东北三省三校第一次联合考试理科数学试题---含答案.doc

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2019年三省三校高三第一次联合模拟考试

理科数学答案

一．选择题

1-6DBCABB7-12DACDCC

二．填空题

13.314.乙15.16.

三．解答题

17.解：

（Ⅰ）

∵，∴

∴

∴函数的值域为．

（Ⅱ）∵∴

∵，∴，∴，即

由正弦定理，，∴

∴，，∴

∴

18.解：

（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则

故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为.

（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：

近视

不近视

足够的户外暴露时间

40

60

不足够的户外暴露时间

60

40

所以的观测值，

故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.

19.解：

（Ⅰ）在中，延长交于点，

是等边三角形

为的重心

平面,平面，

即点为线段上靠近点的三等分点.

（Ⅱ）等边中，，，，交线为，

如图以为原点建立空间直角坐标系

点在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角.

设,则，

设平面的法向量，则

即，取，则

又平面，,

则,

又二面角为钝二面角，所以余弦值为.

20.解：

（Ⅰ）设，则，

因为，则

所以，

整理得.

所以，当时，曲线的方程为..4分

（Ⅱ）设.由题意知，

直线的方程为：

，直线的方程为：

.

由（Ⅰ）知，曲线的方程为，.7分

联立，消去，得，得

联立，消去，得，得

设则在上递增

又，

的取值范围为

21.解：

（Ⅰ）当时，令解得

递减

极小值

递增

（Ⅱ）设，

令，，

，设，，

由得，

，在单调递增，

即在单调递增，，

①当，即时，时，，在单调递增,

又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解.

②当，即时，

，又

故，当时，，单调递减，又，

故当时，，

在内，关于的方程有一个实数解.

又时，，单调递增，

且，令，

,故在单调递增，又

故在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，，

故在内，关于的方程有一个实数解.此时方程有两个解.

综上，.

22.解：

（Ⅰ）

所以曲线的极坐标方程为.

（Ⅱ）设直线的极坐标方程为，其中为直线的倾斜角，

代入曲线得设所对应的极径分别为.

满足或的倾斜角为或，

则或.

23.解：

（Ⅰ）因为，所以，解得.

故实数的取值范围为.

（Ⅱ）由

（1）知，，即.根据柯西不等式

等号在即时取得.

所以的最小值为.