天津版高考理科数学31 导数的概念及运算文档格式.docx

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,则实数a=　（　　）

A.1　　　　B.-1　　　　C.7　　　　D.-7

答案　C　

方法2　利用导数的几何意义求曲线的切线方程

2.（2015陕西,15,5分）设曲线y=ex在点（0,1）处的切线与曲线y=

（x>

0）上点P处的切线垂直,则P的坐标为　　　　. 

答案　（1,1）

3.（2016北京,18,13分）设函数f（x）=xea-x+bx,曲线y=f（x）在点（2,f

（2））处的切线方程为y=（e-1）x+4.

（1）求a,b的值;

（2）求f（x）的单调区间.

解析　

（1）因为f（x）=xea-x+bx,所以f'

（x）=（1-x）ea-x+b.

依题设,知

即

解得a=2,b=e.

（2）由

（1）知f（x）=xe2-x+ex.

由f'

（x）=e2-x（1-x+ex-1）及e2-x>

0知,f'

（x）与1-x+ex-1同号.

令g（x）=1-x+ex-1,则g'

（x）=-1+ex-1.

所以,当x∈（-∞,1）时,g'

（x）<

0,g（x）在区间（-∞,1）上单调递减;

当x∈（1,+∞）时,g'

（x）>

0,g（x）在区间（1,+∞）上单调递增.

故g

（1）=1是g（x）在区间（-∞,+∞）上的最小值,

从而g（x）>

0,x∈（-∞,+∞）.

综上可知,f'

0,x∈（-∞,+∞）.故f（x）的单调递增区间为（-∞,+∞）.

方法总结　

（1）曲线在某点处的切线满足两个条件:

一是过该点,二是斜率（若斜率存在）等于函数在该点处的导数值.

（2）讨论函数的单调性可转化为讨论导函数的符号变化,因此常将导函数作为一个新函数来研究其值域（最值）,利用所得结果确定原函数的单调性.

过专题

【五年高考】

A组　自主命题·

天津卷题组

1.（2017天津文,10,5分）已知a∈R,设函数f（x）=ax-lnx的图象在点（1,f

（1））处的切线为l,则l在y轴上的截距为　　　　. 

答案　1

2.（2017天津文,19,14分）设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f（x）=x3-6x2-3a（a-4）x+b,g（x）=exf（x）.

（1）求f（x）的单调区间;

（2）已知函数y=g（x）和y=ex的图象在公共点（x0,y0）处有相同的切线.

（i）求证:

f（x）在x=x0处的导数等于0;

（ii）若关于x的不等式g（x）≤ex在区间[x0-1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围.

解析　

（1）由f（x）=x3-6x2-3a（a-4）x+b,

可得f'

（x）=3x2-12x-3a（a-4）=3（x-a）[x-（4-a）].

令f'

（x）=0,解得x=a,或x=4-a.

由|a|≤1,得a<

4-a.

当x变化时,f'

（x）,f（x）的变化情况如表:

x

（-∞,a）

（a,4-a）

（4-a,+∞）

f'

（x）

+

-

f（x）

↗

↘

所以,f（x）的单调递增区间为（-∞,a）,（4-a,+∞）,单调递减区间为（a,4-a）.

（2）（i）证明:

因为g'

（x）=ex[f（x）+f'

（x）],由题意知

所以

解得

所以,f（x）在x=x0处的导数等于0.

（ii）因为g（x）≤ex,x∈[x0-1,x0+1],g（x）=exf（x）,所以由ex>

0,可得f（x）≤1.又因为f（x0）=1,f'

（x0）=0,故x0为f（x）的极大值点,

由

（1）知x0=a.由于|a|≤1,故a+1<

4-a,

由

（1）知f（x）在（a-1,a）内单调递增,在（a,a+1）内单调递减,故当x0=a时,f（x）≤f（a）=1在[a-1,a+1]上恒成立,从而g（x）≤ex在[x0-1,x0+1]上恒成立.

由f（a）=a3-6a2-3a（a-4）a+b=1,

得b=2a3-6a2+1,-1≤a≤1.

令t（x）=2x3-6x2+1,x∈[-1,1],

所以t'

（x）=6x2-12x,

令t'

（x）=0,解得x=2（舍去）,或x=0.

因为t（-1）=-7,t

（1）=-3,t（0）=1,

因此,t（x）的值域为[-7,1].

所以,b的取值范围是[-7,1].

思路分析　

（1）求出函数f（x）的导函数及极值点,通过列表判断函数的单调性,求出单调区间即可.

（2）（i）对函数y=g（x）和y=ex求导,根据已知条件得方程组

解方程组可得出f'

（x0）=0.

（ii）不等式g（x）≤ex在区间[x0-1,x0+1]上恒成立,由ex>

0,可得f（x）≤1.根据

（1）可知f（x）≤f（a）=1在[a-1,a+1]上恒成立.由f（a）=1,得b=2a3-6a2+1,-1≤a≤1,利用导数即可求出b的取值范围.

评析本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查用函数思想解决问题的能力.

3.（2013天津文,20,14分）设a∈[-2,0],已知函数f（x）=

（1）证明f（x）在区间（-1,1）内单调递减,在区间（1,+∞）内单调递增;

（2）设曲线y=f（x）在点Pi（xi,f（xi））（i=1,2,3）处的切线相互平行,且x1x2x3≠0.

证明x1+x2+x3>

.

解析　

（1）设函数f1（x）=x3-（a+5）x（x≤0）,

f2（x）=x3-

x2+ax（x>

0）,

①f'

1（x）=3x2-（a+5）,由a∈[-2,0],

从而当-1<

x≤0时,

1（x）=3x2-（a+5）<

3-a-5≤0,所以函数f1（x）在区间（-1,0]内单调递减.

②f'

2（x）=3x2-（a+3）x+a=（3x-a）（x-1）,由于a∈[-2,0],所以当0<

x<

1时,f'

2（x）<

0;

当x>

2（x）>

0.

即函数f2（x）在区间（0,1）内单调递减,在区间（1,+∞）内单调递增.

综合①,②及f1（0）=f2（0）,可知函数f（x）在区间（-1,1）内单调递减,在区间（1,+∞）内单调递增.

（2）由

（1）知f'

（x）在区间（-∞,0）内单调递减,在区间

内单调递减,

在区间

内单调递增.

因为曲线y=f（x）在点Pi（xi,f（xi））（i=1,2,3）处的切线相互平行,从而x1,x2,x3互不相等,且f'

（x1）=f'

（x2）=

（x3）.不妨设x1<

0<

x2<

x3,

由3

-（a+5）=3

-（a+3）x2+a=3

-（a+3）x3+a,

可得3

-3

-（a+3）（x2-x3）=0,

解得x2+x3=

从而0<

<

x3.

设g（x）=3x2-（a+3）x+a,

则g

g（x2）<

g（0）=a.

-（a+5）=g（x2）<

a,

解得-

x1<

0,

所以x1+x2+x3>

设t=

则a=

因为a∈[-2,0],

所以t∈

故x1+x2+x3>

-t+

=

（t-1）2-

≥-

即x1+x2+x3>

评析本题主要考查导数的运算及其几何意义,利用导数研究函数的单调性,考查分类讨论思想、化归思想、函数思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.

1.（2018天津文,10,5分）已知函数f（x）=exlnx,f'

（x）为f（x）的导函数,则f'

（1）的值为　　　　. 

答案　e

2.（2016天津文,10,5分）已知函数f（x）=（2x+1）ex,f'

（0）的值为　　　　. 

答案　3

B组　统一命题、省（区、市）卷题组

1.（2014课标Ⅱ,8,5分）设曲线y=ax-ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x,则a=（　　）

A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3

2.（2018课标Ⅱ,13,5分）曲线y=2ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为　　　　. 

答案　y=2x

3.（2018课标Ⅲ,14,5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0,1）处的切线的斜率为-2,则a=　　　　. 

答案　-3

4.（2016课标Ⅲ,15,5分）已知f（x）为偶函数,当x<

0时,f（x）=ln（-x）+3x,则曲线y=f（x）在点（1,-3）处的切线方程是　　　　. 

答案　y=-2x-1

5.（2016课标Ⅱ,16,5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln（x+1）的切线,则b=　　　　. 

答案　1-ln2

6.（2014课标Ⅰ,21,12分）设函数f（x）=aexlnx+

曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程为y=e（x-1）+2.

（1）求a,b;

（2）证明:

f（x）>

1.

解析　

（1）函数f（x）的定义域为（0,+∞）,f'

（x）=aexlnx+

ex-

ex-1+

ex-1.

由题意可得f

（1）=2,f'

（1）=e.

故a=1,b=2.

（2）由

（1）知,f（x）=exlnx+

ex-1,从而f（x）>

1等价于xlnx>

xe-x-

设函数g（x）=xlnx,则g'

（x）=1+lnx.

所以当x∈

时,g'

当x∈

时,

g'

故g（x）在

上单调递减,在

上单调递增,从而g（x）在（0,+∞）上的最小值为g

=-

设函数h（x）=xe-x-

则h'

（x）=e-x（1-x）.

所以当x∈（0,1）时,h'

当x∈（1,+∞）时,h'

故h（x）在（0,1）上单调递增,在（1,+∞）上单调递减,从而h（x）在（0,+∞）上的最大值为h

（1）=-

综上,当x>

0时,g（x）>

h（x）,即f（x）>

评析本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及最值问题,考查等价转化思想及逻辑推理能力.

C组　教师专用题组

1.（2016山东,10,5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f（x）具有T性质.下列函数中具有T性质的是（　　）

A.y=sinx　　　　B.y=lnx　　　　C.y=ex　　　　D.y=x3

答案　A　

2.（2013课标Ⅰ,21,12分）设函数f（x）=x2+ax+b,g（x）=ex（cx+d）.若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0,2）,且在点P处有相同的切线y=4x+2.

（1）求a,b,c,d的值;

（2）若x≥-2时,f（x）≤kg（x）,求k的取值范围.

解析　

（1）由已知得f（0）=2,g（0）=2,f'

（0）=4,g'

（0）=4.

而f'

（x）=2x+a,g'

（x）=ex（cx+d+c）,

故b=2,d=2,a=4,d+c=4.

从而a=4,b=2,c=2,d=2.

（2）由

（1）知,f（x）=x2+4x+2,g（x）=2ex（x+1）.

设函数F（x）=kg（x）-f（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2,则

F'

（x）=2kex（x+2）-2x-4=2（x+2）（kex-1）.

由题设可得F（0）≥0,即k≥1.

令F'

（x）=0,得x1=-lnk,x2=-2.

（i）若1≤k<

e2,则-2<

x1≤0.从而当x∈（-2,x1）时,F'

当x∈（x1,+∞）时,F'

0.即F（x）在（-2,x1）上单调递减,在（x1,+∞）上单调递增.故F（x）在[-2,+∞）上的最小值为F（x1）.而F（x1）=2x1+2-

-4x1-2=-x1（x1+2）≥0.

故当x≥-2时,F（x）≥0,即f（x）≤kg（x）恒成立.

（ii）若k=e2,则F'

（x）=2e2（x+2）（ex-e-2）.

从而当x>

-2时,F'

即F（x）在（-2,+∞）上单调递增.

而F（-2）=0,故当x≥-2时,F（x）≥0,即f（x）≤kg（x）恒成立.

（iii）若k>

e2,则F（-2）=-2ke-2+2=-2e-2（k-e2）<

0.从而当x≥-2时,f（x）≤kg（x）不可能恒成立.

综上,k的取值范围是[1,e2].

评析本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性,考查了分类与整合、函数与方程的思想;

结合特值限定参数的范围可减少分类的情况,有利于提高效率,利用两根大小作为讨论的分界点是解题关键.

【三年模拟】

一、选择题（每小题5分,共5分）

1.（2018天津静海一中模拟,8）已知f（x）+f'

（x）=x+1,且f（0）=1,f（x）<

ax+1有且仅有一个整数解,则正数a的取值范围是（　　）

A.

a≤

　　　　B.

　　　　C.1+

a<

2+

　　　　D.

二、填空题（每小题5分,共20分）

2.（2017天津河西一模,12）设函数f（x）在（0,+∞）内可导,且f（ex）=x+ex,则f'

3.（2017天津河北一模,12）已知f（x）=ex-e,则曲线y=f（x）在点（1,f（x））处的切线方程是　　　　. 

答案　y=ex-e

4.（2017天津和平二模,14）已知f（x）是奇函数,当x<

0时,f（x）=ln（-x）+2x,则曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程是　　　　　　　. 

5.（2018天津一中3月月考,10）已知函数f（x）=2f'

（1）lnx-x,则f（x）的极大值为　　　　. 

答案　2ln2-2

三、解答题（共30分）

6.（2017天津河西二模,20）设函数f（x）=

x3-ax（a>

0）,g（x）=bx2+2b-1.

（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1,c）处具有公共切线,求a,b的值;

（2）当a=1-2b时,若函数f（x）+g（x）在区间（-2,0）内恰有两个零点,求a的取值范围;

（3）当a=1-2b=1时,求函数f（x）+g（x）在区间[t,t+3]上的最大值.

解析　

（1）由已知得f'

（x）=x2-a,g'

（x）=2bx.

因为曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1,c）处具有公共切线,

所以f

（1）=g

（1）,且f'

（1）=g'

（1）,

-a=b+2b-1,且1-a=2b,

解得a=

b=

（2）设h（x）=f（x）+g（x）,

当a=1-2b时,h（x）=

x3+

x2-ax-a,

h'

（x）=x2+（1-a）x-a=（x+1）（x-a）,

令h'

（x）=0,得x=-1或a（a>

0）.

当x变化时,h'

（x）,h（x）的变化情况如下表:

（-∞,-1）

-1

（-1,a）

a

（a,+∞）

h（x）

极大值

极小值

所以函数h（x）的单调递增区间为（-∞,-1）,（a,+∞）;

单调递减区间为（-1,a）,

因为a>

所以h（x）在区间（-2,-1）上单调递增,在区间（-1,0）上单调递减,

要使函数h（x）在区间（-2,0）内恰有两个零点,则

解得0<

所以a的取值范围是

（3）设h（x）=f（x）+g（x）,当a=1-2b=1时,h（x）=

x3-x-1.

由

（2）可知,当a=1时,函数h（x）的单调递增区间为（-∞,-1）,（1,+∞）;

单调递减区间为（-1,1）.

①当t+3<

-1,即t<

-4时,h（x）在区间[t,t+3]上单调递增,

所以h（x）在区间[t,t+3]上的最大值为h（t+3）=

（t+3）3-（t+3）-1=

t3+3t2+8t+5;

②当t<

-1且-1≤t+3<

1,即-4≤t<

-2时,h（x）在区间[t,-1）上单调递增,在区间[-1,t+3]上单调递减,

所以h（x）在区间[t,t+3]上的最大值为h（-1）=-

;

当t<

-1且t+3≥1,即-2≤t<

-1时,t+3<

2且h

（2）=h（-1）=-

③当-1≤t<

1时,t+3≥2>

1,h（x）在区间[t,1）上单调递减,在区间[1,t+3]上单调递增,

所以h（x）在区间[t,t+3]上的最大值为h（t）与h（t+3）中的较大者.

由h（t+3）-h（t）=3（t+1）（t+2）知,当-1≤t<

1时,h（t+3）≥h（t）,

④当t≥1时,h（x）在区间[t,t+3]上单调递增,

t3+3t2+8t+5.

综上,当t<

-4或t≥-1时,f（x）+g（x）在区间[t,t+3]上的最大值为

当-4≤t<

-1时,f（x）+g（x）在区间[t,t+3]上的最大值为-

解题分析　本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程、函数的零点及函数在闭区间上的最值问题,考查分类讨论思想、数形结合思想,考查学生综合运用知识分析解决问题的能力,综合性强,难度大.

7.（2018天津红桥二模,20）已知函数f（x）=a2x2+ax-lnx.

（1）当a=1时,求函数f（x）的单调区间;

（2）设g（x）=a2x2-f（x）,且函数g（x）在x=1处的切线为l,直线l'

∥l,且l'

在y轴上的截距为1,求证:

无论a取何实数,函数g（x）的图象恒在直线l'

的下方;

（3）已知点A（1,g

（1））,Q（x0,g（x0））,且当x0>

1时,直线QA的斜率恒小于2,求实数a的取值范围.

解析　

（1）a=1时,f（x）=x2+x-lnx,

（x）=2x+1-

0）,令f'

（x）=0,得x=

∴x>

0时,f（x）与f'

（x）的变化情况如下表:

∴函数f（x）的单调递增区间为

单调递减区间为

∵g（x）=a2x2-f（x）=lnx-ax,∴g'

（x）=

-a,x>

∴g'

（1）=1-a,∴直线l的斜率kl=1-a.

∵l'

在y轴上的截距为1,

∴直线l'

的方程为y=（1-a）x+1.

令h（x）=g（x）-[（1-a）x+1]=lnx-x-1（x>

-1=

当x∈（0,1）时,h'

0,当x∈（1,+∞）时,h'

∴函数h（x）在（0,1）上单调递增,在（1,+∞）上单调递减,

∴当x=1时,h（x）取得极大值,极大值为h

（1）=-2,

∴在（0,+∞）上,h（x）取得最大值h

（1）=-2,

∴h（x）≤-2<

0（∀a∈R,∀x>

∴无论a取何实数,函数g（x）的图象恒在直线l'

的下方.

（3）∵A（1,-a）,Q（x0,lnx0-ax0）,

∴kQA=

-a,

∴当x0>

1时,

-a<

2,即lnx0-（a+2）（x0-1）<

0恒成立,

令r（x）=lnx-（a+2）（x-1）（x>

1）,

则r'

-（a+2）,

∵x>

1,∴0<

①当a≤-2时,a+2≤0,此时r'

∴r（x）在（1,+∞）上单调递增,有r（x）>

r

（1）=0,不满足题意;

②当-2<

-1时,0<

a+2<

1,

∴当x∈

时,r'

0,当x∈

∴至少存在t∈

使得r（t）>

③当a≥-1时,a+2≥1,此时r'

∴r（x）在（1,+∞）上单调递减,r（x）<

r

（1）=0,满足题意.

综上,实数a的取值范围是[-1,+∞）.

8.（2018天津和平三模,20）设函数f（x）=lnx-

ax2-bx.

（1）当a=b=

时,求函数f（x）的最大值;

（2）令F（x）=f（x）+

ax2+bx+

（0<

x≤3）,若其图象上的任意一点P（x0,y0）处切线的斜率k≤

恒成立,求实数a的取值范围;

（3）当a=0,b=-1时,方程x2=2mf（x）（其中m>

0）有唯一实数解,求m的值.

解析　

（1）依题意,知f（x）的定义域为（0,+∞）,当a=b=

时,f（x）=lnx-

x2-

x,

x-

（x）=0,得x=1或x=-2（舍）.

当0<

0,此时f（x）单调递增;

0,此时f（x）单调递减.

∴f（x）的最大值为f

（1）=-

（2）由题意知F（x）=lnx+

x∈（0,3],F'

则有k=F'

（x0）=

≤

在（0,3]上恒成立,

∴a≥

x0∈（0,3].

当x0=1时,-

+x0取得最大值

（3）当a=0,b=-1时,f（x）=lnx+x,

∵方程2mf（x）=x2有唯一实数解,

∴x2-2mlnx