全国1卷高考数学试卷理科q.doc
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2005年全国1卷高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（ ）
A．
CIS1∩（S2∪S3）=Φ
B．
S1⊆（CIS2∩CIS3）
C．
CIS1∩CIS2∩CIS3）=Φ
D．
S1⊆（CIS2∪CIS3）
2．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ）
A．
B．
8π
C．
D．
4π
3．（5分）已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条准线与抛物线y2=﹣6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）当0＜x＜时，函数的最小值为（ ）
A．
2
B．
C．
4
D．
7．（5分）设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（ ）
A．
1
B．
﹣1
C．
D．
8．（5分）设0＜a＜1，函数f（x）=loga（a2x﹣2ax﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（ ）
A．
（﹣∞，0）
B．
（0，+∞）
C．
（﹣∞，loga3）
D．
（loga3，+∞）
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={（x，y）|x+y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B={（x+y，x﹣y）|（x，y）∈A}的面积为（ ）
A．
2
B．
1
C．
D．
10．（5分）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：
①tanA•cotB=1，
②1＜sinA+sinB≤，
③sin2A+cos2B=1，
④cos2A+cos2B=sin2C，
其中正确的是（ ）
A．
①③
B．
②④
C．
①④
D．
②③
11．（5分）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）
A．
18对
B．
24对
C．
30对
D．
36对
12．（5分）复数=（ ）
A．
﹣i
B．
i
C．
2﹣i
D．
﹣2+i
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m= _________ ．（lg2≈0.3010）
14．（4分）的展开式中，常数项为 _________ ．（用数字作答）
15．（4分）△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m= _________ ．
16．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：
①四边形BFD′E一定是平行四边形；
②四边形BFD′E有可能是正方形；
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
以上结论正确的为 _________ ．（写出所有正确结论的编号）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）设函数f（x）=sin（2π+ϕ）（﹣π＜ϕ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．
（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）证明直线5x﹣2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切．
18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：
面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．
19．（12分）设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求q的取值范围；
（Ⅱ）设，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．
20．（12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到0.01）
21．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明λ2+μ2为定值．
22．（12分）为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图（如图），请结合图形解答下列问题．
（1）指出这个问题中的总体；
（2）求竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率；
（3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励．
2005年全国1卷高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）
考点：
交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
分析：
根据公式CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB），容易判断．
解答：
解：
∵S1∪S2∪S3=I，
∴CIS1∩CIS2∩CIS3）=CI（S1∪S2∪S3）=CII=∅．
故答案选C．
点评：
本题主要考查了集合的交，并，补运算，公式CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）是一个重要公式，应熟记．
2．（5分）
考点：
球的体积和表面积；球面距离及相关计算．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积．
解答：
解：
球的截面圆的半径为：
π=πr2，r=1
球的半径为：
R=
所以球的表面积：
4πR2=4π×=8π
故选B．
点评：
本题考查球的体积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
3．（5分）
考点：
直线与圆的位置关系；直线的斜率．菁优网版权所有
分析：
圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围．
解答：
解：
直线l为kx﹣y+2k=0，又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点
故∴
故选C．
点评：
本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，是基础题．
4．（5分）
考点：
组合几何体的面积、体积问题．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
该几何体是一个三棱柱截取两个四棱锥，体积相减即为该多面体的体积．
解答：
解：
一个完整的三棱柱的图象为：
棱柱的高为2，底面三角形的底为1，高为：
其体积为：
，
割去的四棱锥体积为：
，
所以，几何体的体积为：
，
故选A．
点评：
本题考查学生的空间想象能力，几何体的添补，是基础题．
5．（5分）
考点：
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先根据抛物线和双曲线方程求出各自的准线方程，然后让二者相等即可求得a，进而根据c=求得c，双曲线的离心率可得．
解答：
解：
双曲线的准线为
抛物线y2=﹣6x的准线为
因为两准线重合，故=，a2=3，
∴c==2
∴该双曲线的离心率为=
故选D
点评：
本题主要考查了双曲线和抛物线的简单性质．考查了对抛物线和双曲线的综合掌握．
6．（5分）
考点：
三角函数的最值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
利用二倍角公式化简整理后，分子分母同时除以cosx，转化成关于tanx的函数解析式，进而利用x的范围确定tanx＞0，最后利用均值不等式求得函数的最小值．
解答：
解：
=．
∵0＜x＜，
∴tanx＞0．
∴．
当时，f（x）min=4．
故选C．
点评：
本题主要考查了利用二倍角公式化简求值和三角函数求最值．考查了学生知识的迁移能力，综合运用基础知识的能力．
7．（5分）
考点：
函数的图象．菁优网版权所有
专题：
压轴题；数形结合．
分析：
根据题中条件可先排除前两个图形，然后根据后两个图象都经过原点可求出a的两个值，再根据抛物线的开口方向就可确定a的值
解答：
解：
∵b＞0
∴抛物线对称轴不能为y轴，
∴可排除掉前两个图象．
∵剩下两个图象都经过原点，
∴a2﹣1=0，
∴a=±1．
∵当a=1时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左方，
∴第四个图象也不对，
∴a=﹣1，
故选B．
点评：
本题考查了抛物线的图形和性质，做题时注意题中条件的利用．
8．（5分）
考点：
对数函数图象与性质的综合应用；复合函数的单调性．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：
当0＜a＜1，loga（a2x﹣2ax﹣2）＜0时，有a2x﹣2ax﹣2＞1，解可得答案．
解答：
解：
设0＜a＜1，函数f（x）=loga（a2x﹣2ax﹣2），
若f（x）＜0
则loga（a2x﹣2ax﹣2）＜0，∴a2x﹣2ax﹣2＞1
∴（ax﹣3）（ax+1）＞0∴ax﹣3＞0，∴x＜loga3，
故选C．
点评：
解题中要注意0＜a＜1时复合函数的单调性，以避免出现不必要的错误．
9．（5分）
考点：
二元一次不等式（组）与平面区域；对数的运算性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；作图题．
分析：
求平面区域B={（x+y，x﹣y）|（x，y）∈A}的面积为可先找出B中点的横纵坐标满足的关系式，故可令x+y=s，x﹣y=t，平面区域A={（x，y）|x+y≤1，且x≥0，y≥0}得出s和t的关系，画出区域求面积即可．
解答：
解：
令x+y=s，x﹣y=t，
由题意可得平面区域B={（s，t）|s≤1，s+t≥0，s﹣t≥0}，
平面区域如图所示
S△OAB=2×1÷2=1
故选B．
点评：
本题考查对集合的认识、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，以及转化思想、作图能力．
10．（5分）
考点：
三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos=进而求得A+B=90°进而求得①tanA•cotB=tanA•tanA等式不一定成立，排除；②利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，②正确；
③sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函数的基本关系可知cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，进而根据C=90°可知sinC=1，进而可知二者相等．④正确．
解答：
解：
∵tan=sinC
∴=2sincos
整理求得cos（A+B）=0
∴A+B=90°．
∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正确．
∴sinA+sinB
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