数学分析华东师大第十一章反常积分Word文档下载推荐.docx
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由此则有
dt=Rdx,x∈[0,h].r22g（h-x）
所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:
h
tf=
R2
dx.
r22g（h-x）
但是在这里因为被积函数是[0,h）上的无界函数,所以它的确切含义应该是
R
u2
tf=lim∫2dx
u→h-0r2g（h-x）
=lim
-
22
·
R
gr2h-h-u
u→h
=2hR.gr
相对于以前所讲的定积分（不妨称之为正常积分）而言,例1和例2分别提出了两类反常积分.
二两类反常积分的定义
定义1设函数f定义在无穷区间[a,+∞）上,且在任何有限区间[a,u]
上可积.如果存在极限
u
lim∫f（x）dx=J,
（1）
u→+∞a
则称此极限J为函数f在[a,+∞）上的无穷限反常积分（简称无穷积分）,记作
+∞
J=f（x）dx,（1′）
a
+∞+∞
并称f（x）dx收敛.如果极限
（1）不存在,为方便起见,亦称f（x）dx
aa
发散.
类似地,可定义f在（-∞,b]上的无穷积分:
266第十一章反常积分
b
∫f（x）dx=lim∫f（x）dx.
（2）
-∞u→-∞u
对于f在（-∞,+∞）上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义:
+∞a
f（x）dx=
-∞-∞
f（x）dx+
f（x）dx,（3）
其中a为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.
注1无穷积分（3）的收敛性与收敛时的值,都和实数a的选取无关.
注2由于无穷积分（3）是由
（1）、
（2）两类无穷积分来定义的,因此,f在任何有限区间[v,u]ì
（-∞,+∞）上,首先必须是可积的.
注3
f（x）dx收敛的几何意义是:
若f在
[a,+∞）上为非负连续函数,则图11-3中介于曲线y=f（x）,直线x=a以及x轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J.
例3讨论无穷积分
图11-3
的收敛性.
解由于
dx
1xp（4）
udx
1xp=
11-p（u
1-p
-1）,p≠1,
lnu,p=1,
1
lim∫dx=
u→+∞1xp
p-1,p>
1
+∞p≤1,
因此无穷积分（4）当p>
1时收敛,其值为1;
而当p≤1时发散于+∞.
p-1
从图11-4看到,例3的结论是很直观的:
p
的值越大,曲线y=1当x>
1时越靠近x轴,从
xp
而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也就越大.
例4讨论下列无穷积分的收敛性:
1∫）
+∞dx
2x（lnx）p;
2）
-∞1+x2.
解1）由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的,因此有关定积分的换元积分法和
图11-4
267
分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说,就有
∫+∞dx
+∞dt
2x（lnx）p=∫ln2
tp.
从例3知道,该无穷积分当p>
1时收敛,当p≤1时发散.
2）任取实数a,讨论如下两个无穷积分:
∫dx
-∞1+x2和∫a
由于
1+x2.
lim∫
dx=lim
（arctana-arctanu）
u→-∞
u1+x2
v
=arctana+π,
（arctanv-arctana）
v→+∞
a1+x2
=
π
2-arctana,
因此这两个无穷积分都收敛.由定义1,
∫+∞dx
adx
-∞1+x2=∫-∞
1+x2+∫a
1+x2=π.
注由于上述结果与a无关,因此若取a=0,则可使计算过程更简洁些.
定义2设函数f定义在区间（a,b]上,在点a的任一右邻域内无界,但在任何内闭区间[u,b]ì
（a,b]上有界且可积.如果存在极限
lim∫f（x）dx=J,（5）
u→a+u
则称此极限为无界函数f在（a,b]上的反常积分,记作
J=f（x）dx,（5′）
并称反常积分f（x）dx收敛.如果极限（5）不存在,这时也说反常积分
f（x）dx发散.
在定义2中,被积函数f在点a近旁是无界的,这时点a称为f的瑕点,而无
界函数反常积分f（x）dx又称为瑕积分.
类似地,可定义瑕点为b时的瑕积分:
bu
∫f（x）dx=lim∫f（x）dx.
au→b-a
其中f在[a,b）有定义,在点b的任一左邻域内无界,但在任何[a,u]ì
[a,b）
268第十一章反常积分
上可积.
若f的瑕点c∈（a,b）,则定义瑕积分
bcb
∫f（x）dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx
aac
ub
=lim∫f（x）dx+lim∫f（x）dx.（6）
u→c-av→c+v
其中f在[a,c）∪（c,b]上有定义,在点c的任一领域内无界,但在任何[a,u]ì
[a,c）和[v,b]ì
（c,b]上都可积.当且仅当（6）式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.
又若a、b两点都是f的瑕点,而f在任何[u,v]ì
（a,b）上可积,这时定义瑕积分
∫f（x）dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx
cv
=lim∫f（x）dx+lim∫f（x）dx,（7）
u→a+uv→b-c
其中c为（a,b）内任一实数.同样地,当且仅当（7）式右边两个瑕积分都收敛时,
左边的瑕积分才是收敛的.
1
例5计算瑕积分∫dx的值.
01-x2
解被积函数f（x）=1在[0,1）上连续,从而在任何[0,u]ì
[0,1）
1-x2
上可积,x=1为其瑕点.依定义2求得
1u
∫dx=lim∫
dx
u→1
1-x2
例6讨论瑕积分
u→1-
arcsinu=π.
∫dx
0xq（q>
0）（8）
解被积函数在（0,1]上连续,x=0为其瑕点.由于
1dx
uxq=
1-q（1-u
1-q
）,q≠1,
（0<
u<
1）,
-lnu,q=1
故当0<
q<
1时,瑕积分（8）收敛,且
∫dx∫dx1
x
q=lim
0u→0+
uxq=1-q;
269
而当q≥1时,瑕积分（8）发散于+∞.
上述结论在图11-4中同样能获得直观的反映.
如果把例3与例6联系起来,考察反常积分
我们定义
0xp（p>
0）.（9）
∫+∞dx
+∞dx
0xp=∫0
xp+∫1
xp,
它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛.但由例3与例6的结果可知,这两个反常积分不能同时收敛,故反常积分（9）对任何实数p都是发散的.
习题
1.讨论下列无穷积分是否收敛?
若收敛,则求其值:
（1∫）
xe-x
2+∞
dx;
（2）
-∞
（3∫）
+∞1+∞
（4）
;
0ex
1x（1+x）
（5∫）
dx;
（6）∫
e-xsinxdx;
-∞4x2+4x+50
（7∫）
exsinxdx;
（8）
-∞0
dx.
1+x2
2.讨论下列瑕积分是否收敛?
若收敛,则求其值:
bdx1dx
（2）;
a（x-a）p
01-x2
（3∫）dx;
（4）∫xdx;
0|x-1|
11
lnxdx;
（6）
00
xdx;
1-x
1dx1dx
（8）p.
0x-x2
0x（lnx）
3.举例说明:
瑕积分∫f（x）dx收敛时∫,
f2（x）dx不一定收敛.
4.举例说明∫:
f（x）dx收敛且f在[a,+∞）上连续时,不一定有lim
ax→+∞
f（x）=0.
5.证明:
若
f（x）dx收敛,且存在极限lim
x→+∞
f（x）=A,则A=0.
270第十一章反常积分
6.证明:
若f在[a,+∞）上可导,且
f（x）dx与
f′（x）dx都收敛,则lim
2无穷积分的性质与收敛判别
一无穷积分的性质
由定义知道,无穷积分
f（x）dx收敛与否,取决于函数F（u）=
f（x）dx在u→+∞时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷
积分收敛的柯西准则.
定理11.1无穷积分
≥a,只要u1、u2>
G,便有
f（x）dx收敛的充要条件是:
任给ε>
0,存在G
uuu
∫2f（x）dx-∫1f（x）dx=∫
f（x）dx<
ε.
aau
此外,还可根据函数极限的性质与定积分的性质,导出无穷积分的一些相应性质.
性质1若
f1（x）dx与
f2（x）dx都收敛,k1、k2为任意常数,则
[k1f1（x）+k2f2（x）]dx也收敛,且
+∞+∞+∞
[k1f1（x）+k2f2（x）]dx=k1
f1（x）dx+k2
f2（x）dx.
（1）
性质2若f在任何有限区间[a,u]上可积,a<
b,则
f（x）dx与
f（x）dx同敛态（即同时收敛或同时发散）,且有
+∞b+∞
∫f（x）dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx,
（2）
aab
其中右边第一项是定积分.
性质2相当于定积分的积分区间可加性,由它又可导出
f（x）dx收敛的
另一充要条件:
0,存在G≥a,当u>
G时,总有
f（x）dx<
2无穷积分的性质与收敛判别
271
事实上,这可由
u+∞
∫f（x）dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx
结合无穷积分的收敛定义而得.
性质3若f在任何有限区间[a,u]上可积,且有
f（x）dx亦必收敛,并有
|f（x）|dx收敛,则
f（x）dx≤
f（x）dx.（3）
证由
f（x）dx收敛,根据柯西准则（必要性）,任给ε>
0,存在G≥
a,当u2>
u1>
uu
f（x）dx2
1u1
利用定积分的绝对值不等式,又有
2f（x）dx≤2
再由柯西准则（充分性）,证得
f（x）dx收敛.
又因∫f（x）dx≤∫f（x）dx（u>
a）,令u→+∞取极限,立刻得到不
等式（3）.
当f（x）dx收敛时,称
f（x）dx为绝对收敛.性质3指出:
绝对收敛
的无穷积分,它自身也一定收敛.但是它的逆命题一般不成立,今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛.
我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.
二比较判别法
首先给出无穷积分的绝对收敛判别法.
由于|f（x）|dx关于上限u是单调递增的,因此
|f（x）|dx收敛的
充要条件是
|f（x）|dx存在上界.根据这一分析,便立即导出下述比较判别
法（请读者自己写出证明）:
定理11.2（比较法则）设定义在[a,+∞）上的两个函数f和g都在任何
272第十一章反常积分
有限区间[a,u]上可积,且满足
f（x）≤g（x）,x∈[a,+∞）,
则当g（x）dx收敛时
|f（x）|dx必收敛（或者,当
|f（x）|dx发散
时,
g（x）dx必发散）.
例1讨论
sinxdx的收敛性.
解由于sinx1
dxπ
1+x2≤1+x2,x∈[0,+∞）,以及∫
1+x2=
为收敛
（§
1例4）,根据比较法则∫,
sinxdx为绝对收敛.
01+x2
上述比较法则的极限形式如下:
推论1若f和g都在任何[a,u]上可积,g（x）>
0,且lim
x→+∞
|f（x）|
g（x）
=c,
则有:
（i）当0<
c<
+∞时∫,
|f（x）|dx与
g（x）dx同敛态;
（ii）当c=0时,由
g（x）dx收敛可推知
f（x）dx也收敛;
（ii））当c=+∞时,由
g（x）dx发散可推知
f（x）dx也发散.
当选用∫dx作为比较对象
g（x）dx时,比较判别法及其极限形式成
1xpa
为如下两个推论（称为柯西判别法）.
推论2设f定义于[a,+∞）（a>
0）,且在任何有限区间[a,u]上可积,
（i）当f（x）≤1,x∈[a,+∞）,且p>
1时
f（x）dx收敛;
xpa
（ii）当f（x）≥1,x∈[a,+∞）,且p≤1时
f（x）dx发散.
推论3设f定义于[a,+∞）,在任何有限区间[a,u]上可积,且
lim
xpf（x）=λ.
（i）当p>
1,0≤λ<
+∞时,f（x）dx收敛;
（ii）当p≤1,0<
λ≤+∞时,
273
例2讨论下列无穷限积分的收敛性:
xαe-xdx;
2）
+∞x2
0x5+1
解本例中两个被积函数都是非负的,故收敛与绝对收敛是同一回事.
1）由于对任何实数α都有
x2·
xαe-x=lim
xα+2
ex
=0,
因此根据上述推论3（p=2,λ=0）,推知1）对任何实数α都是收敛的.
2）由于
12
x2·
x
x5+1
=1,
因
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