全国高中数学联赛贵州省初赛试题.doc
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2014全国高中数学联赛贵州省初赛试题
本卷考试时间:
分钟满分:
分
一、填空题:
本大题共小题,每小题分,共分。
1.在中,已知,若,则.
2.桌面上放着个半径为的球,两两相切,在它上方的空隙里放入一个球使其顶点(最高处)恰巧和个球的顶点在同一平面上,则该球的半径等于.
3.已知函数(且),则.
4.某种电路开关闭合后,会出现闪动的红灯或绿灯.已知开关第一次闭合,出现红灯和出现绿灯的概率都是,从开关第二次闭合起,若前次出现红灯,则下次出现红灯的概率是,出现绿灯的概率是;若前次出现绿灯,则下次出现红灯的概率是,出现绿灯的概率是.则开关第3次闭合后出现红灯的概率是.
5.已知则取值范围是.
6.已知,则函数的最小值是.
7.已知函数与的图象有且只有三个交点,则实数的取值范围.
8.对任意,任意,都有恒成立(注:
为自然对数的底数),则实数的取值范围.
二、填空题:
本大题共小题,共分。
9.(本小题满分分)
已知数列中,,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前项和为,求证:
.
10.(本小题满分分)
已知函数.若实数使得
有实根,求的最小值.
11.(本小题满分分)
已知椭圆的离心率为点、分别为其左、右焦点,其右焦点到点的距离为一动圆过点,且与直线相切,记动圆圆心的轨迹为G.
(Ⅰ)在轨迹G上有两点,椭圆上有两点满足,,且求四边形PMQN面积的最小值.
(Ⅱ)过点且斜率为的直线与椭圆C相交于不同的两点A,B.问在直线上是否存在点D,使得是与无关的常数?
参考答案
1.解:
依题意,有
,即
由正弦定理,得
,即
又,所以
故.
2.解:
显然,开始的个球的球心位于边长为的正三角形的顶点处.若在上方空隙里放入半径为的小球,与它们相切,则其球心位于一正三棱锥的顶点,侧棱长为.于是该三棱锥的高满足
=
根据题意,得
解得
3.解:
依题意得的定义域为,且.
则.
故.
4.解:
开关第1次闭合后出现红灯的概率是
开关第2次闭合后出现红灯的概率是
所以,开关第3次闭合后出现红灯的概率是
5.解:
显然,所求代数式的最小值为,当且仅当时取到.
当时,.
于是.
同理:
,.
以上三式相加即得
.
6.解:
设,使
所以,
由,则
所以,
又令,则
所以,当,即时,
函数的最小值是
7.解:
令
在上单调递增,在上单调递减
当时,有,且,
由
所以,
8.解:
又
由对任意,任意,都有恒成立
即任意,恒成立
也即是任意,恒成立
令
所以,
即所以,
9.解:
(Ⅰ)由得
所以数列是一个以为首项,为公比的等比数列
故,即
(Ⅱ)
所以由柯西不等式得
10.解:
将改写为:
.
令
设为直线
(1)上一点,则.
又设原点到直线
(1)的距离为,那么
再令上增,故
.也就是的最小值为.
11.解:
(Ⅰ)由及解得
所以,椭圆
又焦点
则动圆过点,且与直线相切的圆心的轨迹方程G:
设直线的倾斜角为,
则直线的倾斜角为
所以,四边形PMQN面积
当且仅当,四边形PMQN面积取到最小值8.
(Ⅱ)假设存在点D,使得是与无关的常数
设直线
由与联立方程组得
当时
此时是与无关的常数
所以,在直线上存在点,使得是与无关的常数。
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