北京市西城区(北区)2012-2013学年高二上学期期末考试数学(文)试题.doc
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北京市西城区（北区）2012—2013学年度第一学期高二年级期末考试数学（文科）试卷
试卷满分：
150分考试时间：
120分钟
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在直角坐标系xOy中，原点到直线的距离为（）
A. B. C.5 D.3
2.若双曲线（b＞0）的离心率为2，则实数b等于（）
A.1 B.2 C. D.3
3.已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，那么这个球的表面积是（）
A. B. C. D.
4.设函数的导函数为，则等于（）
A.2 B.1 C.0 D.－1
5.设x，y∈R，则“x＜0且y＜0”是“”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件
6.已知直线a和两个平面，给出下列两个命题：
命题p：
若a∥,a⊥，则⊥；
命题q：
若a∥,a∥,则∥。
那么下列判断正确的是（）
A.p为假 B.为假 C.p∧q为真 D.p∨q为真
7.函数的值域是（）
A.[0，2] B.[0，] C.[－1，2] D.[－1，]
8.已知矩形ABCD，AB=2，BC=x，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（）
A.当x=1时，存在某个位置，使得AB⊥CD
B.当x=时，存在某个位置，使得AB⊥CD
C.当x=4时，存在某个位置，使得AB⊥CD
D.x＞0时，都不存在某个位置，使得AB⊥CD
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。
9.命题“x∈R，”的否定是。
10.设a，b∈R，若直线与直线垂直，则实数a=。
11.下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于。
12.过点（3，）且与圆相切的直线方程是。
13.设函数的导函数，则不等式的解集为。
14.设点F1、F2为双曲线C：
的左、右焦点，P为C上一点，若△PF1F2的面积为6，则=。
三、解答题：
本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
设函数的导函数为，且。
（Ⅰ）求函数的图象在x=0处的切线方程；[来源:
Z.xx.k.Com]
（Ⅱ）求函数的极值。
16.（本小题满分13分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝CC1，M为AB的中点。
（Ⅰ）求证：
BC1∥平面MA1C；
（Ⅱ）求证：
AC1⊥平面A1BC。
17.（本小题满分13分）
已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且
，求直线l的方程。
18.（本小题满分13分）
设函数，其中，且a≠0.
（Ⅰ）当a=2时，求函数在区间[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）求函数的单调区间。
19.（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P－ABC中，底面△ABC为等边三角形，∠APC＝90°，PB＝AC＝2PA＝4，O为AC的中点。
（Ⅰ）求证：
BO⊥PA；
（Ⅱ）判断在线段AC上是否存在点Q（与点O不重合），使得△PQB为直角三角形？
若存在，试找出一个点Q，并求的值；若不存在，说明理由。
20.（本小题满分14分）
已知动圆P（圆心为点P）过定点A（1，0），且与直线相切。
记动点P的轨迹为C。
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点P的直线l与曲线C相切，且与直线相交于点Q。
试研究：
在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
【试题答案】
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1.B2.C3.B4.B5.A6.D7.D8.C
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.10.311.12.
13.14.9
三、解答题：
本大题共6小题，共80分。
（如有其他方法，仿此给分）
15.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）因为，1分
所以由，得a=3，3分
则。
所以，4分[来源:
Z_xx_k.Com]
所以函数的图象在x=0处的切线方程为。
6分
（Ⅱ）令，得x=－3或x=1。
7分
当x变化时，与的变化情况如下表：
x
（－∞，－3）
－3
（－3，1）
1
（1，+∞）
+
0
－
0
+
↗
27
↘
－5
↗
11分
即函数在（－∞，－3）上单调递增，在（－3，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增。
所以当x=－3时，有极大值27；当x=1时，有极小值－5。
13分
16.（本小题满分13分）
证明：
（Ⅰ）如图，设AC1∩A1C=O，连结MO，
因为直三棱柱ABC－A1B1C1，
所以四边形AA1C1C为矩形，
所以AO=OC1,
在△AC1B中，因为AO=OC1，AM=MB，
所以MO∥BC1.3分
又因为平面MA1C，MO平面MA1C，
所以∥平面MA1C。
6分
（Ⅱ）在矩形AA1C1C中，因为AC=CC1，
所以AC1⊥A1C。
8分
因为直三棱柱ABC－A1B1C1，
所以CC1⊥BC，
又因为AC⊥BC，AC∩CC1=C，
所以BC⊥平面ACC1A1，10分
所以BC⊥AC1。
11分
又因为BC∩A1C=C，AC1⊥A1C，
所以AC1⊥平面A1BC。
13分
17.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）设椭圆C的长半轴长为a（a>0），短半轴长为b（b>0），
则2b=4，。
2分
解得a=4，b=2。
3分
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为标准方程，且为。
5分
（Ⅱ）设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）,6分
由方程组，消去y，
得，7分
由题意，得，8分
且，9分
因为
，11分
所以，解得m=±2,
验证知△＞0成立，
所以直线l的方程为。
13分
18.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）由题意。
1分
令。
2分[来源:
Zxxk.Com]
当x变化时，的变化情况如下表：
x
1
（1，2）
2
（2，e）
e
+
0
－
－1
↗
极大值
↘
2－e
即函数在（1，2）上单调递增，在（2，e）上单调递减。
4分
因为，
所以当x=1时，在区间[1，e]上有最小值－1。
5分
（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞）。
6分
求导，得。
7分
当a＜0时，
由x＞0，得。
所以在区间（0，+∞）上单调递减；9分
当a＞0时，
令＝0，得x=a。
10分
当x变化时，与的变化情况如下表：
x
（0，a）
a
（a，+∞）
+
0
－
↗
极大值
↘
即函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减。
综上，当a＜0时，函数区间（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减。
13分
19.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
如图，连结PO，
在等边△ABC中，因为O是AC的中点，且AC=4，
所以BO⊥AC，BO=。
在直角△PAC中，因为O是斜边AC的中点，且AC=4，
所以PO=2，
在△PBO中，由PB=4，得PB2=PO2+BO2，[来源:
学_科_网Z_X_X_K]
所以BO⊥PO。
3分[来源:
学科网]
又因为AC∩PO=O，AC平面PAC，PO平面PAC，
所以BO⊥平面PAC，5分
又因为PA平面PAC，
所以BO⊥PA。
7分
（Ⅱ）答：
线段AC上存在点Q，使得△PQB为直角三角形。
具体过程如下：
如图，过P作PM⊥AC于点M，连结BM，
因为BO⊥平面PAC，
所以BO⊥PM。
又因为BO∩AC=O，BO平面ABC，AC平面ABC
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