1・
为衡量某种车辆的性能,研究制定了行驶指数P,P=K+1000,而K的大小与平均速度v(km/h)和行驶路程s(km)有关(不考虑其他因素),K由两部分的和组成,一部分与/成正比,另一部分与sv成正比.在实验屮得到了表屮的数据:
速度。
60
路程$
70
指数P
1000
1600
・・・P=—沪+切+1000.
(2)当P=500,。
=50时,
则500=-502+505+1000.
解得s=40,
故s的值为40.
(3)当5=180时,P=-^+180^+1000.
V-l<
0,
・・•函数图象开□向下,有最大值.
则当⑴一色=—时,P有最大值蛭二兰=4X(-l)X1000-180^91Q0
la2X(-1)4a4X(-1)
即若P值最大,0=90.
3.宏兴企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成.己知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为y件,y与x满足如下关系:
7・5x(0WxW4)j
y=■
5x+10(4<
x^l4).
(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件?
(2)设第x天生产的产品成本为P元/件,P与x的函数图象如图.工人甲第x天创造的利润为W元,求W与x的函数关系式,并求出第几天时,利润最大,最大利润是多少?
⑴根据题意,得
若7.5工=70,—>
4,不符合题意;
A5x+10=70?
解得x=12・
工人甲第12天生产的产品数量为70件.
(2)由函数图象知,当0WxW4時,P=40・
|4k+b=40,]14k+b=50.
当4VxW14时,设P=kx+b.
将(4,40),(14;
50)代入,得
解得'
.P=x+36・
0=36.
1当0WxW4时,W=(60-40)X7.5x=150x.
TW随x的增大而增大,
・・.当x=4时,W最大=600.
2当4VxW14时,W=(60-X-36)(5x+10)=~5x2+110x+240
=-5(x-ll)2+845.
・••当x=ll时,W最大=845.
V845>
600,
・••当x=ll时,