全国高中数学联赛预赛试题及答案Word格式文档下载.docx
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对一切x
R，不等式
axb
ab恒成立．则M是N的（
Ａ．必要而不充分条件
Ｂ．充分而不必要条件
Ｃ．充分而且必要条件
Ｄ．既不充分又不必要条件
5．设函数f（x）定义在R上，给出下述三个命题：
①满足条件f（x
2）f（2x）
的函数图象关于点
2,2
对称；
②满足条件
f（x2）
f（2
x）的函数图象关于直线
x
2对称；
③函数
f（x
2）与f（
x2）
在同一坐标系
中，其图象关于直线
2对称.其中，真命题的个数是
A.0
B.1
C.2
D.3
6.连结球面上两点的线段称为球的弦
.半径为4的球的两条弦
AB、CD的长度分别等于
27和4
3，
M、N分别为AB、CD的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点
③MN的最大值为5
其中真命题为（）
A.①③④B.①②③
M
②弦AB、CD可能相交于点
④MN的最小值为1
C.①②④D.②③④
7.设
a
sin（sin20080）
，b
sin（cos20080）
，c
cos（sin20080），
d
cos（cos20080）
则
a,b,c,d
的大小关系是（
Ａ．
Ｃ．
c
b
cd
ba
Ｂ．b
Ｄ．d
ad
ca
8.设函数
f（x）
x3
3x2
6x14，且
f（a）
1，
f（b）
19，则
A.2
C.0
D.2
二、填空题（本大题共
6个小题，每小题
8分，共
48分.
请将正确的答案填在横线上
.）
9．在平面直角坐标系中，定义点
Px1,y1
、Qx2
y2
之间的“直角距离”为
d（P,Q）
x1
x2
y1
y2.若Cx,y
到点A1,3、
B6,9
的“直角距离”相等，其中实
数x、
y满足
x10、0
y10，则所有满足条件的点
C的轨迹的长度之和为
．
10.已知集合
x,y|x2
y2
2008
，若点
P（x,y）、点
P（x,y）
满足
且
yy
，则称点
P优于
P
.
如果集合
中的点
Q满足：
不存在
中的其它点优于
Q，则
所有这样的点
Q构成的集合为
11.多项式
x2
x100
的展开式在合并同类项后，
x150的系数为
（用数字作
答）
12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六
棱柱的体积为
9，底面周长为
3，则这个球的体积为
13.将一个4
4棋盘中的8
个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有
不同的染法.（用数字作答）
14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：
第
k棵树种植在点Pkxk,yk
处，其中x1
1,y1
1，当k
2时，
xkxk
k
2
;
yk
其中，a表示实数a的整数部分，例如
2.6
，0.6
0.
按此方案，第2008棵树种植点的坐
标为
三、解答题（本大题共4
小题，共62分.要求有必要的解答过程.）
15．（本小题满分14分）设实数a,b
，求证：
其中等号当且仅当a
b
或a
b
成立，
为正实数.
１6（．本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对
于每局比赛，甲获胜的概率为2，乙获胜的概率为1．如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷
33
门”．试求此项赛事爆出冷门的概率．
17.（本小题满分
16分）已知函数
ln1xx在区间0,nn
N上的最小值为bn，令
anln1nbn，pk
a1a3
a2k1kN
，
a2a4
a2k
求证：
p1
p2
pn
2an
11.
18.（本小题满分18分）过直线l:
5x7y
700
y
上的点P作椭圆
1的切线PM、PN，
25
9
切点分别为M、N，联结MN.
（1）当点P在直线l上运动时，证明：
直线
MN恒过定点Q；
（2）当MN∥l时，定点Q平分线段MN.
参考答案及评分标准
说明：
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分.
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分
标准适当档次给分.
1.解：
集合A
B的元素：
z120
0，z2
28
16，z3
000，z4080，故
集合A
B的所有元素之和为
16.
选A.
a5
2.
解:
设an
的公比为q，则q
a2
，进而q.
所以，数列
1是以a1a2
8为首项，以q2
为公比的等比数列.
81
4n
32
a1a2
anan1
14
显然，8
a1a2
选C.
3.
解：
5名志愿者随进入
3个不同的奥运场馆的方法数为
35
243种.每个场馆至少有一名志愿者
的情形可分两类考虑：
1类，一个场馆去
3人，剩下两场馆各去
人，此类的方法数为
C31
C53A22
60种；
第2类，一场馆去
1人，剩下两场馆各
2人，此类的方法数为C31C51C42
90
种.
故每个场馆至少有一名志愿者的概率为
60
243
.选D.
４．解：
设OA
a，OB
b，则xb表示与OB共线的任一向量，
xb表示点A到直线OB上
任一点C的距离
AC，而a
b表示点A到B的距离.
当b
b时，AB
OB.由点与直线之
间垂直距离最短知，ACAB，即对一切xR，不等式axbab恒成立．反之，如果
ACAB恒成立，则ACminAB，故AB必为点A到OB的垂直距离，OBAC，即bab.
5．解：
用x2代替f（x2）f（2x）4中的x，得f（x）f（4x）4.如果点x,y在
yf（x）的图象上，则4yf（4x），即点x,y关于点2,2的对称点4x,4y也在
yf（x）的图象上.反之亦然，故①是真命题.用x2代替f（x2）f（2x）中的x，得
f（x）f（4x）.如果点x,y在yf（x）的图象上，则yf（4x），即点x,y关于点x2的
对称点4x,y也在yf（x）的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故
三个命题都是真命题
6.解：
假设AB、的弦CD的中点N
CD相交于点N，则AB、CD共面，所以A、B、C、D四点共圆，而过圆
的弦AB的长度显然有ABCD，所以②是错的．容易证明，当以AB为直径
的圆面与以CD为直径的圆面平行且在球心两侧时，
MN最大为５，故③对．当以
AB为直径的圆
面与以CD为直径的圆面平行且在球心同侧时，
MN最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.
故选Ａ．
7.解：
因为20080
3600
1800
280，所以，
sin（
sin280）
sin（sin280）
0；
b
cos280）
sin（cos280）0；
cos（
cos（sin280）
d
cos（cos280）
0．
又sin280
cos280，故b
c.故选B.
8.解：
由f（x）
3x2
6x
14
3x
10，令g（y）
y3
3y，则g（y）为奇
函数且单调递增.
而f（a）
13
10
3b
19,
所以g（a
1）
g（b
g（
9,从而g（a
g（
1）,
即a1
b1,故ab
2.选D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分.
请将正确的答案填在横线上.）
9．解：
由条件得
6
①
当y
9时，①化为
，无解；
3时，①化为
x6
当3
2y12
②
若x1，则y8.5，线段长度为１；
若1x6，则xy9.5，线段长度为52；
若x6，
则y3.5，线段长度为４．综上可知，点C的轨迹的构成的线段长度之和为
1524521．填521．
10.解:
P优于
，即
P位于
的左上方，“不存在
Q”，即“点
Q的左上方不
存在
中的点”
.故满足条件的点的集合为
2008,x
0且y
.填
x,y
|x2
11.解：
由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程
st
r150
的不超过去
100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为
C1522.
下面求方程①的超过
100自然数解的组数.因其和为
150，故只能有一个数超过
100，不妨设
s100.将方程①化为
（s
101）
tr
49
记s
s101，则方程s
t
r49的自然数解的组数为
C512.
因此，x150的系数为C1522
C31C512
7651.填7651.
12.解：
因为底面周长为3，所以底面边长为
1，底面面积为
S
又因为体积为9，所以高为
.该球的直径为
12
4R3
2，球的体积V
填4
13.解：
第一行染2个黑格有C42种染法.第一行染好后，有如下三种情况：
（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；
（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，
这时第三行有
C42种染法，第四行的染法随之
确定；
（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有
4种，而在第一、第二这
两行染好后，第三行染的黑格必然有
1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有
2种，第四
行的染法随之确定.
因此，共有染法为
16
42
90种.填90.
14.解：
令f（k）
，则
f（k5）
k51
k52
k1
1k2
k2
f（k）
故f（k）是周期为5
的函数.
计算可知：
f
（2）
f（3）
f（4）
f（5）
f（6）1.
所以，
x2008
x2007
5f（2008）；
x2007
x2006
15f（2007）；
⋯；
x2
x115f
（2）.
以上各式叠加，得
2007
f
（2）
f（3）
f（2008）
5401f
（2）
f（6）
f
（2）
401
；
同理可得y2008402.
所以，第2008棵树的种植点为3,402.填3,402.
三、解答题（本大题共
4小题，共62分.要求有必要的解答过程.）
15．证明：
由对称性，不妨设
t，则因
ab
，可得
ab，令
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）
设f（t）
，则对t求导，得f（t）
.⋯⋯⋯⋯（6分）
易知，当t
1
时，f（t）0，f（t）单调递减；
当t
1,
时，f
（t）0，f（t）单调
递增.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（
9分）
故f（t）在t
或t
处有最大值且
f
及f
两者相等.
故f（t）的最大值为
，即f（t）
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12
分）
由a
t，得b
，其中等号仅当a
成立.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（
14分）
１6．解：
如果某方以3:
1或3:
0获胜，则将未比的一局
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