中考数学易错题精选反比例函数练习题及答案docx.docx
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中考数学易错题精选-反比例函数练习题及答案
一、反比例函数
1.如图直角坐标系中,矩形ABCD的边BC在x轴上,点B,D的坐标分别为B(1,0),
D(3,3).
(1)点C的坐标________;
(2)若反比例函数y=(k≠0)的图象经过直线AC上的点E,且点E的坐标为(2,
m),求m的值及反比例函数的解析式;
(3)若
(2)中的反比例函数的图象与CD相交于点F,连接EF,在直线AB上找一点P,
使得S△PEF=S△CEF,求点P的坐标.
【答案】
(1)(3,0)
(2)解:
∵AB=CD=3,OB=1,
∴A的坐标为(1,3),又C(3,0),
设直线AC的解析式为y=ax+b,
则,解得:
,
∴直线AC的解析式为y=﹣x+.
∵点E(2,m)在直线AC上,
∴m=﹣×2+=,
∴点E(2,).
∵反比例函数y=的图象经过点E,
∴k=2×=3,
∴反比例函数的解析式为y=
(3)解:
延长FC至M,使CM=
CF,连接EM,则S△
EFM=
△
).
SEFC,M(3,﹣0.5
在y=中,当x=3时,y=1,
∴F(3,1).
过点M作直线MP∥EF交直线AB于P,则S△PEF=S△MEF.
设直线EF的解析式为y=a'x+b',
∴,解得,
∴y=﹣x+.
设直线PM的解析式为y=﹣x+c,
代入M(3,﹣0.5),得:
c=1,
∴y=﹣x+1.
当x=1时,y=0.5,
∴点P(1,0.5).
同理可得点P(1,3.5).
∴点P坐标为(1,0.5)或(1,3.5).
【解析】【解答】解:
(1)∵D(3,3),
∴OC=3,
∴C(3,0).
故答案为(3,0);
【分析】
(1)由D的横坐标为3,得到线段OC=3,即可确定出C的坐标;
(2)由矩形的
对边相等,得到AB=CD,由D的纵坐标确定出CD的长,即为AB的长,再由B的坐标确定
出OB的长,再由A为第一象限角,确定出A的坐标,由A与C的坐标确定出直线AC的
解析式,将E坐标代入直线AC解析式中,求出m的值,确定出E的坐标,代入反比例解
析式中求出k的值,即可确定出反比例解析式;(3)延长FC至M,使CM=CF,连接
EM,则S△EFM=S△EFC,M(3,﹣0.5).求出F(3,1),过点M作直线MP∥EF交直线AB于P,利用平行线间的距离处处相等得到高相等,再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF.此时直线EF与直线PM的斜率相同,由F的横坐标与C横坐标相同求出F
的横坐标,代入反比例解析式中,确定出F坐标,由E与F坐标确定出直线EF斜率,即为直线PM的斜率,再由M坐标,确定出直线PM解析式,由P横坐标与B横坐标相同,将横坐标代入直线PM解析式中求出y的值,即为P的纵坐标,进而确定出此时P的坐B
标.
2.一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象相交于
y轴交于点C,与x轴交于点D,点D的坐标为(﹣1,0),点A
tan∠CDO=2.过点B作BH⊥y轴交y轴于H,连接AH.
A,B两点,与
的横坐标是1,
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△ABH面积.
【答案】
(1)解:
∵点D的坐标为(﹣1,0),tan∠CDO=2,
∴CO=2,即C(0,2),
把C(0,2),D(﹣1,0)代入y=ax+b可得,
,解得,
∴一次函数解析式为y=2x+2,
∵点A的横坐标是1,
∴当x=1时,y=4,即A(1,4),
把A(1,4)代入反比例函数y=,可得k=4,
∴反比例函数解析式为y=
(2)解:
解方程组
,可得
或
,
∴B(﹣2,﹣2),
又∵A(1,4),BH⊥y
轴,
∴△ABH面=×(2×4+2)=6.
【解析】【分析】
(1)先由tan∠CDO=2可求出C坐,再把D点坐代入直解析式,
可求出一次函数解析式,再由直解析式求出A坐,代入双曲解析式,可求出双曲
解析式;
(2)△ABH面可以BH底,高=yA-yB=4-(-2)=6.
3.如,四形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、⋯、An﹣1PnAnBn都是正方形,角
OA1、
AA、AA、⋯、A
A都在y上(n≥1的整数),点
P(x
,y),点P(x
2
,
1223
n﹣1n
11
1
2
y2),⋯,Pn(xn,yn)在反比例函数y=(x>0)的象上,并已知B1(1,1).
(1)求反比例函数y=的解析式;
(2)求点P2和点P3的坐;
(3)由
(1)、
(2)的果或律猜想并直接写出:
△PnBnO的面________,点
Pn的坐________(用含
【答案】
(1)解:
在正方形
B1与P1关于y称,∵B1(1,1),
∴P1(1,1).
n的式子表示).
OP1A1B1中,OA1是角,
k=1×1=1,即反比例函数解析式y=
(2)解:
接P2B2、P3B3,分交y于点E、F,
又点P1的坐(1,1),
∴OA1=2,
点P2的坐(a,a+2),
代入y=得a=-1,
故点P2的坐(
-1,
+1),
A1E=A2E=2-2,OA2=OA1+A1A2=2,
点P3的坐(b,b+2),
代入y=(>0)可得b=
-
,
故点P3的坐(
-,
+)
(3)1;(-
,
+
)
【解析】【解答】解:
(3)∵
=2
=2×=1,
=2
=2×=1,⋯
∴△PnBnO的面
1,
由P1(1,1)、P2(
1,
+1)、P3(
,
+
)知点Pn的坐(
,+
),
故答案:
1、(
,+
).
【分析】
(1)由四形OP11
1
1
1
1
AB正方形且
OA是角知
B
与P关于y称,得出
点P1(1,1),然后利用待定系数法求解即可;
(2)接P2B2、P3B3,分交y于点E、F,由点P1坐及正方形的性知
OA1=2,
P2的坐(a,a+2),代入解析式求得a的即可,同理可得点
P3的坐;
(3)先分求得S△P1B1O、S△P2B2O的,然后找出其中的律,最后依据律行算即可.
4.抛物y=+x+m的点在直y=x+3上,点F(2,2)的直交抛物于点
M、N两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.
(1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示),再求m的值;
(2)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB;
(3)若射线NM交x轴于点P,且PA?
PB=,求点M的坐标.
【答案】
(1)解:
y=x2+x+m=(x+2)2+(m﹣1)
∴顶点坐标为(﹣2,m﹣1)
∵顶点在直线y=x+3上,
∴﹣2+3=m﹣1,
得m=2;
(2)解:
过点F作FC⊥NB于点C,
∵点N在抛物线上,
∴点N的纵坐标为:
a2+a+2,
即点N(a,a2+a+2)
在Rt△FCN中,FC=a+2,NC=NB﹣CB=a2+a,
∴NF2=NC2+FC2=(a2+a)2+(a+2)2,
=(a2+a)2+(a2+4a)+4,
而NB2=(a2+a+2)2,
=(a2+a)2+(a2+4a)+4
∴NF2=NB2,
NF=NB
(3)解:
连接AF、BF,
由NF=NB,得∠NFB=∠NBF,由
(2)的思路知,MF=MA,
∴∠MAF=∠MFA,
∵MA⊥x轴,NB⊥x轴,
∴MA∥NB,
∴∠AMF+∠BNF=180°
∵△MAF和△NFB的内角总和为360,°
∴2∠MAF+2∠NBF=180,°∠MAF+∠NBF=90,°∵∠MAB+∠NBA=180,°
∴∠FBA+∠FAB=90,°又∵∠FAB+∠MAF=90°,
∴∠FBA=∠MAF=∠MFA,
又∵∠FPA=∠BPF,
∴△PFA∽△PBF,
∴=,PF2=PA×PB=,
过点F作FG⊥x轴于点G,在Rt△PFG中,
PG==,
∴PO=PG+GO=,
∴P(﹣,0)
设直线PF:
y=kx+b,把点F(﹣2,2)、点P(﹣,0)代入y=kx+b,
解得k=,b=,
∴直线PF:
y=x+,
解方程x2+x+2=x+,
得x=﹣3或x=2(不合题意,舍去),
当x=﹣3时,y=,
∴M(﹣3,).
【解析】【分析】
(1)利用配方法将二次函数化成顶点式,写出顶点坐标,由顶点再直线
y=x+3上,建立方程求出m的值。
(2)过点F作FC⊥NB于点C,根据已知条件点N在抛物线上,可得出N点坐标,在
Rt△FCN中,利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2,用含a的代数式分别表示出进而得出
NF2、NB2,即可得出到NF=NB。
(3)要求点M的坐标,需要先求出直线PF的解析式.首先由
(2)的思路得出MF=MA,
然后连接AF、FB,再通过证明△PFA∽△PBF,利用相关的比例线段将PA?
PB的值转化为
PF2的值,进而求出点F的坐标和直线PF的解析式,由图像可知直线PF和抛物线相较于点M,建立方程求解,即可得点M的坐标。
5.平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在函数y1=(x>0)与y2=﹣(x<0)的图象上,A、B的横坐标分别为a、b.
(1)若AB∥x轴,求△OAB的面积;
(2)若△OAB是以AB为底边的等腰三角形,且a+b≠0,求ab的值;
(3)作边长为2的正方形ACDE,使AC∥x轴,点D在点A的左上方,那么,对大于或等
于3的任意实数a,CD边与函数y1=(x>0)的图象都有交点,请说明理由.
【答案】
(1)解:
由题意知,点A(a,),B(b,﹣),
∵AB∥x轴,
∴,
∴a=﹣b;
∴AB=a﹣b=2a,
∴S△OAB=?
2a?
=3
(2)解:
由
(1)知,点A(a,),B(b,﹣),
222222
∴OA=a+(),OB=b+(﹣),
∴OA=OB,
∴OA2=OB2,
∴a2+()2=b2+(﹣)2,
∴a2﹣b2=()2﹣()2,
∴(a+b)(a﹣b)=(+)(﹣)=,
∵a>0,b<0,
∴ab<0,a﹣b≠0,
∵a+b≠0,
∴1=,
∴ab=3(舍)或ab=﹣3,
即:
ab的值为﹣3;
(3)解:
对大于或等于
3的任意实数a,CD边与函数y1=
(x>0)的图象都有交点.
理由:
如图,
∵a≥3,AC=2,
∴直线CD在y轴右侧且平行于y轴,
∴直线CD一定与函数y1=(x>0)的图象有交点,
∵四边形ACDE是边长为2的正方形,且点D在点A(a,)的左上方,
∴C(a﹣2,),
∴D(a﹣2,+2),
设直线CD与函数y1=(x>0)相交于点F,
∴F(a﹣2,),
∴FC=﹣=,
∴2﹣FC=2﹣
=
,
∵a≥3,
∴a﹣2>0,a﹣3≥0,
∴≥0,
∴2﹣FC≥0,
∴FC≤2,
∴点F在线段CD上,
即:
对大于或等于3的任意实数a,CD边与函数y1=(x>0)的图象都有交点.
【解析】【分析】
(1)先判断出a=﹣b,即可得出AB=2a,再利用三角形的面积公式即可
得出结论;
(2)利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论;(3)先判断出
直线CD和函数
出FC,再判断
y1=
FC与
(x>0)必有交点,根据点2的大小即可.
A的坐标确定出点
C,F的坐标,进而得
6.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点B,与y轴交于点A,与反比例函
数y=的图象在第二象限交于点C,CE⊥x轴,垂足为点E,tan∠ABO=,OB=4,
OE=2.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点D是反比例函数图象在第四象限上的点,过点D作DF⊥y轴,垂足为点F,连接
OD、BF.如果S△BAF=4S△DFO,求点D的坐标.
【答案】
(1)解:
∵OB=4,OE=2,∴BE=OB+OE=6.
∵CE⊥x轴,
∴∠CEB=90.°
在Rt△BEC中,∠CEB=90°,BE=6,tan∠ABO=,
∴CE=BE?
tan∠ABO=6×=3,
结合函数图象可知点C的坐标为(﹣2,3).
∵点C在反比例函数y=的图象上,
∴m=﹣2×3=﹣6,
∴反比例函数的解析式为y=﹣
(2)解:
∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上,∴设点D的坐标为(n,﹣
)(n>0).
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OB=4,tan∠ABO=,
∴OA=OB?
tan∠ABO=4×=2.
∵S△BAF=AF?
OB=(OA+OF)?
OB=(2+)×4=4+.
∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上,
∴S=
×|﹣6|=3.
△DFO
=4S
,
∵S△BAF
△DFO
∴4+=4×3,
解得:
n=,
经验证,n=是分式方程4+=4×3的解,
∴点D的坐标为(,﹣4).
【解析】【分析】
(1)由边的关系可得出BE=6,通过解直角三角形可得出CE=3,结合函
数图象即可得出点C的坐标,再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征,即
可求出反比例函数系数m,由此即可得出结论;
(2)由点D在反比例函数在第四象限的
图象上,设出点D的坐标为(n,﹣)(n>0).通过解直角三角形求出线段OA的长
度,再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF,根据点D在反比例函数图
形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值,结合题意给出的两三角形的
面积间的关系即可得出关于n的分式方程,解方程,即可得出n值,从而得出点D的坐
标.
7.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=(m≠0)交于点A
(2,﹣3)和点B(n,2).
(1)求直线与双曲线的表达式;
(2)对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点.动点P是双曲线y=(m≠0)上的整
点,过点P作垂直于x轴的直线,交直线AB于点Q,当点P位于点Q下方时,请直接写
出整点P的坐标.
【答案】
(1)解:
∵双曲线y=(m≠0)经过点A(2,﹣3),∴m=﹣6.
∴双曲线的表达式为y=﹣.
∵点B(n,2)在双曲线y=﹣上,
∴点B的坐标为(﹣3,2).
∵直线y=kx+b经过点A(2,﹣3)和点B(﹣3,2),
∴
解得,
∴直线的表达式为y=﹣x﹣1
(2)解:
符合条件的点P的坐标是(1,﹣6)或(6,﹣
1).
【解析】【分析】
(1)把A的坐标代入可求出m,即可求出反比例函数解析式,把B的坐标代入反比例函数解析式,即可求出n,把A,B的坐标代入一次函数解析式即可求出
点
一次函数解析式;
(2)根据图象和函数解析式得出即可.
8.已知抛物线
与轴的两个交点间的距离为
2.
(1)若此抛物线的对称轴为直线
,请判断点(
3,3)是否在此抛物线上?
(2)若此抛物线的顶点为(
S,t),请证明
;
(3)当
时,求
的取值范围
【答案】
(1)解:
抛物线的对称轴为直线
,且抛物线与
轴的两个交点间的距离
为2,可得抛物线与
轴的两个交点为(
0,0)和(2,0),
所以抛物线
的解析式为与
当
时,
所以点(3,3)在此抛物线上.
(2)解:
抛物线的顶点为
间的距离为2,
可得抛物线与轴的两个交点为(
,则对称轴为直线
,,0)和(
,且抛物线与
,0)
轴的两个交点
所以抛物线的解析式为与
由得
所以;
(3)解:
由
(2)知即整理得
由对称轴为直线,且二次项系数
可知当时,b的随a的增大而增大
当a=10时,得
当a=20时,得
所以当时,
【解析】【分析】
(1)根据已知条件得出两个交点坐标,利用待定系数法求出解析式,然
后验证点(3,3)是否在这条抛物线上即可;
(2)先确定对称轴为直线,再得出与x
轴的两交点坐标为(,0)和(,0),再利用待定系数法求出解析式的顶点
式可得解;(3)把t=-1代入顶点坐标公式,得到二次函数解析式,根据函数
的增减性分别计算a=10和20时b的值从而得解.
9.已知,抛物线的图象经过点,.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)如图1,是抛物线对称轴上一点,连接,,试求出当的值最小时点
的坐标;
(3)如图2,是线段上的一点,过点作轴,与抛物线交于点,若直线
把分成面积之比为的两部分,请求出点的坐标.
【答案】
(1)解:
将,的坐标分别代入.
得
解这个方程组,得,
所以,抛物线的解析式为
(2)解:
如图1,由于点、关于轴对称,所以连接,直线与轴的交点即为
所求的点,
由,令,得,
解得,,
点的坐标为,
又,
易得直线的解析式为:
.
当时,,
点坐标
(3)解:
设点的坐标为,
所以所在的直线方程为.那么,与直线的交点坐标为,
与抛物线的交点坐标为.
由题意,得
①,即,
解这个方程,得或(舍去).
②,即,
解这个方程,得或(舍去),
综上所述,点的坐标为,或,.
【解析】【分析】
(1)将点、的坐标代入可得出、的值,继而得出这个抛物线的
解析式;
(2)由于点、关于轴对称,所以连接,直线与轴的交点即为所求
的点,利用待定系数法确定直线的解析式,然后求得该直线与轴的交点坐标即可;
(3)如图2,交于,设,根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特
征,设点的坐标为,,.
然后分类讨论:
分别利用或,列关于的方程,然后分别解关于的
方程,从而得到点坐标
10.如图,抛物线与轴交于两点(在的左侧),与轴交于
点,点与点关于抛物线的对称轴对称.
(1
)求抛物线的解析式及点
的坐标:
(2
)点
是抛物线对称轴上的一动点,当
的周长最小时,求出点
的坐标;
(3
)点
在轴上,且
,请直接写出点
的坐标.
【答案】
(1)解:
根据题意得,
解得
抛物线的解析式为
抛物线的对称轴为直线
点与点关于抛物线的对称轴对称
点的坐标为
(2)解:
连接
点与点关于抛物线的对称轴对称.
为定值,
即
由
当的
值最小
三点在同一直线上时
解得,
的周长最小
在
由
当
的左侧,
两点坐标可求得直线
时,
的解析式为
当
的周长最小时,点
的坐标为