三角形旋转的组卷Word文档下载推荐.docx

资源描述

三角形旋转的组卷Word文档下载推荐.docx

《三角形旋转的组卷Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形旋转的组卷Word文档下载推荐.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

三角形旋转的组卷Word文档下载推荐.docx

④CG=AD．

其中正确结论的个数是（　　）A、1个B、2个C、3个D、4个

二．填空题（共3小题）

4．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°

，AB=AC，AD=AE，点C、D、E在同一条直线上，连接BD、BE．把以下所有正确结论的序号都填在写在横线上：

　_________　．

②∠ACE+∠DBC=45°

③BD⊥CE；

④BE2=2（AB2+AD2）．

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，BC=3cm，CD⊥AB，在AC上取一点E使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=　_________　．

　6．（2009•开封二模）△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°

，有一块含45°

角的直角三角尺，将45°

角的顶点放在斜边BC的中点O处（如图1），顺时针方向旋转三角尺，使45°

角的两边与AB、AC分别交于点E、F（如图2），该尺绕点O旋转的过程中，当△OEF成为等腰三角形时，BE的值为　_________　．

三．解答题（共4小题）

7．（2010•东城区一模）如图，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°

．求证：

△BAE≌△CAD．

8．如图所示，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠EAD=90°

，连接BD、CE．

（1）求证：

BD=CE；

（2）观察图形，猜想BD与CE之间的位置关系，并证明你的猜想．

9．如图，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°

，∠BAC=30°

，若△EAC旋转后能与△BAD重合．问：

（1）旋转中心是哪一点？

（2）旋转角为多少度？

（3）若BD=5cm，求EC的长度．

10．如图所示，已知等腰直角△ABC中，∠ACB=90°

，AC=BC，AF是∠BAC的平分线，交BC于点E，BF⊥AF于点F，求证：

AE=2BF．

三角形全等--旋转数学组卷参考答案与试题解析

　选择题（共3小题）

，现将△ACE绕点A旋转至△ABE′处，连接DE′和EE′，则下列结论中①AB⊥DE′②∠ADE=∠BAE③△AEE′是等腰直角三角形④AD⊥EE′⑤BD2+CE2=DE2正确的有（　　）

1个

2个

3个

4个

考点：

等腰直角三角形；

垂线；

勾股定理；

分析：

（1）由外角的性质和题意可推出∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠BAE=∠DAE+∠BAD，再由等腰直角三角形的性质可知∠ABD=∠C=45°

，即可推出∠ADE=∠BAE；

（2）由旋转的性质可知AE=AE′，∠EAC=∠DAE′，再由∠EAC+∠BAE=90°

，可知∠EAE′=90°

，即可推出△AEE′是等腰直角三角形；

（3）由∠DAE=45°

，∠BAC=90°

，可知∠EAC+∠BAD=45°

，又因为∠EAC=∠BAE′，推出∠DAE′=∠EAD=45°

，即得AD⊥EE′；

（4）因为∠C=∠E′BA=∠ABD=45°

，可求出△E′BD为直角三角形，再由EC=E′B，根据勾股定理，通过等量代换即可推出BD2+CE2=DE2．

解答：

解：

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°

，

∴∠ABC=∠C=45°

∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠BAE=∠DAE+∠BAD，

∵∠DAE=45°

∴∠ADE=∠BAE；

（2）∵△ACE绕点A旋转至△ABE′处，

∴AE=AE′，∠EAC=∠DAE′，

∵∠BAC=90°

∴∠EAC+∠BAE=90°

∴∠DAE′+∠BAE=90°

∴△AEE′是等腰直角三角形；

（3）∵∠DAE=45°

∴∠EAC+∠BAD=45°

∵∠EAC=∠BAE′，

∴∠DAE′=∠EAD=45°

∵△AEE′是等腰直角三角形，

∴AD⊥EE′，

（4）∵∠C=∠E′BA=∠ABD=45°

∴∠E′BD=90°

∵EC=E′B，

∴BD2+CE2=DE2，

∴②③④⑤项正确．故选D．

①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；

②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°

，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°

，本选项正确；

③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；

④利用周角减去两个直角可得答案．

①∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，

∵在△BAD和△CAE中，

，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，本选项正确；

②∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ACB=45°

∴∠ABD+∠DBC=45°

∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，

∴∠ACE+∠DBC=45°

③∵∠ABD+∠DBC=45°

，∴∠ACE+∠DBC=45°

∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°

，则BD⊥CE，本选项正确；

④∵∠BAC=∠DAE=90°

，∴∠BAE+∠DAC=360°

﹣90°

=180°

，故此选项正确，故选：

其中正确结论的个数是（　　）

①根据旋转的性质知，△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等证得结论；

②作辅助线AH构建正方形EHFB，然后结合已知条件“∠AEB=90°

”求得正方形ABCD的边长与△CGE的边长间的数量关系，从而求得正方形ABCD与△CEG的面积间的数量关系；

③根据正方形的对角线平分对角以及三角形外角定理证得结论；

④将CG、BC的长度转化为与线段BE的长度的关系，然后比较它们的长短．

①根据旋转的性质知，△ABE≌△CBF，则BE=BF，所以△BEF为等腰直角三角形；

故本选项正确；

②∵∠AEB=90°

∴AE=2BE．

又∵由①知，△ABE≌△CBF，

则BE=BF，AE=CF，∠CFB=∠AEB=90°

∴BC=

BF=

BE．

∴S正方形ABCD=BC2=5BE2．

延长AE交CF于点H．

易证四边形EHFB为正方形，则BE=EH=HF=FB，

∴CH=CF﹣FH=AE﹣BE=BE．

∵点G是AE的中点，

∴8S△ECG=8×

S△ACE=8×

AE•CH=2×

2BE×

BE=4BE2＜S正方形ABCD，

故本选项错误；

③∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB=45°

∴∠ECB=45°

﹣∠ACE．

∵CH=HF，EH⊥CF，

∴∠CEH=∠FEH．

又∵由②知四边形EHFB为正方形，则∠HEF=45°

∴∠CEH=45°

∴∠CAG=∠CAE=∠CEH﹣∠ACE=45°

﹣∠ACE，

∴∠ECB=∠CAG；

④在直角△GCH中，CH=BE，GH=2BE，则根据勾股定理知CG=

BE=BC，即CG=BC．

又∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC，

∴CG=AD．

综上所述，正确的个数有3个；

故选C．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质以及三角形面积的计算．注意，此题的辅助线的作法．

　①②③　．

全等三角形的判定与性质；

①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；

②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°

而得出结论；

③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°

，由∠ABD=∠ACE就可以得出结论；

④△BDE为直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2=2AD2，BC2=2AB2，就有BC2=BD2+CD2≠BD2就可以得出结论．

①∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，

即∠BAD=∠CAE．

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE．故①正确；

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD=∠ACE．

∵∠CAB=90°

∴∠ABD+∠AFB=90°

∴∠ACE+∠AFB=90°

∵∠DFC=∠AFB，

∴∠ACE+∠DFC=90°

∴∠FDC=90°

∴BD⊥CE；

故②正确；

③∵，∠BAC=90°

，AB=AC，

∴∠ABC=45°

，故③正确；

④∵BD⊥CE，

∴BE2=BD2+DE2．

∵∠BAC=∠DAE=90°

，AB=AC，AD=AE，

∴DE2=2AD2，BC2=2AB2．

∵BC2=BD2+CD2≠BD2，

∴2AB2=BD2+CD2≠BD2，

∴BE2≠2（AD2+AB2）．故④错误．故答案为：

①②③．

，BC=3cm，CD⊥AB，在AC上取一点E使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=　2　．

专题：

计算题．

根据垂直的定义得到∠FEC=90°

，∠ADF=90°

，再根据等角的余角相等得到∠A=∠F，则可根据“AAS”可判断△ACB≌△FEC，所以AC=EF=5cm，然后利用AE=AC﹣EC进行计算即可．

∵EF⊥AC，

∴∠FEC=90°

∵CD⊥AB，

∴∠ADF=90°

∴∠A=∠F，

在△ACB和△FEC中

∴△ACB≌△FEC（AAS），

∴AC=EF=5cm，

而EC=BC=3cm，

∴AE=5cm﹣3cm=2cm．

故答案为2．

6．（2009•开封二模）△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°

角的两边与AB、AC分别交于点E、F（如图2），该尺绕点O旋转的过程中，当△OEF成为等腰三角形时，BE的值为　1或

或2　．

旋转的性质；

等腰三角形的性质；

计算题；

分类讨论．

当△OEF成为等腰三角形时，可能OE=EF、EF=OF或者OE=OF，所以要分三种情况进行讨论．

若△OEF能构成等腰三角形．

①当F与A重合时，BE=1，此时OE=EA（或OE=EF）；

②当E与A重合时，此时BE=2，OA=OF（或EF=OF）；

③当E、F分别在A点的两边时，BE=

，OE=OF，△OEF能构成等腰三角形．

故答案为：

1或

或2．

全等三角形的判定；

证明题．

要证△BAE≌△CAD，由已知可证AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°

，即可证∠BAE=∠CAD，符合SAS，即得证．

证明：

∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°

（3分）

∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．

即∠BAE=∠CAD．（4分）

在△BAE与△CAD中，

∴△BAE≌△CAD．（5分）

　8．如图所示，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠EAD=90°

证明题；

探究型．

（1）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形从而得到两腰相等，两直角相等，从而可以利用SAS判定△ABD≌△ACE，从而得出BD=CE．

（2）由第一步证得△ABD≌△ACE，得到其对应角相等即：

∠ABD=∠ACE，再利用三角形的内角和公式，从而得出∠CGF=∠BAC=90°

，即BD与CE之间的位置关系为垂直．

（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°

，（1分）

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAE．（2分）

在△ABD和△ACE中：

AB=AC

∠BAD=∠CAE

AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．（5分）

∴BD=CE．（6分）

（2）BD与CE相互垂直．（7分）

设AC交BD于点F，EC交BD于点G，

由

（1）证得：

∠ABD=∠ACE，（8分）

又∵∠AFB=∠GFC，（9分）

在△ABF和△GCF中：

∠BAC=180°

﹣∠ABD﹣∠AFB，

∠CGF=180°

﹣∠ACE﹣∠GFC，（11分）

∴∠CGF=∠BAC=90°

∴BD⊥CE．（12分）

（1）找出两重合三角形的公共顶点即可得出其旋转中心；

（2）根据两重合边所夹的角度即可求出旋转的度数；

（3）根据图形旋转的性质可直接进行解答．

（1）∵△EAC逆时针旋转后能与△BAD重合，

∴A点即为两三角形的公共顶点，故旋转中心是A点；

（2）∵△EAC逆时针旋转后能与△BAD，

∴AE与AB重合，

∵∠BAE=90°

∴旋转的度数为：

90；

（3）由题意知EC和BD是对应线段，据旋转的性质可得BD=EC=5cm．

本题考查的是图形旋转的性质，即①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．

延长线段BF与AC的延长线交于点M．根据角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，由AAS证明△ACE≌△BCM，再根据全等三角形的性质即可求解．

延长线段BF与AC的延长线交于点M．

∵AF为∠BAC的平分线，BF⊥AF，

∴AM=AB，

∵∠ACB=90°

∴∠CAB=45°

∵AE为△ABC的角平分线，

∴∠AEC=90°

﹣∠CAE=90°

﹣22.5°

=67.5°

∴∠M=∠AEC=67.5°

在△ACE与△BCM中，

∴△ACE≌△BCM（AAS），

∴AE=BM=2BF．

展开阅读全文