《集合之间的关系》参考教案.doc
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1.2.1集合之间的关系
（一）教学目标；
1．知识与技能
（1）理解集合的包含和相等的关系.
（2）了解使用Venn图表示集合及其关系.
（3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系.
2．过程与方法
（1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系.
（2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义.
（3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念.
3．情感、态度与价值观
应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力.
（二）教学重点与难点
重点：
子集的概念；难点：
元素与子集，即属于与包含之间的区别.
（三）教学方法
在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系.从而形成子集、真子集、相等集合等概念.另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质.
（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
创设情境提出问题
思考：
实数有相关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系.
师：
对两个数a、b，应有a＞b或a=b或a＜b.
而对于两个集合A、B它们也存在A包含B，或B包含A，或A与B相等的关系.
类比生疑，
引入课题
概念形成
分析示例：
示例1：
考察下列三组集合，并说明两集合内存在怎样的关系
（1）A={1，2，3}
B={1，2，3，4，5}
（2）A={新华中学高
（一）6班的全体女生}
B={新华中学高
（一）6班的全体学生}
（3）C={x|x是两条边相等的三角形}
D={x|x是等腰三角形}
1．子集：
一般地，对于两个集合A、B，如果A中任意一个元素都是B的元素，称集合A是集合B的子集，记作，读作：
“A含于B”（或B包含A）
2．集合相等：
若，且，则A=B.
生：
实例
（1）、
（2）的共同特点是A的每一个元素都是B的元素.
师：
具备
（1）、
（2）的两个集合之间关系的称A是B的子集，那么A是B的子集怎样定义呢？
学生合作：
讨论归纳子集的共性.
生：
C是D的子集，同时D是C的子集.
师：
类似（3）的两个集合称为相等集合.
师生合作得出子集、相等两概念的数学定义.
通过实例的共性探究、感知子集、相等概念，通过归纳共性，形成子集、相等的概念.
初步了解子集、相等两个概念.
概念
深化
示例1：
考察下列各组集合，并指明两集合的关系：
（1）A=Z，B=N；
（2）A={长方形}，B={平行四边形}；
（3）A={x|x2–3x+2=0}，B={1，2}.
1．Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合.
如果，则Venn图表示为：
A
B
2．真子集
如果集合，但存在元素x∈B，且xA，称A是B的真子集，记作A
B（或BA）.
示例3考察下列集合.并指出集合中的元素是什么？
（1）A={（x，y）|x+y=2}.
（2）B={x|x2+1=0，x∈R}.
3．空集
称不含任何元素的集合为空集，记作.
规定：
空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集.
示例1学生思考并回答.
生：
（1）
（2）
（3）A=B
师：
进一步考察
（1）、
（2）
不难发现：
A的任意元素都在B中，而B中存在元素不在A中，具有这种关系时，称A是B的真子集.
示例3学生思考并回答.
生：
（1）直线x+y=2上的所有点
（2）没有元素
师：
对于类似
（2）的集合称这样的集合为空集.
师生合作归纳空集的定义.
再次感知子集相等关系，加深对概念的理解，并利用韦恩图从“形”的角度理解包含关系，层层递进形成真子集、空集的概念.
能力
提升
一般结论：
①.
②若，，则.
③A=B，且.
师：
若a≤a，类比.
若a≤b，b≤c，则a≤c类比.
若，，则.
师生合作完成：
（1）对于集合A，显然A中的任何元素都在A中，故.
（2）已知集合，同时，即任意x∈Ax∈Bx∈C，故.
升华并体会类比数学思想的意义.
应用
举例
例1
（1）写出集合{a、b}的所有子集；
（2）写出集合{a、b、c}的所有子集；
（3）写出集合{a、b、c、d}的所有子集；
一般地：
集合A含有n个元素
则A的子集共有2n个.
A的真子集共有2n–1个.
学习练习求解，老师点评总结.
师：
根据问题
（1）、
（2）、（3），子集个数的探究，提出问题：
已知A={a1，a2，a3…an}，求A的子集共有多少个？
通过练习加深对子集、真子集概念的理解.
培养学生归纳能力.
归纳
总结
≠
子集：
任意x∈Ax∈B
真子集：
AB 任意x∈Ax∈B，但存在x0∈B，且x0A.
集合相等：
A=B且
≠
空集（）：
不含任何元素的集合
性质：
①，若A非空，则A.
②.
③，.
师生合作共同归纳—总结—交流—完善.
师：
请同学合作交流整理本节知识体系
引导学生整理知识，体会知识的生成，发展、完善的过程.
课后
作业
课后练习
学生独立完成
备选训练题
例1能满足关系{a，b}{a，b，c，d，e}的集合的数目是（A）
A．8个 B．6个 C．4个 D．3个
【解析】由关系式知集合A中必须含有元素a，b，且为{a，b，c，d，e}的子集，所以A中元素就是在a，b元素基础上，把{c，d，e}的子集中元素加上即可，故A={a，b}，A={a，b，c}，A={a，b，d}，A={a，b，e}，A={a，b，c，d}，A={a，b，c，e}，A={a，b，d，e}，A={a，b，c，d，e}，共8个，故应选A.
例2已知A={0，1}且B={x|}，求B.
【解析】集合A的子集共有4个，它们分别是：
，{0}，{1}，{0，1}.
由题意可知B={，{0}，{1}，{0，1}}.
例3设集合A={x–y，x+y，xy}，B={x2+y2，x2–y2，0}，且A=B，求实数x和y的值及集合A、B.
【解析】∵A=B，0∈B，∴0∈A.
若x+y=0或x–y=0，则x2–y2=0，这样集合B={x2+y2，0，0}，根据集合元素的互异性知：
x+y≠0，x–y≠0.
∴ （I） 或 （II）
由（I）得：
或或
由（II）得：
或或
∴当x=0，y=0时，x–y=0，故舍去.
当x=1，y=0时，x–y=x+y=1，故也舍去.
∴或，
∴A=B={0，1，–1}.
例4设A={x|x2–8x+15=0}，B={x|ax–1=0}，若，求实数a组成的集合，并写出它的所有非空真子集.
【解析】A={3，5}，∵，所以
（1）若B=，则a=0；
（2）若B≠，则a≠0，这时有或，即a=或a=.
综上所述，由实数a组成的集合为.
其所有的非空真子集为：
{0}，共6个.
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