最新知识点057完全平方公式几何背景解答资料Word格式.docx

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（3）代入等式计算求解即可．

（1）小正方形的边长为：

（a﹣b），

∴面积为（a﹣b）2，

小正方形的面积=大正方形的面积﹣4×

长方形的面积=（a+b）2﹣4×

ab=（a2﹣2ab+b2），

∴小正方形面积为：

（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）；

（2）∵小正方形的面积是同一个图形的面积，

∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；

（3）小正方形的面积为：

162﹣4×

63=256﹣252=4，

∴小正方形的边长为2．

故答案为：

（1）（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）；

（2）（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；

（3）2．

本题考查了完全平方公式的几何解释，根据同一个图形的面积利用不同的方法求解，结果相等解答即可，难度不大．

3、某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为acm，宽为bcm的矩形板材（如图），另一种是边长为ccm的正方形地砖（如图②）

（1）用几块如图②所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？

并写出新正方形的面积（写出一个符合条件的答案即可）；

（2）用如图①所示的四块矩形板材铺成如图③的大正方形或如图④的大矩形，中间分别空出一个小正方形和小矩形（即图中阴影部分）；

①请用含a、b的代数式分别表示图③和图④中阴影部分的面积；

②试比较图③和图④中阴影部分的面积哪个大？

大多少？

（1）四块正方形，即可拼成一个大的正方形；

（2）根据矩形以及正方形的面积公式即可表示，然后利用两个的差与0的大小关系即可判断大小关系．

（1）能四块即可拼成一个边长的2c的正方形，则面积是4c2．

（2）①图③的面积是：

（a﹣b）2；

图④的面积是：

a（a﹣2b），

（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）=a2﹣2ab+b2﹣a2+2ab=b2＞0，

则：

（a﹣b）2＞a（a﹣2b）．

故图③的面积较大．

本题主要考查了图形面积的表示，比较两个式子的大小关系可以利用求差的方法．

4、我们已经知道，利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性．如完全平方公式可以用图1的面积表示．

（1）根据图2写出一个代数恒等式　2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）　；

（2）其实图形的面积也可以解释不等式的正确性．如已知正数a、b、c和m、n、l，并且满足a+m=b+n=c+l=k．试构造边长为k的正方形，利用其来说明al+bm+cn＜k2的正确性．请你画出图形，并简单解释．

完全平方公式的几何背景；

多项式乘多项式。

几何图形问题。

本题根据几何图形来进行代数恒等式的推导，要注意图形各部分面积和=整个图形的面积．

（1）图2的面积为：

2a2+3ab+b2=图1的面积为：

（2a+b）（a+b），

∴可得：

2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）．

（2）根据图形al+bm+cn是图中三个矩形的面积和．

而k2是正方形的面积．大小关系显而易见．

利用几何图形推导代数恒等式，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系．

5、

（1）在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积．

①　a2　②　2ab　③　b2　④　（a+b）2　

（2）通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？

请用数学式子表达：

　a2+2ab+b2=（a+b）2　．

（3）利用

（2）的结论计算992+198+1的值．

（1）根据正方形、长方形面积公式即可解答；

（2）前三个图形的面积之和等于第四个正方形的面积；

（3）借助于完全平方公式解答即可．

（1）a2、2ab、b2、（a+b）2；

（2）a2+2ab+b2=（a+b）2；

（3）992+198+1=（99+1）2=10000．

a2、2ab、b2、（a+b）2；

（a+b）2．

本题主要考查了完全平方公式及其应用，难易程度适中，注意掌握几种特殊几何图形的面积表达式．

6、小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．

观察与操作：

（1）他拼成如图②所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到：

a2+2ab+b2=（a+b）2，验证了完全平方公式；

即：

多项式a2+2ab+b2分解因式后，其结果表示正方形的长（a+b）与宽（a+b）两个整式的积．

（2）当他拼成如图③所示的矩形，由面积相等又得到：

a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b），即：

多项式a2+3ab+2b2分解因式后，其结果表示矩形的长（a+2b）与宽（a+b）两个整式的积．

问题解决：

（1）请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式：

a2+4ab+3b2．（画图说明，并写出其结果）

（2）试猜想面积是2a2+5ab+3b2的矩形，其长与宽分别是多少？

（画图说明，并写出其结果）

（1）先将a2+4ab+3b2分解，然后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可画出图形．

（2）将2a2+5ab+3b2然后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可画出图形．

a2+4ab+3b2=（a+b）（a+3b），

图形如下：

（2）2a2+5ab+3b2的=（a+b）（2a+3b），所画图形如下：

本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；

运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．

7、先阅读后作答：

我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：

（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积关系来说明．

①根据图2写出一个等式：

　（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2　；

②已知等式：

（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．

作图题；

阅读型。

①利用长方形的面积公式即可证明．

②画一个长为x+p，宽为x+q的长方形即可．

①（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2；

②画出的图形如下：

（答案不唯一，只要画图正确即得分）

本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；

主要围绕图形面积展开分析．

8、通常，我们把长方形和正方形统称为矩形．如图1，是一个长为2a，宽为2b的矩形ABCD，若把此矩形沿图中的虚线用剪刀均分为4块小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形MNPQ．

（1）分别从整体和局部的角度出发，计算图2中阴影部分的面积，可以得到等式　（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab　．

（2）仔细观察长方形ABCD与正方形MNPQ，可以发现它们的　周长　相同，　面积　不同．（选填“周长”或“面积”）

（3）根据上述发现，猜想结论：

用总长为36米的篱笆围成一个矩形养鸡场，可以有许多不同的围法．在你围的所有矩形中，面积最大的矩形的面积是　81　米2．

计算题。

（1）整体上求出内部的小正方形的边长，然后用大正方形的面积减去小正方形的面积就是阴影部分的面积，从局部考虑，求出四个小矩形的面积就是阴影部分的面积；

（2）从图2的面积比图1的面积大里面小正方形的面积考虑；

（3）根据

（2）的结论，周长相等的情况下，正方形的面积比矩形的面积大，所以围成的正方形的面积最大，然后根据正方形进行计算即可．

（1）整体考虑：

里面小正方形的边长为a﹣b，

∴阴影部分的面积=（a+b）2﹣（a﹣b）2，

局部考虑：

阴影部分的面积=4ab，

∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；

（2）图1周长为：

2（2a+2b）=4a+4b，

面积为：

4ab，

图2周长为：

4（a+b）=4a+4b，

面积为（a+b）2=4ab+（a﹣b）2≥4ab，

当且仅当a=b时取等号；

∴周长相同，面积不相同；

（3）根据

（2）的结论，围成正方形时面积最大，

此时，边长为36÷

4=9米，

面积=92=81米2．

（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；

（2）周长，面积；

（3）81．

本题考查了完全平方公式的几何背景，结合图形的特点，根据面积找出里面的规律是解题的关键．

9、如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？

（2）请用两种不同的方法求图14中阴影部分的面积．

方法1：

　（m+n）2﹣4mn　

方法2：

　（m﹣n）2　

（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？

代数式：

（m+n）2，（m﹣n）2，mn．　（m+n）2=（m﹣n）2+4mn　

（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：

若a+b=7，ab=5，则（a﹣b）2=　29　．

图表型。

（1）观察图2，阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差，即（m﹣n）；

（2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；

也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积；

（3）由

（2）即可得出三个代数式之间的等量关系；

（4）将a+b=7，ab=5，代入三个代数式之间的等量关系即可求出（a﹣b）2的值．

（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于（m﹣n）；

（2）方法一、阴影部分的面积=（m+n）2﹣2m•2n；

方法二、阴影部分的边长=m﹣n；

故阴影部分的面积=（m﹣n）2．

（3）三个代数式之间的等量关系是：

（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；

（4）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=29．

（m+n）2﹣4mn、（m﹣n）2；

（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；

29．

本题主要考查我们的公式变形能力，如何准确地确定三个代数式之间的等量关系是解题的关键．

10、我们已经知道，完全平方公式可以用几何图形的面积来说明，实际上还有许多代数的恒等式也可以用图形来说明，例如：

（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图1所示的面积来说明．

（1）请写出图2所说明的代数恒等式：

　（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2　．

（2）类似地画出一个长方形，并将其分割使它能说明（在图中作类似的字母标注）这个长方形面积为：

a2+5ab+6b2（3）．

数形结合。

（1）本题根据几何图形来进行代数恒等式的推导，要注意图形各部分面积和=整个图形的面积．

（2）可使长方形的长为（a+2b），宽为（a+3b）这样可以得到满足条件的等式．

（1）（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2．

（2）长方形的边长分别为（a+2b）及（a+3b）

本题考查完全平方公式的几何背景，难度不大，注意利用几何图形推导代数恒等式，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系．

11、如图，大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的．

（1）请你用两个不同形式的代数式表示这个大正方形的面积；

（2）由

（1）可得到关于a、b的等式，利用得到的这个等式计算：

4.3232+2×

4.323×

0.677+0.6772．

（1）根据正方形的面积公式利用大正方形的边长解答，两个阴影部分长方形的面积加上两个正方形的面积进行表示；

（2）根据大正方形的面积相等可得关于a、b的等式，利用等式代入数据进行计算即可求解．

四部分的面积的和为：

a2+2ab+b2；

（2）等式为：

（a+b）2=a2+2ab+b2，

∴4.3232+2×

0.677+0.6772

=（4.323+0.677）2

=52

=25．（4分）

本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示方法得到等式是解题的关键．

12、有多张如图①所示的长方形和正方形卡片（代号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ），现用这些长方形可以拼成如图②的正方形，以验证公式（a+b）2=a2+2ab+b2．

请你选择图①中相应种类的卡片若干张，拼成一个长方形，用以验证：

2a2+5ab+2b2=（2a+b）•（a+2b），并仿照图②标上每一张卡片的代号．

等式右边（2a+b）•（a+2b）可理解为要做一个几何图形它的长和宽分别是（2a+b）、（a+2b），而左边代表的是分别要用的几个不同小图形的个数．

如图所示：

2a2+5ab+2b2=（2a+b）•（a+2b）．

本题考查的是对完全平方公式的理解应用程度，用几何图形推导代数恒等式时要注意整体图形面积与部分图形面积之间的关系．

13、如图，求两个图形中草坪的面积，比较它们的大小，你发现了什么？

图①的面积可以表示为202﹣20a×

2+a2，而图②的面积可以表示为（20﹣a）2．而图一的面积通过切割法可以变为图二的模样，所以他们的面积相等．

图①202﹣20a×

2+a2，

图②（20﹣a）2．

发现202﹣20a×

2+a2=（20﹣a）2．

这里是考查我们从几何意义上去证明推导完全平方公式，要求我们具备一定的平面几何形想象能力去结合几何面积去推出完全平方公式．

14、我们在学习完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：

（a+b+c）2”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？

结合原题中的几何背景，添加为边长为（a+b+c）的正方形，画出符合（a+b+c）2的几何背景，

说明（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

（a+b+c）2的几何背景如图，整体的面积为：

（a+b+c）2，

用各部分的面积之和表示为：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，

所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．用图表法求解，一般用整体的面积等于各部分的面积之和表示．

15、还记得完全平方公式（a+b）2=a2=2ab+b2吗？

当a，b＞0时，完全平方公式可以用图

（1）来说明．

（1）对图

（2）进行适当的分割，猜想出（a+b+c）2的展开形式，并给出其推导过程；

（2）通过求解本题，你有哪些收获？

探究型。

（1）画出边长为a+b+c的正方形，表示出整体的面积和各部分的面积之和，让它们相等即可．

（2）可得到多个数和的平方的简便求法．

（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．图中正方形的边长为：

a+b+c，

那么面积可表示为：

各部分的面积之和表示为：

a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，

∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

（2）任几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．

采用图表法求解是数学中常用的思路．

16、如图是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的等式．

开放型。

空白部分为一个正方形，找到边长，表示出面积；

也可用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可．

空白部分为正方形，边长为：

（a﹣b），面积为：

（a﹣b）2．

空白部分也可以用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示：

（a+b）2﹣4ab．

∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab．

本题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键．

17、

（1）图

（1）是一个长为2m，宽为2n的矩形，把此矩形沿图中虚线用剪刀均分为四个小长方形，然后按图

（2）的形状拼成一个正方形，请问：

这两个图形的什么量不变所得的正方形的面积比原矩形的面积多出的阴影部分的面积用含m，n的代数式可表示为　（m﹣n）2=m2﹣2mn+n2　；

（2）由

（1）的探索可得出的结论是：

在周长一定的矩形中，　长和宽相等　时，面积最大；

（3）若矩形的周长为24cm，则当边长为多少时，该图形的面积最大？

最大面积是多少？

观察图形，可得图中阴影正方形的边长=（m﹣n），因此面积可表示为（m﹣n）2．

（1）根据面积公式可得：

周长不变，（m﹣n）2=m2﹣2mn+n2；

（2）长和宽相等；

（3）当边长为6cm时，最大面积为36cm2．

本题考查对完全平方公式几何意义的理解应用能力，对几何图形的整体分析，对完全平方公式的灵活应用变形整理是解此题的关键．

18、如图，已知大正方形的边长为a+b+c，利用图形的面积关系可得：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．当大正方形的边长为a+b+c+d时，利用图形的面积关系可得：

（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．

根据以上结论解决下列问题：

（1）若a+b+c=6，a2+b2+c2=14，则ab+bc+ac=　11　；

（2）从﹣4，﹣2，﹣1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．

完全平方公式。

（1）把式子a+b+c=6两边平方后，再把a2+b2+c2=14代入求ab+bc+ac的值；

（2）利用

（1）的计算过程来计算．

（1）式子a+b+c=6两边平方得，

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=36，

∴ab+bc+ac=[36﹣（a2+b2+c2）]÷

2=（36﹣14）÷

2=11；

（2）∵﹣4﹣2﹣1+3+5=1，

∴两边平方后得，（﹣4﹣2﹣1+3+5）2=42+22+12+32+52+2m=55+2m=1，

∴m=（1﹣55）÷

2=﹣54÷

2=﹣27．

本题是完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的拓展延伸：

一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．

19、如图1，是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）图2中阴影部分的面积为　（m﹣n）2　；

（2）观察图2，请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系式：

　（m﹣n）2+4mn=（m+n）2　；

（3）根据

（2）中的结论，若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=　±

5　．

（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．

（1）可直接用正方形的面积公式得到．

（2）数量掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．

（3）此题可参照第二题．

（4）可参照图3进行画图．

（1）（m﹣n）2（3分）

（2）（m﹣n）2+4mn=（m+n）2（3分）

（3）±

5（3分）

（4）答案不唯一：

（4分）

例如：

本题考查了完全平方公式的背景知识，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变式．

20、利用右图可以证明等式：

a2+2ab+b2=（a+b）2．

（1）图中大正方形的面积既可以表示为：

　a2+2ab+b2　，又可以表示为：

　（a+b）2　，从而证明

a2+2ab+b2=（a+b）2；

（2）请画出一个图形来计算：

（a+b+c）2．（在图上标注必要的字母）

（1）图中大正方形的面积可以用正方形的面积公式来求，也可把正方形分成四个小图形分别求出面积再相加，从而得出（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；

（2）直接作图即可得出（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac成立．

（1）边长为（a﹣b）的正方形的面积可以直接由正方形面积公式表示为（a﹣b）2；

又可以用边长为a的正方形的面积，减去2个长为a，宽为b的长方形面积，加上边长为b的正方形的面积，

结果用含a，b的式子表示为a2﹣2ab+b2；

故答案为a2+2ab+b2、（a+b）2

（2）已知大正方形的边长为a+b+c，

利用图形的面积关系可得：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．

本题考查了完全平方公式的几何意义，是对（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2和（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac的几何证明