乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准.doc

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乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题:

共12小题，每小题5分，共60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

选项

C

D

C

B

D

A

A

C

C

C

A

B

1.选C.【解析】∵，，∴，

故选C.

2.选D.【解析】∵，其共轭复数是故选D.

3.选C.【解析】依题意，，则

故选C.

4.选B.【解析】①错，②对，③对，④错.故选B.

5.选D.【解析】，曲线在处切线的斜率，∵此切线与直线垂直，∴直线的斜率，即.故选D.

6.选A.【解析】由题意得，即解得：

，∵是区间上的减函数,

∴，∴，故选A.

7.选A.【解析】如图该几何体为一三棱锥，设外接球半径为

由题意得，解得∴，故选A.

8.选C.【解析】执行第一次运算，

执行第二次运算，执行第三次运算，执行第四次运算输出.故选C.

9.选C.【解析】将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有种不同放法，放对的个数可取的值有0，1,2,4.其中，,,，

.故选C.

10.选C.【解析】∵为奇函数，则函数的图像关于点对称，则函数的图象关于点对称，故函数满足.

设，倒序后得，两式相加后得，

∴.故选C.

11.选A.【解析】，渐近线方程为直线的方程为：

，设，依题意知，分别满足，，得∵，∴,

∴，化简得.故选A.

12.选B.【解析】∵，∴,即

整理的,则,∵,∴,∴为锐角，故为锐角，则，

当且仅当时等号成立，

∴的最大值为.故选B.

二、填空题

13.填.【解析】由题意得：

，∴.

14.填.【解析】∵,∴,∵,

∴,∴,

∴

15.填.【解析】

若，由得，得，与矛盾；

若，由得，得，与矛盾；

若，由得，得，

而，∴，∴

16.填.【解析】依题意知，直线的斜率存在，且，

设其方程为代入有

设则，又，，∴,而异号，∴，∵,又∵，

故，即,将，代入，有,∴，又,

∴

三、解答题

17．（12分）

（Ⅰ）当时，，得，由得，两式相减，得，即，∴，而，∴数列是首项为，公比为的等比数列；…6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即，

∴

令

则

两式相减得

∴，∴…12分

18.（12分）

（Ⅰ）连结，∵四边形是菱形，∴

又∵，∴是等边三角形，

∵是中点,∴，

∵平面,平面,

∴，在平面中

∴平面

∴平面平面；…6分

（Ⅱ）设交于点，过作,

以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，如图所示，建立空间直角坐标系：

∵四边形是边长为的菱形，得,,，

于是

∵是的中点,∴，∵平面,

∴平面的一个法向量为设平面的法向量

∵,由得，

令，得，,∴,∴

∴二面角的平面角的余弦值为．…12分

19．（12分）

（Ⅰ）上半年的数据为：

其“中位数”为，优质品有6个，合格品有10个，次品有9个.下半年的数据为：

其“中位数”为，优质品有9个，合格品有11个，次品有5个.则该企业生产一件产品的利润的分布列为：

…5分

（Ⅱ）由题意得：

上半年

下半年

优质品

非优质品

由于，所以没有的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”.…12分

20.（12分）

（Ⅰ）已知椭圆的右焦点为，∴

又直线与椭圆有且仅有一个交点，∴方程组有且仅有一个解，

即方程有且仅有一个解

∴，即，又∵，

∴，∴椭圆的标准方程是；…5分

（Ⅱ）依题意知椭圆的右焦点的坐标为，直线的方程为（其中为直线在轴上的截距）设

解方程组，得关于的一元二次方程

即

，即

∵是方程的两个解，∴，，

∵，

∴

，∵，∴

即，∴

即，又，∴，即，∴，而，∴，解得或，

∴或…12分

21．（12分）

（Ⅰ）∵,∵∴，∴，

∴,∴函数在区间上单调递增.…4分

（Ⅱ）⑴当时，，

由知，，则，，

∴

∴当时，函数在上无零点；

⑵当时，，

令，得，由，知,∴，

∴，∴当时，,∴,

当时，，∴

∴函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.

∴

由，；，成立，

∴，，，

取

当时，，∴当时

∴，即

又

由函数零点定理和函数在区间为增函数,且

∴使得，取，

由，知，∴当时，都有，

∴，，∵，

∴

从而，∴，∴使得

∴当时，函数在上有两个零点；

⑶当时

由⑵知函数在区间上为增函数，在区间为减函数.

∴，∴对，

且当时，，当时，

从而当时，函数有且仅有一个零点；

⑷当时，，

由⑵知函数在区间为增函数，在区间为减函数，

，∴对，。

此时在上无零点.

综上所述：

⑴当时，函数在上无零点；

⑵当时，函数在上有两个零点；

⑶当时，函数在上有一个零点；

⑷当时，函数在上无零点.…12分

22．（10分）

（Ⅰ）连结，∵是圆的切线,是弦∴

∵，∴，∴，

又∵，，∴∽，

∴，∴，

∴；…5分

（Ⅱ）设与半圆交于点,连结，∵是圆的切线,∴，

又∵,，∴∽，∴,

∴,∴

.…10分

23．（10分）

（Ⅰ）圆的参数方程为（为参数）；

直线的参数方程为（为参数）；…5分

（Ⅱ）圆的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设点的极坐标为，点的极坐标为依题意有：

，，

∴为定值．…10分

24．（10分）

（Ⅰ），其图像如图所示.

令解得，∴的解集为…5分

（Ⅱ）如图，当时，，要使，需且只需，

而=3时，有，或，即，或，得.

…10分

以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．

乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案第10页（共10页）