最新高考高考数学等差数列4 精品.docx
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等差数列
（2）
上课时间：
【复习目标】
1、掌握等差数列的基本性质如：
（1）下标和性质；前n项和性质
（2）等差数列求和S2n–1与中项an转化问题.
2、熟练解决数列中的最大（小）项，及最值问题；
【知识要点】
1．在等差数列{an}中，有
（1）若m+n=p+q，其中m、n、p、q∈N*，则一定有；
（2）若d为{an}的公差，则其子数列为ak，ak+m，ak+2m，…
（3）顺次n项和性质：
（4）奇、偶数项分别求和时，有
（a2+a4+…+a2n）–（a1+a3+…+a2n–1）=，
（a1+a3+…+a2n–1）–（a2+a4+…+a2n–2）=
【基础训练】
1．在等差数列{an}中，前15项和S15=90，a8为（）
A．6B．3C．12D．4
2．设等差数列{an}共有3n项，它的前2n项和为100，后2n项和是200，则该数列的中间n项和等于.
3．等差数列{an}中，S2=S19且公差d＜0，当n=时，Sn最大.
【典型例题】
题型1、等差数列的性质
例1、已知等差数列{an}中，前三项之和为6，末三项和60，Sn=231，则n=?
变式：
已知等差数列{an}的公差为正数，且求它的通项公式。
题型2.数列中的范围与最值问题
例2、设等差数列{an}的前
（1）求公差d的范围
（2）该数列前几项和最大？
说明理由。
变式：
若{an}为等差数列，首项a1＞0，a2003+a2004＞0，a2003·a2004＜0.
（1）求使Sn＞0的最大自然数n.
（2）求Sn最大值时的n值.
题型3．分组求和，整体运算
例3、
（1）等差数列{an}中a9+a10=a，a19+a20=b，求a99+a100.
（2）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:
27，求公差d.
【考题链接】
1．（06全国卷II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝（）
（A）（B）（C）（D）
2、（07北京理。
10）若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项．
3．（06北京卷20）设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.
（Ⅰ）若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.
等差数列
（2）08012
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若（）
A．1B．–1C．2D．
2．数列{an}、{bn}都是等差数列，其中a1=25，b1=75，a100+b100=100,那么数列{an+bn}的前100项的和是（）
A．0B．100C．10000D．50500
3．设{an}是d=–2的等差数列，如果\a1+a4+a7+…+a97=50那么a3+a6+a9+…+a99=（）
A．–182B．–78C．–148D．–82
4．若关于x的方程x2–x+a=0和x2–x+b=0（a≠b）的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是
5．若等差数列{an}、{bn}的前n项和为An与Bn，满足（n∈N*），则的值是
6．在等差数列{an}中，设Sn=a1+a2+a3+…+an.已知Sn–a1=48，Sn–an=36，Sn–a1–a2–an－1–an=21，求这个数列.
7、
（1）设等差数列中，，求及S15的值.
（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.
（1）＝－4；S15＝－30
（2）中间项为5，项数为31
8．曲线C：
xy–2kx+k2=0与直线x–y+8=0有唯一公共点，数列{an}首项a1=2k且当n≥2时，点（an－1,an）恒在曲线C上，数列{bn}满足关系式.
（1）求证{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
参考答案
【基础训练】
1．【解析】S15==90.
又a1+a15=2a8，
∴15a8=90，∴a8=6，故选A.
【点评】等差数列Sn与a1、an的等差中项有关，而题目中常给出来求Sn.特别地
2．【解析】设前n项和，中间n项和，后n项和分别为A1、、A2、A3，
①
②
则
①+②：
A1、+2A2+A3=300，即4A2=300.
∴A2=75.
3．【解析】Sn是n二次函数，由a2=a19知对称轴n=9.5
故当n=10或11时，Sn最大.
【典型例题】
题型1、等差数列的性质
【解析】前三项+末三项=3（a1+an）=66，
a1+an=22，×n=231，n=21.
变式：
（见凤凰台100页例1）
题型2.数列中的范围与最值问题
（见凤凰台101页例4）
变式：
【解析】法一：
∵a1＞0，a2003+a2004＞0，a2003·a2004＜0，且{an}为等差数列.
∴{an}表示a1为正数，公差为负数的递减等差数列，
且a2003＞0，a2004＜0，|a2003|＞|a2004|，
∴S4006=×4006
=×4006＞0，
而×4007=a2004×4007＜0.
∴Sn＞0成立的最大自然数是4006.
（2）由已知得：
n≤2003时，
a1，a2，…，a2003均为正数，n≥2004时，a2004，a2005，…均为负数，故n=2003时，S2003最大.
【点评】把an看成n的一次函数，n不加限制的话，要Sn=＞0，即要＞0，题中可得a2003.5＞0，且a2004＜0S4006=a2003.5×4006＞0.而求Sn最大（小）值时即把{an}中所有正（负）项相加，即n出现在数列正负项交界处。
题型3．分组求和，整体运算
【分析】（
（1）由性质知，可将相邻两项和构成新的等差数列，再求其解；
（2）此题若选用前n项和公式建立方程组运算量较大，而运用等差数列有关性质，采取整体思维的策略，则可简化计算过程.
（1）将相邻两项和a1+a2、a3+a4、a5+a6、…a99+a100分别记为b1、b2、b3、、…、b50，可知{bn}成等差数列.此数列的公差d=.
a99+a100=b50=b5+45·d=a+×45=9b–8a.
（2）前12项中偶数项与奇数项和为S偶、S奇，
依题意得：
∴
由S偶–S奇=6d，∴d=5.
【点评】
（1）在S99中分成三组求和，A1、A2、A3仍然是等比数列；
（2）分组求和，相邻两项为一组，前100项共分50组；
（3）分奇、偶两组，分组整体求和
【考题链接】
1．（A）
2、
3．解：
（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14,
又a11=a1+10d=0,
故解得d=－2,a1=20.
因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…
（Ⅱ）由得即
由①+②得－7d＜11。
即d＞－。
由①+③得13d≤－1
即d≤－
于是－＜d≤－
又d∈Z,故
d=－1
将④代入①②得10＜a1≤12.
又a1∈Z,故a1=11或a1=12.
所以，所有可能的数列{an}的通项公式是
an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…
作业
一、选择题
1．【解析】.故选A.
2【解析】设数列{an}、{bn}的公差为d1、、d2,
则（an+bn）–（an－1+bn－1）=（an–an－1）+（bn–bn－1）=d1+d2,
所以{an+bn}是首项为a1+b1=100，
公差为d1+d2的等差数列，因此S100==50×200=10000，
故选C.
3．【解析】a3+a6+a9+…+a99=（a1+2d）+（a4+2d）+…+（a97+2d）=（a1+a4+…+a97）+66d=50+66×（-2）=–82.故选D
4．【解析】依题意，设四根分别a1、a2、a3、a4，公差为d，其中a1=.
即a1+a2+a3+a4=1+1=2.
又a1+a4=a2+a3，所以a1+a4=a2+a3=1.
由此求得a4=，d=,
于是a2=，a3=.
所以a+b=a1a4+a2a3=×+×=.故选D
5．【解析】根据等差数列的性质，得
=.故选C.
6．在等差数列{an}中，设Sn=a1+a2+a3+…+an.已知Sn–a1=48，Sn–an=36，Sn–a1–a2–an－1–an=21，求这个数列.
【解析】已知Sn–a1=48，①
Sn–an=36，②
∵a1+an=a2+an-1，
∴Sn–a1–a2–an－1–an=Sn–2（a1+an）.
则Sn–2（a1+an）=21.③
由①+②得2Sn–（a1+an）=84，即
4Sn–2（a1+an）=168.④
④–③，得Sn=49,
∴a1=Sn–48=1，an=Sn–36=13,
∴n==7,
d==2,
故所求数列为1，3，5，7，9，11，13.
7
（1）＝－4；S15＝－30
（2）中间项为5，项数为31
8．【解析】
（1）由得
x2+（8–2k）x+k2=0.
由条件有△=32（2–k）=0,k=2，因此曲线方程为xy–4x+4=0，点（an－1,an）在曲线上，故an=，得an–2=，
∴bn=
，
即bn–bn－1=，∴数列{bn}是以为公差的等差数列.
（2）∵a1=2k=4，b1=，
又{bn}是公差为的等差数列，
∴bn=+（n–1）.
由bn=，解得an=2+.
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