中考数学深度复习讲义全等三角形.doc
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2012年中考数学深度复习讲义——全等三角形
◆考点聚焦
1．探索并掌握两个三角形全等的特征和识别．
2．了解定义、命题、逆命题和定理的含义，会区分命题的条件和结论．
3．完成基本作图（等线段、等角、角的平分线、线段的垂直平分线）；会利基本作图作三角形及过不在同一直线上的三点作圆．
◆备考兵法
1．证边角相等可转化为证三角形全等，即“要证边相等，转化证全等．”全等三角形是证明线段、角的数量关系的有力工具，若它们所在的三角形不全等，可找中间量或作辅助线构造全等三角形证明．在选用ASA或SAS时，一定要看清是否有夹角和夹边；要结合图形挖掘其中相等的边和角（如公共边、公共角和对顶角等），若题目中出现线段的和差问题，往往选择截长或补短法．
2．本节内容的试题一改以往“由已知条件寻求结论”的模式，而是在运动变化中（如平移、旋转、折叠等）寻求全等．对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等，命题时往往把需要证明的全等三角形置于其他图形（如特殊平行四边形）中，或与其他图形变换相结合，有时也还与作图题相结合；解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等的条件．
◆识记巩固
1．三角形全等的识别方法：
两个三角形中对应相等的边或角
全等识别法
一般三角形
三条边
两边及其夹角
两角及其夹边
两角及一角的对边
直角三角形
斜边及一条直角边
注意：
要证全等必须满足至少一组边对应相等．
2．三角形全等的证题思路：
3．全等三角形的特征：
全等三角形的对应边_______，对应角______；图形经过_______，_______，_______等几何变换后与原图形全等．
4．________________叫做命题．正确的命题称为_______，错误的命题称为_______．
5．在几何中，限定用________和_______来画图，称为尺规作图，新课标要求掌握四种基本作图（画线段、画角、画角平分线、画垂直平分线）．
6．全等三角形中常见的基本图形：
识记巩固参考答案:
1．SSSSASASAAASHL3．相等相等对称平移旋转4．可以判断正确与错误的语句真命题假命题5．直尺圆规
◆典例解析
例1（2011重庆江津，22，10分）在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
（1）求证:
Rt△ABE≌Rt△CBF;
（2）若∠CAE=30º,求∠ACF度数.
A
B
C
E
F
第22题图
【答案】
（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∵AE=CF,AB=BC,∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）
（2）∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°.
∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.
由
（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.
例2在一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写下了四个等式：
①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．
请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
已知：
求证：
△AED是等腰三角形．
证明：
解析本例是一道开放性问题，考查全等三角形的识别，填法多样，一般先看从题中已知的四个条件中取出两个共有六种取法，再看有几种正确．正确的填法可以是已知：
①③（或①④，或②③，或②④）（任选一个即可）．若选①③，证明如下：
证明：
在△ABE和△DCE中，
∵
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，即△AED是等腰三角形．
点评几何演绎推理论证该如何考？
一直是大家所关注的．本题颇有新意，提供了一种较新的考查方式，让学生自主构造问题，自行设计命题并加以论证，给学生创造了一个自主探究的机会，具有一定的挑战性．这种考查的形式在近几种的中考试题中频繁出现，复习时值得重视．
例3已知Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）．
①作∠BAC的平分线AD交BC于点D；
②作线段AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，垂足为H；
③连结ED．
（2）在
（1）的基础上写出一对全等三角形：
△_____≌△______，并加以证明．
解析
（1）按照要求用尺规作∠BAC的平分线AD，作线段AD的垂直平分线，并连结相关线段．
（2）由AD平分∠BAC，
可以得到∠BAD=∠DAC．
由EF垂直平分线段AD，
可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°，EA=ED，
从而有∠EAD=∠EDA=∠FAH，再加上公共边，
从而有△AEH≌△AFH≌△DEH．
以上三组中任选一组即可．
点拨本题的最大特点是将基本作图与证明结合起来，就目前的情况来看，“作图→证明”“作图→计算”“作图→变换”是考查基本作图的常见命题模式．作角平分线和线段的垂直平分线是新课标中明确提出的基本作图之一，作图的图形中含有很多相等的线段和角，蕴含着全等三角形．
例4在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．
（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：
△DEF为等腰直角三角形；
（2）如图2，若E，F分别是AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？
证明你的结论．
图1图2
解析
（1）连结AD．
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=AD，
∴∠B=∠DAC=45°．
又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF，
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．
（2）连结AD．
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC．
∴∠DAC=∠ABD=45°，
∴∠DAF=∠DBE=135°．
又AF=BE，
∴△DAF≌△DBE（SAS），
∴FD=ED，∠FDA=∠EDB，
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．
∴△DEF仍为等腰直角三角形．
例5在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到如图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察，测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在
（2）在基础上沿AC方向继续平移到如图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，
（2）中的猜想是否仍然成立？
（不用说明理由）
图1图2图3
解析
（1）BF=CG．
证明：
在△ABF和△ACG中，
∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴BF=CG．
（2）DE+DF=CG．
证明：
过点D作DH⊥CG于点H（如图2）．
∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG．
∴四边形EDHG为矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC．
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC．
又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，
∴△FDC≌△HCD（AAS），
∴DF=CH．
∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．
（3）仍然成立．
点评本题从直接证明三角形全等，到探究新的情况下如何构建新的全等三角形证明待定的数量关系，再到不同位置关系下的归纳猜想，三个问题由浅入深考查学生的不同层次的数学能力．本题还可以利用面积来进行证明，比如
（2）中连结AD．
全等三角形
一、选择题
1.（2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知中，，是高和的交点，，则线段的长度为（）.
A． B．4 C． D．
【答案】B
2.（2011山东威海，6，3分）在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（）．
A．EF∥AB B．BF=CF C．∠A=∠DFE D．∠B=∠DFE
【答案】C
3.（2011浙江衢州，1,3分）如图，平分于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（）
A.1B.2C.3D.4
（第6题）
【答案】B
4.（2011江西，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）.
A.BD=DC，AB=ACB.∠ADB=∠ADC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC
第7题图
【答案】D
5.（2011江苏宿迁,7,3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（▲）
A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．∠BDA＝∠CDA
【答案】B
6.（2011江西南昌，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）.
A.BD=DC，AB=ACB.∠ADB=∠ADC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC
第7题图
【答案】D
7.（2011上海，5，4分）下列命题中，真命题是（）．
（A）周长相等的锐角三角形都全等；（B）周长相等的直角三角形都全等；
（C）周长相等的钝角三角形都全等；（D）周长相等的等腰直角三角形都全等．
【答案】D
8.（2011安徽芜湖，6,4分）如图，已知中，，是高和的交点，
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