苏教版八年级第2章轴对称图形知识点及习题Word下载.docx

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三、画轴对称图形的步骤：

1、点出关键点。

找出所有的关键点，即图形中所有线段的端点。

2、确定关键点到对称轴的距离。

关键点离对称轴多远，对称点就离对称轴多远。

3、点出对称点。

4、连线。

按照给出的一半图形将所有对称点连接成线段。

5、轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。

轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，关键抓两点：

一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合。

四、等腰三角形的性质

1、有关定理及其推论

定理：

等腰三角形有两边相等；

等腰三角形的两个底角相等。

推论1：

等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

推论2：

等边三角形的各角相等，且每一个角都等于60°

.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

（二）等腰三角形的判定

1、有关的定理及其推论

定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（等角对等边）

推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2、有一个角等于60°

的等腰三角形是等边三角形。

推论3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

1.等腰三角形的性质

①.等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）

②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）

等腰三角形的其他性质：

2等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：

设腰长为a，底边长为b，则b/2<

a

④等腰三角形的三角关系：

设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°

—2∠B，∠B=∠C=（180°

-∠A）/2

等腰三角形的性质与判定

中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；

2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。

判定1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；

2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形

角平分线

1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；

2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。

判定;

1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；

2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；

2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。

判定：

1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；

2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。

角边等边对等角底的一半<

腰长<

周长的一半

等角对等边两边相等的三角形是等腰三角形

4、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：

可以证明两条直线平行。

数量关系：

可以证明线段的倍分关系。

常用结论：

任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：

三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：

三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：

三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：

三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：

三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

《2.4线段、角的对称性》

（1）

一、选择

1．下列命题中正确的命题有（　　）

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；

②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；

③经过线段中点的直线只有一条；

④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；

⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．如图，AC=AD，BC=BD，则（　　）

A．CD垂直平分ABB．AB垂直平分CD

C．CD平分∠ACBD．以上结论都不正确

3．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（　　）

A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm

二、填空题

4．在△ABC中，∠A=50°

，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是______°

．

5．已知：

如图，∠BAC=120°

，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADC=______．

6．在△ABC中，AB=AC=6cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE的周长为10cm，则BC=______cm．

7．在Rt△ABC中，∠C=90°

，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE：

∠EBA=1：

4，则∠A=______度，∠ABC=______度．

8．底边AB=a的等腰三角形有______个，符合条件的顶点C在线段AB的______上．

三、解答题

9．如图所示，在△ABC中，∠C=90°

，AB的垂直平分线交AC于D点，垂足为E，且∠1=2∠2，求∠A的度数．

10．已知：

如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于P．求证：

PA=PB=PC．

11．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，△ABC的周长为18厘米，△ABE的周长为10厘米，求BD的长．

12．如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线．

（1）若BC=13，求△AEG的周长．

（2）若∠BAC=126°

，求∠EAG的度数．

2.5等腰三角形的轴对称性

（1）

【基础训练】

1．等腰三角形是_______，它的对称轴是_______．

2．等腰三角形的两个底角_______，它的_______、_______、________互相重合，简称_______．

3．在△ABC中，AB＝AC．

（1）如果∠A＝70°

，那么∠C＝_______，∠B＝_______；

（2）如果∠A＝90°

，那么∠B＝_______，∠C＝_______；

（3）如果有一个角等于120°

，那么其余两个角分别是_______；

（4）如果有一个角等于55°

，那么其余两个角分别是_______．

4．

（1）如果等腰三角形的周长为14，底边长为6，那么腰长为_______；

（2）如果等腰三角形的周长为14，腰长为6，那么底边长为_______；

（3）如果等腰三角形的周长为10，一边长为4，那么另两边长分别为_______．

5．在△ABC中，若AB＝AC，∠BAC＝120°

，AD⊥BC，D为垂足，则∠BAD＝________．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为点E，如果AB＝10cm，并且△ABD的周长为23cm，求△ABC的周长．

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（）．

A．30°

B．40°

C．45°

D．36°

8．某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）．

A．9cmB．12cm

C．15cmD．12cm或15cm

9．若等腰三角形的两边分别是3和4，则此等腰三角形的周长为_______．

10．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°

，则其顶角的大小为_______．

11．在等腰三角形ABC中，∠A＝4∠B．

（1）若∠A是顶角，则∠C＝_______；

（2）若∠A是底角，则∠C＝_______．

12．如图，点B、D、F在AN上，点C、E在AM上，且AB＝BC＝CD，EC＝ED＝EF，∠A＝20°

，则∠FEM＝_______．

13．如图，在△ABC中，点D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，求∠BAC的度数．

【提优拔尖】

14．如图，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．∠BAD和∠CAE有怎样的关系？

请说明理由．

15．利用一把有刻度的直尺，按下列要求画图：

（1）在图

（1）中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴；

量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D．画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴；

（2）在图

（2）中画∠AOB的对称轴，并写出画图的步骤．

16．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）．

A．16B．18C．20D．16或20

17．等腰三角形的顶角为80°

，则它的底角是（）．

A．20°

B．50°

C．60°

D．80°

18．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°

，则∠EAB＝_______°

19．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°

，则∠C＝______°

20．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．

求证：

AB＝AC．

《2.5等腰三角形的轴对称性》

（2）

一、选择题

1．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（　　）

A．3cmB．4cmC．1.5cmD．2cm

2．△ABC中AB=AC，∠A=36°

，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（　　）

3．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（　　）

A．∠ACD=∠BB．CH=CE=EFC．AC=AFD．CH=HD

4．若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（　　）

A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形

5．如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

6．由“△ABC中，∠A=∠B”提供的信息可知：

不但△ABC是等腰三角形，而且知道它的底边是______，顶角是______．

7．在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则△ABC是______三角形．

8．在直角三角形中一个锐角是30°

，则斜边上的中线把直角分别两部分，它的度数分别是______，______．

9．△ABC中，∠A=65°

，∠B=50°

，则AB：

BC=______．

10．一灯塔P在小岛A的北偏西25°

，从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛B，此时测得灯塔P在北偏西50°

方向，则P与小岛B相距______海里．

11．如图，已知：

AD∥BC，∠EAC=2∠C，BD平分∠ABC，AC=4cm，求AD长．

12．如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC交AB于D，交AC于E．BD、CE、DE之间存在怎样的关系？

说明理由．

13．如图，△ABC中，∠BAC=90°

，AD⊥BC于D，FB平分∠ABC交AD于E，交AC于F．

AE=AF．

2.5等腰三角形的轴对称性（3）

1．在△ABC中，∠A＝100°

，∠B＝40°

，则△ABC是_______三角形．

2．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝1006，则AB＝_______．

3．如图，∠C＝36°

∠B＝72°

，∠BAD＝36°

，找出图中所有的等腰三角形_______．

4．如图，在△ABC中，点D、E在BC上，且∠1＝∠B，∠2＝∠C，BC＝10cm，求△ADE的周长．

5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是CA延长线上的一点，EG∥AD，交AB于点F．

AE＝AF．

6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于

点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．

若BD＋CE＝2013，则线段DE的长为（）．

A．2014B．2011

C．2012D．2013

7．如图，∠DAC是△ABC的一个外角，AE平分∠DAC，且AE∥BC，那∠AB＝AC吗？

为什么？

8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°

，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：

（1）MD＝MB；

（2）MN⊥BD．

9．已知：

在Rt△ABC中，AB＝BC；

在Rt△ADE中，AD＝DE；

连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图

（1），求证：

BM＝DM，且BM⊥DM；

（2）如果将图

（1）中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°

的角，如图

（2），那么

（1）中的结论是否仍成立？

如果不成立，请举出反例；

如果成立，请给出证明．

10．如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于点E，交BC于点F，垂足为O，连接DF．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不写作法，保留作图痕迹）

11．

（1）如图

（1），O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；

（2）如图

（2），△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠）．求∠AEB的大小．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）．

A．20B．12

C．14D．13

13．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD．求证：

（1）BC＝AD；

（2）△OAB是等腰三角形．