首发广东省普宁市华美实验学校学年高二月考数学理试题.docx
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首发广东省普宁市华美实验学校学年高二月考数学理试题
试卷满分：
150分；考试时间：
120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息。
2．请将答案填写在答题卡上
1、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填涂在答题卷上）
1.已知复数满足为虚数单位），则的虚部为（）
A．B．C．D．
2．已知平面向量＝,，若与垂直，则＝（）
A.－1B.1C.－2D.2
3.集合，，则等于（）
A．B．C．D．
4．已知随机变量服从正态分布且,则（）
A.B.C.D.
5.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学。
“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的分别为96、36，则输出的为（）
A．4B．5C.6D．7
6.下列有关命题的说法正确的是（）
A．命题“若”的否命题为：
“若”；
B．“”是“”的必要不充分条件；
C．命题“”的否定是：
“”；
D．命题“若”的逆否命题为真命题；
7．已知正项等差数列中，，若成等比数列，则（）
A．B．C．D．
8.已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C.D．
9.设正数满足,则的最小值为（）
A.B.C.D.
10.若不等式组所表示的平面区域内存在点，使成立，则实数的取值范围是（）．
A.[-1，+∞）B.（-∞,-1]C.（-∞,1]D.[1,+∞）
11．现从男、女共8名学生干部中选出3名同学（要求3人中既有男同学又有女同学）分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动,共有270种不同的安排方案,那么8名学生男、女同学的人数分布可能是（）A.男同学1人,女同学7人 B.男同学2人,女同学6人
C.男同学3人,女同学5人 D.男同学4人,女同学4人
12.设，为双曲线同一条渐近线上的两个不同的点，若向量，
且，则双曲线的离心率为（）
A．2或B．3或C．D．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若直线与曲线相切，则．
14．若的展开式中所有项的系数和为32，则含项的系数是__________．（用数字作答）
12．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，
则A＝ .
16.已知在三棱锥中,,,底面为等边三角形,
且平面平面,则三棱锥外接球的体积为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.）
17．（12分）已知数列满足，，数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18．（12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至
16件
17件
及以上
顾客数（人）
x
30
25
y
10
结算时间
（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
（1）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：
将频率视为概率）
19．（12分）如图，在直四棱柱中，．
（1）求证：
平面平面；
（2）若,直线BC与平面A1BD所成的角能否为45°？
并说明理由．
20.（12分）已知A（－2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，
B的动点，且△APB面积的最大值为。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当点P在椭圆上运动时，
求证：
以BD为直径的圆与直线PF恒相切．
21．（12分）已知函数
（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；
（2）试讨论函数在区间上最大值；
（3）若时，函数恰有两个零点，求证：
.
22.（10分）在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的普通方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.
高二级理科数学第二次月考答案
参考答案
1．B2．B3．D4．B5．A6．D
7．C8．D9．A10．B11．C12．B
13．14．1215．16．
17．解：
（Ⅰ）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列，所以
又当时，，所以，
当时，…①…②
由①-②得，即，
所以是首项为1，公比为的等比数列，故.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则
①
②
①-②得
所以
18．解
（1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得
P（X＝1）＝＝，P（X＝1.5）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝2.5）＝＝，
P（X＝3）＝＝.
X的分布列为
X
1
1.5
2
2.5
3
P
X的数学期望为
E（X）＝1×＋1.5×＋2×＋2.5×＋3×＝1.9.
（2）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi（i＝1,2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则
P（A）＝P（X1＝1且X2＝1）＋P（X1＝1且X2＝1.5）＋P（X1＝1.5且X2＝1），
由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P（A）＝P（X1＝1）×P（X2＝1）＋P（X1＝1）×P（X2＝1.5）＋P（X1＝1.5）×P（X2＝1）＝×＋×＋×＝.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.
19．【解析】
（1）证明：
∵，
∴为正三角形，∴．
∵,为公共边，
∴．
∴,∴．
∵四棱柱是直四棱柱，
∴平面，∴．∵，∴平面．
∵平面，∴平面平面．
（2）
设ACBD=O,以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz如图所示,
不妨设AB=2,AA1=h（h>0）,则OA=,OB=OD=OC=1,
设平面A1BD的法向量为n=（x,y,z）,则
若直线BC与平面A1BD所成的角为45°,则
故直线BC与平面A1BD所成的角不可能为45°.…12分
20.解：
由题意可设椭圆C的方程为＋＝1（a>b>0），F（c，0）．
由题意知，解得b=，c=1.
故椭圆C的方程为，离心率为。
（Ⅱ）证明：
由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）。
则点D坐标为（2,4k）,BD中点E的坐标为（2，2k）.
由得。
设点P的坐标为，则
所以，
因为点F坐标为（1，0），
当k＝±时，点P的坐标为，直线PF⊥x轴，点D的坐标为（2，±2）．
此时以BD为直径的圆（x－2）2＋（y∓1）2＝1与直线PF相切．
当时，则直线PF的斜率
所以直线PF的方程为
点E到直线PF的距离
又因为|BD|＝4|k|，所以d＝|BD|.故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当点P在椭圆上运动时，以BD为直径的圆与直线PF恒相切．
21．解析:
（1）由，，
由于函数在处的切线与直线平行，故，解得..............2分
...
..........6分
（3）若时，恰有两个零点，
由，，得，
∴，设，，，故，
∴，记函数，因，
∴在递增，∵，∴，
又，，故成立..............12分
22.解：
（1）圆的参数方程为，（为参数），
∴圆的普通方程为；
（2）化圆的普通方程为极坐标方程，
设，则由解得，
设，则由，解得，
∴.
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