任意角的三角比.doc

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高一年级数学

第2课时课题:

任意角的三角比

【教学目标】掌握任意角的三角比定义、弧度制。

【教学重难点】

（1）理解并熟练掌握角的定义、分类；

（2）终边相同的角的集合表示；

（3）角的弧度制

【知识点归纳】

一、角的概念的推广

1．角的定义

一条射线由原来的位置OA绕着它的端点O旋转到另一位置OB所形成的图形就是角。

旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止时的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点。

2．角的分类

（1）按旋转方向分类可分为正角、负角和零角

按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转时，这时形成的角叫做零角。

（2）按角的终边位置分类

在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边（除端点外）落在第几象限，就说这个角是第几象限角，当角的终边落在坐标轴上就认为这些角不属于任何象限。

3．终边相同的角的集合表示

所有与角终边相同的角，连同角在内可以用式子k·360°+，（k∈Z）来表示，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。

【同步练习】

1、下列命题中是真命题的是（）

A．小于90°的角是锐角；

B．若是锐角，则的终边在第一象限；

C．若角与角的终边相同，则=；

D．若的终边在第一象限，则是正角。

2、在下列各角中与330°角的终边相同的是 （）

A．510° B．150° C．﹣60° D．﹣390°

3、将下列各角化成+2k（0≤≤2，k∈Z）的形式，并指出它们是第几象限的角：

（1）；

（2）﹣315°； （3）1500°； （4）﹣9

二、弧度制

1．角的度量

（1）弧度制的定义

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制

（2）角的弧度数的计算

若l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径，那么的弧度数的绝对值||=

2．角度制与弧度制的换算

（1）角度化为弧度

360°=2rad，180°=rad；1°=rad≈0．01745rad

（2）弧度化为角度

2rad=360°，rad=180°，1rad=≈57．30°

（3）常用的特殊角的弧度数

角度

0°

15°

30°

45°

60°

75°

90°

120°

135°

150°

弧度

0

3．弧长公式和扇形面积公式

（1）弧长公式

①角度制下的弧长公式为l=（n为角的角度数）；

②弧度制下弧长公式为l=·r，其中为圆弧所对的圆心角的弧度数，r为圆的半径。

（2）扇形面积公式

①角度制下的扇形面积公式S=；

②弧度制下扇形面积公式为S=l·r，其中l为扇形的弧长，r为扇形的半径，弧度制下扇形面积公式还可以表示为S=r，其中为扇形的圆心角，r为扇形的半径。

【同步练习】

1、

（1）将315°30′化成弧度；

（2）将13．5rad化成度；

（3）时间经过4小时，时针、分针各转多少度？

等于多少弧度？

2、已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，

（1）求的长；

（2）求弓形AB的面积。

【巩固练习】

1、在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角

（1）最大的负角；

（2）最小的正角；

（3）360°~720°的角。

2、如图，试用弧度制：

（1）分别写出终边在OA、OB上的角的集合；

（2）写出终边落在阴影部分（含边界）的角的集合。

3、若是第二象限角，试判断2，，角各是第几象限角

4、用30cm长的铁丝围成一个扇形，应该怎样设计才能使扇形面积最大？

最大面积是多少？

5、如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx=45°，点P从点A出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转。

已知P在1秒钟内转过的角度为（0°<<180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A，求

6、若是第三象限角，则所属的象限是

【知识点归纳】

1、角和角的终边相同：

2、象限角与正、负角

使用集合形式来表示角：

3、弧度制

4、弧长公式：

5、扇形面积公式：

6、三角比的定义：

7、不同象限内三角比的不同符号:

8、单位圆与三角函数线：

【例题精讲】

例1、用集合形式表示几种终边在特殊位置的角的集合

在平面直角坐标系中，以原点O为角的顶点，x轴的正半轴为角的始边，那么

（1）终边落在x轴正半轴的角的集合是_____________________；

（2）终边落在x轴负半轴的角的集合是_____________________；

（3）终边落在x轴上的角的集合是_____________________；

（4）终边落在y轴正半轴的角的集合是_____________________；

（5）终边落在y轴负半轴的角的集合是_____________________；

（6）终边落在y轴上的角的集合是_____________________；

（7）终边落在坐标轴上的角的集合是_____________________。

例2、已知角，在区间内找出所有与角具有相同终边的角。

例3、若角与的终边满足下列位置关系，求、所满足的度量关系

（1）重合：

_____________________；

（2）关于原点对称：

_____________________；

（3）关于x轴对称：

_____________________；

（4）关于y轴对称：

_____________________。

例4、命题P:

是第二象限角，命题Q:

是钝角，则P是Q的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

例5、若角是第二象限角，则是第__________象限角；

是第____________角；是第__________象限角。

例6、一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆周的长，则扇形的圆心角是多少弧度?

合多少度?

扇形的面积是多少?

例7、已知扇形OAB的圆心角为，面积为。

（1）求弧AB的长；

（2）求含于扇形内，且以AB为弦的弓形面积。

例8、已知角的终边上一点，且，求、的值。

例9、

（1）若且，则为第___________象限角；

（2）若，则为第___________象限角．

例10、利用三角函数线分别求满足下列条件的的取值范围:

（1）；

（2）且。

【回顾反思】

1、主要方法：

① 弧度制与角度制的转换、弧长公式、扇形面积公式；

② 终边相同的角的表示、象限角的表示:

确定一个满足的角，后观察周期．

③ 任意角的三角比:

定义、所在象限三角比符号的确定．

2、易错、易漏点：

① 在简单三角比的运算中要牢记角的正切、余切有意义时角的范围问题，避免产生增根；

② 三角比的结果表达中不要弧度制、角度制混用；

③ 在任意角的范围表达中注意的条件．

【课后练习】

1、化为的形式是（）

A．B．

C． D．

2、下列各命题中，为真命题的是（）

A．第一象限角是锐角 B．直角不是任何象限角

C．第二象限角比第一象限角大 D．三角形的内角一定是第一或第二象限角

3、若2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角的所夹扇形的面积为（）

A． B．

C． D．

4、在不等的圆中，1弧度的圆心角所对的（）

A．弦长相等 B．弧长相等

C．弦长等于所在圆的半径 D．弧长等于所在圆的半径

5、一个半径为R的扇形，它的周长为，则这个扇形所含弓形的面积为（）

A． B．

C． D．

6、在区间上且与角终边相同的角是___________。

7、若角是第三象限角，则角是第___________象限角；是第___________象限角；是第___________象限角；是第___________象限角。

8、在扇形中，圆心角所对弦长等于半径，则这个圆心角的度数为___________。

9、设A是的值域所组成的集合，则用列举法表示集合A为___________。

10、已知角的终边上有一点P到原点的距离为，且，则P点的坐标为___________。

11、若，则的取值范围是___________。

12、对于角，若它的终边与角的终边相同，求角的值。

13、已知扇形的周长为20，当扇形的圆心角为何值时，扇形的面积S最大?

此时的S为多少?

14、已知集合，求。

【拓展练习】

1、若，则为第___________象限角；与具有相同终边的最小正角_________。

2、已知为第二象限角，确定的符号。

3、已知，确定所在象限。

4、扇环的两条弧的长分别是，两条直边AD、CB的长均为d，求扇环ABCD的面积。

（第4题图）

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